Kranover R M - Fraktaly i khaos v din sist

7.2 Символическая динамика • 191

лежит в U. С другой стороны,

и, следовательно, лежит в V.

Как уже было упомянуто ранее в п. 6.5, транзитивность эквивалентна наличию единственной точки £, орбита которой плотна в пространстве. В случае N = 2 такая точка £ имеет вид:

f = 12|11 12 21 22|111 112...,

Эта запись получена последовательным выписыванием всех блоков нулей и двоек длины 1, затем всех блоков длины 2 и т. д. Вертикальная черта здесь служит для отделения блоков длины 1 от блоков длины 2 и так далее. При любой заданной о = G\O-LOZ • • • из Е любом п существует блок длины п в записи £, который совпадает с первыми п элементами последовательности для а. Предположим, что этот блок начинается с индекса к + 1 в представлении £. Тогда

в конце данного параграфа. Из этого следует, что орбита £ плотна вЕ.

Периодичность. Мы должны доказать, что любая точка <т € £ может быть аппроксимирована с заданной точностью периодической точкой. Пусть а = o\Oio~z • • •Последовательность периодических точек в £

должна сходиться к <т, что и доказывает утверждение. •

Обратимся теперь к понятию топологической сопряженности. Пусть / : Л н» Л — непрерывное отображение, В : Е и Е — сдвиг в символьном пространстве. Хотя множество Л может быть любым компактным подмножеством метрического пространства, мы

192 • Глава 7 / Хаотическая динамикаII

ограничимся рассмотрением компактных подмножеств Rn . Мы говорим, что отображение /, действующее на Л, является топологически сопряженным по отношению к сдвигу В, действующему на S, если существует гомеоморфизм Г, то есть такое взаимно однозначное бинепрерывное отображение Т из Л в Е, что приведенная ниже диаграмма коммутативна. Это означает, что В о Т(х) = Г о /(ж) для всех х € А или, что равносильно, f(x) = T~l о В о Т(х).

л Л л

£Д £

Перед доказательством основной теоремы о топологической сопряженности приведем следующую лемму.

Лемма 7.2.1. Предположим, что Т в коммутативной диаграмме (7.3) есть гомеоморфизм. Положим б > 0 и определим

общности можно полагать, что Т(хп ) —» Т(хо). Кроме того, существует точка уо, относительно которой, также без потери общности, можно сделать предположение, что Т(уп) —> Т(уо). Функция Т равномерно непрерывна на Л, и так как х„ —у„ —•0, то должно быть: d(T(xn),T(yn)) -*•0. Мы получили противоречие, так как по построению: d(T(xn,T(yn)) > 6 > 0. Лемма доказана. •

Теорема 7.2.4. Отображение / : Л ьч Л, топологически сопряженное к В : S i-+ S, хаотично на Л.

• Доказательство. Нам надо показать, что / удовлетворяет условиям существенной зависимости от начальных условий, транзитивности и периодичности.

194 • Глава 7 / Хаотическая динамикаII

Теорема 7.2.5. Предположим, что диаграмма (7.4) коммутативна, то есть g оТ = Т о f, и что отображение Т является непрерывным и сюръективным. Если f удовлетворяетусловиям транзитивности и/или периодичностина X, то и g удовлетворяет этим условиям на Y.

Доказательство. См. теорему 7.2.4. •

Вернемся к анализу динамики вещественных квадратичных отображений. Пусть /(х) = х2 + с, с < —2. Определим Л как множество всех начальных точек, орбиты которых захватываются, то есть

Л = {xi :хп остаются ограниченными при п —• оо}.

Нам уже известно, что Л С [-£,£], где £ = (1+ \/1 — 4с)/2. Как следует из рис. 6.5(в), незамкнутая средняя часть графика у = f(x) лежит ниже у = —£. Таким образом, множество захвата Л не включает в себя эту среднюю часть. Обозначим левый замкнутый отрезок через А\, а правый — через В\. Это интервалы первого уровня. На А\ и В\ значения /(ж) находятся в диапазоне от —£ до £. Значения f^\x) на каждом из этих двух интервалов находятся в том же диапазоне, что и значения /(ж) на исходном отрезке [—£, £]. Это приводит к появлению еще двух выброшенных открытых интервалов, средних частей А\ и В\, соответствующих f^\x) < —£. Получающиеся в результате замкнутые интервалы 2-го уровня будем обозначать как Ai и В^. Если 1\ есть А\ или В\, то А%и i?2 являются подинтервалами 1\, полученными, как изображено на рис. 7.1, и поэтому

На следующем этапе, соответствующем условию f^\x) < —£, на интервалах Ач и J?2, выбрасываются открытые средние части и удерживаются получающиеся восемь замкнутых интервалов А%и БзЭта процедура повторяется до бесконечности. Если 1п обозначает один из интервалов Ап или Вп на уровне п, то подинтервалы An+i и Вп+\ из /„ выбираются таким образом:

7.2 Символическая динамика • 195

-Р

такую схему, то так оно и есть. При построении классического канторова множества (п. 2.3) всегда выбрасываются открытые срединные трети интервалов на каждом этапе построения. Получающееся в результате множество С топологически характеризуется как компактное, совершенное и вполне разрывное. То же самое можно сказать и про множество Л точек, обладающих захваченными орбитами из данного примера. Множество Л является одной из форм множества Кантора3.

Лемма 7.2.2. Пусть f(x) —х2 + с. Тогдасуществует такое число с* < —2, что если с < с* и {1п} есть вложеннаяпоследовательность интервалов, причем каждый 1п есть интервал Ап или Вп, то длина 1п стремится к нулю при п —> оо.

Комментарий: утверждение леммы верно для любого с < —2, а не только для с < с* < —2. Ради простоты доказательства мы рассматриваем только этот частный случай.

3Сказанное выше справедливо не только для квадратичного отображения. Например, отображение окружности связано с явлением «фазовой синхронизации», которое наблюдал Христиан Гюйгенс еще в XVII веке на примере часов, висящих на одной стене [51]. Возникновение хаоса в системах фазовой синхронизации описано в [63. гп ml

7.2 Символическая динамика • 197

Мы покажем, что отображение Г : Л —> S, устанавливающее соответствие между точкой х и ее маршрутом, то есть

Т{х) = о\о2ог

удовлетворяет условиям теоремы 7.2.4. Из этой теоремы следует, что функция / хаотична на Л.

По построению, отображение Т определено на всем Л. Для того чтобы показать, что Т взаимно однозначно, предположим, что

T(s) = o\o2<j%..., T{t) = Т1Т2Т3... и T(s) = T(t). Для каждого п,

этом интервале. По теореме о среднем значении (см. доказательство леммы 7.2.2) существует такая постоянная Л > 1, что выполняется |/("-1)(5)_/("-1)(г)| > A»-i|e-f|. ТаккакА71"1 -» ооприте-» оо, это возможно, только если s = t. Следовательно, отображение Т взаимно однозначно.

Покажем, что В о Т = Т о /. Пусть х € Л и ее орбита есть

Отсюда следует, что если Т(х) = O\OIG$ ..., тоTof(x) = a^cr^cn ... Но

Положим 1\ =• А\, если о\ = 1, или1\ = В\, если а\ = 2. Выберем I2,h,-- так, что

h D h D h D • • •

и каждый интервал 1п равен Ап, если оп = 1, или Вп, если ап = 2. По лемме 7.2.2 длина интервалов 1п стремится к нулю прип —» оо. Существует ровно одна точка х € П^=11п. По построению интервалов Ап и Вп, если /„ есть Ап интервал, то f^n~^ Е А\ и n-ый символ в выражении для Т(х) равен 1. Соответственно, если /„ есть Вп интервал, то f(n~^ € Bi и n-ый символ в выражении для Т(х) равен 2. Это показывает, что символическое выражение для Т(х)

в точности такое же, как <т, с которого мы начали. Следовательно, Г есть сюръективное отображение.

198 • Глава 7 / Хаотическая динамика II

Непрерывность Т доказывается следующим образом. Пусть дано £ > 0. Выберем п достаточно большим, чтобы 1/Зп < е. Выберем 6 > 0 меньше минимального расстояния между двумя последова-

тельным интервалами Ап или Вп. Пусть s,t £ Ли Т(х) =о\О2<*ъ • • a T(t) = Т1Т2Т3.... Если \s —t\ < 6, тодля каждого к = 1,2,..., п значения f^k\s) иf^k\t) лежат водних и тех же интервалах А^ или Sfc. Следовательно, <т/ь =т^, к =1,2,..., п, из чего следует, что

2 - 3* < £

Непрерывность доказана.

Если Т — взаимно однозначное непрерывное отображение из компактного метрического пространства (Л) в метрическое пространство (£), то Т^1 автоматически является непрерывным (теорема А.2.5). Следовательно, Г есть гомеоморфизм. •

Теорема 7.2.7. Квадратичная функция д(х) = х2 — 2 хаотична на интервале [—2,2].

Доказательство. Чтобы доказать утверждение теоремы, начнем с того, что покажем полусопряженность этого отображения с f(z) = z2, действующим на51 .Пусть Т : S1 ь-> [—2,2] определено как

Ясно, что Г непрерывно исюръективно. Диаграмма

51 Л 51

[-2,2] Л [-2,2]

коммутативна, таккак доТ(егв) =Гоf{e%e) =2cos29. Функция Т не является взаимно однозначной. Каждой точке отрезка соответствует пара точек окружности S1 (за исключением точек (1,0) и (—1,0)). Тем неменее, теорема 7.2.5 применима, и так как / хаотична на ~1 и п а гаовлетворяет условиям

транзитивности и периодичности для хаоса. Потеореме 7.1.1, функция д также удовлетворяет требованию существенной зависимости от начальных условий и таким образом хаотична.

Условие существенной зависимости легко доказывается и непосредственно. Пусть U — открытое множество в [—2,2]. Так как Т непрерывно, то U = Г""1 (С/) открыто в 51 . Пусть А — дуга в U. Для некоторого та > О,/(П)(А) покрывает всю S1. Из этого следует, что g(n)(U) покрывает весь интервал [—2,2]. В частности, если 8 — 1,то существуют точки х,у EU, для которых \д^(х) —д^п\у)\ > 6. •

Упражнения 7.2.

1.Докажите, что символьное пространство (£,d) есть метрическое пространство.

2.Докажите, что если и и г принадлежат символьному простран-

3.Докажите, чтосимвольное пространство (S, d) надвух элементах метрически эквивалентно классическому канторову множеству С. Используйте для этого теорему 7.2.2.

4.Покажите, что оператор обратного сдвига В : Е •—» Е,

В(а\а2(Тз • • •) = 0203СГ4 • • • 1

непрерывен.

5.Убедитесь в верности утверждения, содержащегося в доказательстве теоремы 7.2.2:

•ЛГ-1 1 JV- 1Ч \Хп- Ы ^г - > ^Г(|Ж„ - 2/п| + ~дГ~)'

при заданных хп, уп € {1,2,..., iV}.

6.Пусть /(х) = х2 - 6. Положим Ai = [-3,-v^] и Вх = [л/3,3].

а) Найдите Г(>/3).

б) Найдите ^ " ^ ( И П ...) и Т(-х)(2222 ...).

в) Чтоможно сказать о Т(ж), если х — граничная точка какого-

либо интервала Аг или Bi?

г) Что можно сказать о Т(~1'(<т), если а — повторяющаясяпоследовательность п цифр?