Kranover R M - Fraktaly i khaos v din sist
.pdf6.5 Хаос |
171 |
Рис. 6.11.Существенная зависимость от начальных условий
из оставшихся двух условий. Недавно Кнудсен [28] показал, что как существенная зависимость, так и транзитивность устойчивы по отношению к замыканию, а также приограничении на плотныеинвариантные подмножества. Он высказал предположение, что функция, заданная на ограниченном метрическом пространстве, может быть определена как хаотическая, если она имеет плотную орбиту и обладает существенной зависимостью от начальных условий.
Удвоение угла. |
Рассмотрим простейший пример хаотического по- |
|
ведения. Обозначим через S1 окружность (одномерную сферу) на |
||
плоскости, {(х,у) |
: х2 + у2 = 1}. В комплексной записи |
|
|
S1 = {eie |
: 0 €R}. |
Определим / : S1 н->51 уравнением: |
||
|
f(eie) |
= e2ie. |
Если же обозначить элементы 51 как комплексные числа z, тогда получаем:
f(z) = z2, |
(6.5) |
то есть обычный комплексный квадратичный полином.
L72 • Глава 6 / Хаотическая динамикаI
Рис. 6.12. Транзитивность
Георема 6.5.3. Функция f{e%e) = е2гв, или, что эквивалентно, квадратичная функция f(z) = z2, хаотична на окружности S1.
Доказательство. Мы должны показать, что / удовлетворяет условиям существенной зависимости, транзитивности и периодичности.
Существенная зависимость. Предположим, что е*6 € S1, a U —
эткрытое множество, содержащее егв. Пусть А — открытая дуга в U, содержащая ег0. Отметим, что f(n)(A) представляет собой дугу, которая имеет в 2П раз большую протяженность, чем А, если допузтить многократный обход окружности (рис. 6.13). При достаточно большом n, f(n\A) покрывает всю окружность S1. Зафиксируем гакое гг. Для выбранного п существуют точки в Л, а следовательно, и в U, которые разнесены посредством /(") по крайней мере на единичное расстояние. Таким образом, условие существенной зависимости выполняется при 6 = 1.
Транзитивность. Пусть U и V — открытые множества в S1. Рассуждая таким же образом, как и выше, для достаточно большого п получаем, что f^n\U) покрывает S1 и поэтому пересекает V.
Периодичность. Точки ег6, имеющие период п, удовлетворяют равенству ег 2 "е = егв, то есть они являются корнями из единицы порядка 2П — 1. Множество всех корней такого вида (для всех п)
0.5 -
0
-0.5
\f(f(f(A)))
-1
-1 -0.5
Рис. 6.13. Действие f(etB) = е2гв
6.5 Хаос |
173 |
f(A) \
x •
i
/
-
0.5
плотно в 51 . Подробности доказательства оставлены для упражнений (упр. 1 в конце данного параграфа). •
Тентообразное отображение. Функция
f 9 Т |
т < 1 /9 |
график которой приведен на рис. 6.14, иногда называется тентообразнымотображением. Рассмотрим его динамику при итерировании. Пусть XQ — начальная точка, и пусть хп = /(xn_i) или, что равносильно,
Хп = / ( П ) Ы -
Обозначим через Л множество начальных точек, которым соответствуют ограниченные орбиты {xn}%L0. Легко видеть (упр. 2 в конце настоящего параграфа), что если при некотором п > 0 либо хп < О, либо хп > 1, то орбита расходится к —оо. Таким образом, Л С [0,1].
L74 • Глава 6 / Хаотическая динамикаI
/\
1
/
/
(0,0) 1
1/3 2/3
Рис. 6.14. Тентообразное отображение, у = f(x)
Более того, в Л не входят все точки отрезка [0,1], в которых f^n\x) > 1 для некоторого п. Для п = 1 это означает, что Л не содержит эткрытый интервал (1/3,2/3). Для п = 2 два интервала, (1/9,2/9) и (7/9,8/9), не принадлежат Л (рис. 6.15). Продолжая далее в таком же духе, мы убеждаемся, что из Л выбрасываются те же самые эткрытые интервалы, что и при построении классического канторова множества С. Таким образом,
ЛСС.
Для того чтобы убедиться, что Л = С, покажем, что f(C) С С. Положим, что х € С имеет представление (см. п. 2.3):
х = £1 + £1 + ^1+ . . .
3 З2 З3
где хг = 0 или 2. Если х\ = 0, то
(0,0) |
(1,0) |
1/3 |
2/3 |
Рис. 6.15. у = |
|
Если xi = 2, то |
|
f{x) = 3 - З х = |
3 - ( ^ |
(2-х2 ) |
(2-ж3) |
3 |
З2 |
Так как каждый числитель в последнем выражении принимает значение 0 или 2, то и в этом случае /(ж) € С.
Теорема 6.5.4. Тентообразная функция
, |
Г Зх, |
х < 1/2 |
1{х) - |
1 з - Зх, |
х > 1/2, |
хаотична на классическом канторовом множестве С.
Доказательство. Мы докажем свойства существенной зависимости, транзитивности и периодичности, сопутствующие хаосу.
Существенная зависимость. Пусть х € С и 6 — 1/2. Пусть U
— открытое множество, содержащее х. Выберем такое достаточно большое п, чтобы ВТ(х) С U при г = 1/Зп. Пусть С„ — множество, полученное на шаге п построения канторова множества (рис. 2.20). Для п > 1 такое множество состоит из 2" интервалов длины 1/Зп. Обозначим через /„ некоторый интервал, содержащий х. Из выражений, приведенных непосредственно перед данной теоремой, имеем
f(n\ln) |
— [0,1]. Из этого следует, что существует такая точка у € |
/„ П С, что |
|
|/( п ) (х)-/(")(»)!> |
1/2 = Л |
|
Транзитивность. Транзитивность следует из тех же соображе- |
||
ний, которые использовались при доказательстве |
существенной за- |
|
висимости. В любой окрестности U существует интервал /„, для ко- |
||
торого f(n\ln) = [0,1], и поэтому f(n\U) |
имеет непустое пересечение |
|
с каждой окрестностью V, содержащей точки С. |
|
|
Периодичность. Графики функций у = f(n\x) |
и у = х, очевидно, |
|
пересекаются в точности 2" раз, а значит f^ имеет 2П неподвижных точек. Орбиты этих неподвижных точек по необходимости ограничены и поэтому они принадлежат отмеченному множеству Л и, следовательно, С. Из того, что каждый из 2П подинтервалов, образующих Сп, содержит по две неподвижные точки f(n+1\ следует, что эти неподвижные точки образуют плотное подмножество в С. ш
Обратный сдвиг. Пусть С — классическое канторово множество, образуемое выбрасыванием серединных третей отрезков. Напомним, что каждому х € С соответствует единственное троичное представление
х = 0,жхжг^з • • • (п о основанию 3), в котором каждая цифра ж* € {0,2}. Это означает, что
Мы покажем, что функция, именуемая обратным сдвигом (или просто сдвигом) троичного представления, хаотична на С. Эта функция определяется как
.. (6.6)
6.5 Хаос • 177
Очевидно, что
В( 2 ) = О, х3 х4 х5 ...,
= |
0 , Xn+iXn+2Xn+3 |
••••> |
Так как
то, следовательно, В{х) может быть описана арифметически в виде уравнения:
В{х) = Зх (mod 1), |
х € С, |
(6.7) |
за исключением значений х = 1/3 или х = 1. |
|
|
Приводимое ниже доказательство |
теоремы |
интересно само по |
себе, но оно также указывает путь, по которому в п. 7.2 будет доказываться важный результат о хаотическом поведении сдвига в абстрактно определенном «символьном» пространстве.
Теорема 6.5.5. Обратныйсдвиг ведет себя хаотически на канторовом множестве С.
Доказательство. |
|
Существенная зависимость. Положим 8 = 1/3. Пусть х |
= |
О, х\ Х2Х3... € С и пусть U — открытое множество, содержащее |
х. |
Выберем такое п, чтобы шар Вг{х) радиуса г = 1/Зп содержался в U. Образуем точку у € С, сначала полагая у — х, а затем изменяя значения yn+i с xn+i на 2 — хп+\. По построению,
B( n ) (x) = 0,xn + ixn + 2 xn + 3 ...,
В{п)(у) = (2 - xn + 1 )xn + 2 xn + 3 ...
Из этого следует, что
то есть условие существенной зависимости выполняется.
178 " Глава 6 / Хаотическая динамика I
Транзитивность. Для доказательства транзитивности положим, что [ / H F - открытые множества, которые без потери общности можно считать не имеющими общих элементов. Выберем точку х = 0,Ж1Ж2Жз... из С, которая принадлежит U и точку у = 0,у\У2Уз-- из С, которая принадлежит V. Выберем такое те, что для г — 1/3", ВТ{х) С U и Вг{у) С V. При таком выборе те точка z € С, определенная как
принадлежит U, так как
\x-z\ = K+1
<2/3n + 1 + 2/3n + 2 = • • •
=2/Зп + 1 (1 + 1/3 + 1/32 + ---)
=1/3".
Сдругой стороны,
B( n ) (z) = у € V.
Таким образом, обратный сдвиг транзитивен.
Как уже отмечалось при определении транзитивности, она эквивалентна наличию единственной точки х, орбита которой плотна в пространстве. В приведенном примере такая точка х имеет вид:
х = 0,02|00 02 20 22|000 002... (по основанию 3).
Эта запись получена последовательным выписыванием всех блоков нулей и двоек длины 1, затем всех блоков длины 2 и т. д. Вертикальная черта используется для отделения блоков длины 1 от блоков длины 2 и т. д. При любом у = 0, г/ц/гУз - • •? принадлежащем С, и любом п, существует такой блок длины п в представлении х, что первые его п элементов равны соответствующим элементам в представлении у. Положим, что такой блок начинается с индекса к + 1 в представлении х. Тогда
= 0,У12/2 ... |
упхп+к+1... |
(6.8) |
Из этого следует, что \В^к\х) — у\< 1/3" (упр. 7 в конце данного параграфа). Так как при любом е > 0 можно выбрать достаточно
йпп^тпа т> тятепр ЧТО 1/3" < £. ТО СУЩвСТВувТ ТОЧКа В*-11' ОрбиТЫ X,
6.5 Хаос • 179
которая принадлежит е-шару с центром в у. Следовательно, орбита точки х плотна в С.
Периодичность. Покажем, что любая точка х = 0, x\xix$... € С может быть аппроксимирована с заданной точностью периодической точкой. Последовательность периодических точек в С, определенная как
XiX2XjX2••• ,
должна сходиться к х, что и требовалось доказать. •
Применение обратного сдвига. Приведем еще один пример хаотической функции, заданной при помощи оператора обратного сдвига. Он аналогичен предыдущему примеру обратного сдвига, определенного на троичных представлениях точек классического канторова множества С. Однако теперь мы будем иметь дело непосредственно с абстрактными символами, а не с конкретными представлениями, как в троичном случае. Данный пример можно рассматривать как введение или предварительное рассмотрение темы п. 7.3, «Хаос и фракталы».
Пусть 5 — аттрактор для итерированной функции, определенной в виде аффинных отображений (рис. 6.16):
T2(z) =
Аттрактор 5 представляет собой вполне несвязное множество и, фактически, является модифицированным множеством Кантора.
Сопоставим каждой точке х € S последовательность целых чисел
а = о\ого%..., |
Oi = 1,2,3 |
(6.9) |
которая служит ее адресом. Например, наличие адреса точки х в виде а = 2312... просто означает, что выполняются утверждения:
180• Глава6 j Хаотическая динамика I
х€ T2(S),
х€ Г2Г3(5),
х€ T2T3T1T2(S),
Адреса точек в S на уровне 2 изображены на рис. 6.17.
Легко видеть, что каждая точка х € 5 имеет единственный адрес в виде (6.9) ичто каждая последовательность вида (6.9) определяет единственную точку х € 5. Если х имеет адрес а = a\a2o3..., а у имеет адрес т = Т\Т2ТЗ..., томы можем оценить расстояние между х и у следующим образом. Если а{ =Tj ДЛЯ г = 1,2,..., п, но ап+1 Ф
rn +i, то х и у лежат в множестве Та1Т^2... T(Tn(S), идиаметр этого множества равен 1/(3(п~1^\/2), так что
Hx-yll^l/^"-1)^). (6.10)
Используя адреса, можно естественным образом задать хаотическое отображение на аттракторе 5.Если точка х € 5 имеет адрес а, то оператор обратного сдвига В действует на х следующим образом:
В(а) — В{р\о2оъ |
•••) =о2оъоь ... |
(6.11) |
Определим теперь у =/(х) как точку у € S, имеющую адрес В(а).
Будем называть / отображением на S, индуцированным обратным сдвигом.
Теорема 6.5.6. Отображение f : S —» S, индуцированное обратным сдвигом в соответствии с формулой (1.11), хаотично.
Доказательство. Доказательство в основном повторяет рассуждения, приведенные в теореме 6.5.5.
Существенная зависимость. Пусть х € 5, U —открытое множество, содержащее х, 6 = 1/2 — минимальное расстояние между точками влюбой паре множеств Ti(5), T2(S) и Тз(5). Зададим адрес х в виде:
гг — гт,ГГъГТп . (Т; = 1. 2 ИЛИ 3.