Kranover R M - Fraktaly i khaos v din sist

8.1 Множества Жюлиа • 221

if z > 4, выход из цикла, end if

end while

if z < 4, построить (хо,уо), end if end for

end for

На рис. 8.1, 8.2, 8.3 и 8.4 приведены некоторые заполняющие множества Жюлиа, полученные с помощью алгоритма 8.1.1 (окно 576 х 576 пикселов).

Несложно написать программу, отображающую только граничные точки, то есть настоящее множество Жюлиа. Отличие этой программы от предыдущей заключается в том, что как только находится точка, обладающая захваченной орбитой, скажем, в пикселе с координатами (j,fc),то сразу проверяются орбиты точек, являющихся четырьмя «соседями» с координатами (j, к — 1), (j, к +1), (j — 1,к) и (J + 1, к), на свойство ухода в бесконечность (рис. 8.5). Если хотя бы одна из них стремится к бесконечности, то точка с координатами (j, к) помечается как элемент множества Жюлиа.

Для того чтобы сократить объем требуемой памяти, но при этом сохранить возможность доступа к уже просчитанным орбитам, можно хранить три строки (или столбца) результатов, причем значение 1 кодирует захваченные точки, а значение 0 — точки, уходящие в бесконечность. Значения средней строки проверяются с помощью описанного выше критерия для обнаружения граничных точек. Как только это проделано и полученные значения отображены на экран, запоминается новая строка, а предыдущая строка стирается. Процедура повторяется до тех пор, пока не будут обработаны все внутренние строки.

На рис. 8.6, 8.7 и 8.8 изображены несколько множеств Жюлиа, построенных по этой программе для окон 576 х 576 пикселов. Существует еще один алгоритм, наиболее подходящий для цветных изображений, известный под названием «алгоритм времениубегания», в котором цвета (или уровни черно-белого) используются

224 • Глава 8 / Комплексная динамика

j.k+1

j-l,k

Рис. 8.5. Тест для граничных точек

для индикации относительных промежутков времени (числа итераций), необходимых для того, чтобы выполнялось условие убегания \fc (z)\ > 2. Примеры изображений, полученных таким методом, приведены на рис. 3, 4 и 6 цветной вклейки.

Упражнения 8.1.

1. Пусть g(z) = aiz2 + 2a\z + ао, а.2 Ф 0, и пусть fc{z) = z2 + с.

Убедитесь в том, что если T(z) = a^z + а\ и с = —а\+ а\+ агао, то диаграмма

СЛ С

т\ {т

с h с

коммутативна, то есть /с о T{z) —To g(z).

2.(Компьютерный эксперимент.) Используйте компьютер для получения изображений множеств Жюлиа для f(z) = z3 + с. Убе-

дитесь в том, что если \z\ > \с\ и \z2\ > 2, то орбита z стремится

к со.

3.(Компьютерный эксперимент.) Используйте компьютер для получения изображений множеств Жюлиа для какого-нибудь полинома ОТZ.

226 • Глава 8 / Комплексная динамика

Рис. 8.8. Множество Жюлиа для г2 - 0,7382 +0,0827г

8.2. Орбиты в множествах Жюлиа

В этом параграфе мы изучим ещеодин подход к вычислению множеств Жюлиа. Эта теория важна для понимания множества Мандельброта.

Пусть г — точка множества Жюлиа </(/). Далее полагаем, что fc(z) — полином. В соответствии с определениями, приведенными в главе 6, точка z — периодическая с периодом р (нонеобязятельно с наименьшим периодом р), если f^ = z. Существуют несколько возможных типов поведения, зависящих от величины производной (/(р))', которую будем обозначать через А. Будем говорить, что периодическая точка z:

сверхпритягивающая,если А = 0; притягивающая, если |А| <1; нейтральная, если |А| = 1; отталкивающая, если |А] > 1.

Если w есть притягивающая или сверпритягивающая неподвижная точка, то область (бассейн) притяжения для w определяется как

A(w) = { г £ С :f(n)(z) -> w при п -> оо}.

Точка оо может быть классифицирована таким же образом. В теории функций комплексного перменного величина оо допустима и удовлетворяет, помимо прочих соотношений, уравнению z/oo = 0 при любом z € С. Окрестность бесконечно удаленной точки ос определяется в виде o o U { z € C : | z | > r } при некотором г >0.

8.2 Орбитыв множествах Жюлиа • 227

Динамическое поведение комплексной функции /, определенной в окрестности W бесконечно удаленной точки оо, может быть исследовано заменой z на \/z. Поведение функции f(z) в бесконечно удаленной точке оо эквивалентно поведению функции F(z) = l/f(l/z) в окрестности точки 0, что очевидно из следующей коммутативной диаграммы:

W Л С

Точка оо является притягивающей периодической точкой /, если точка 0 — притягивающая периодическая точка F. Например, если f(z) = z2 +c, то F(z) = l/f(l/z) = z2/{\ +cz2), и F'{z) = 2z/{l + cz2)2

принимает значение 0 при z = 0. Из этого следует, что бесконечно удаленная точка оо является сверхпритягивающей неподвижной точкой для f(z) = z2 + с. Следующая теорема представляет собой основной результат о соотношении множеств Жюлиа с орбитами f(z) при прямых и обратных итерациях. Подробное доказательство можно найти в [11] и [14].

Теорема 8.2.2. Пусть f — полином степени п > 2. Следующие определениямножества Жюлиа J(f) эквивалентны.

1.J(f) есть граница области притяжения всех притягивающих неподвижных точек f, включая оо.

2.Каждая отталкивающая периодическая точка принадлежит J{f), и J(f) является замыканием множества всех отталкивающих периодических точек f.

Более того, за исключением самое большее одной точки w на плоскости С, множество Жюлиа J(f) удовлетворяет

где предел понимается в смысле метрики Хаусдорфа.

Первое характеристическое свойство обобщает определение, первоначально данное для множества Жюлиа полинома:

228 • Глава 8 / Комплексная динамика

так как со является притягивающей неподвижной точкой в случае полинома, что было доказано выше в частном случае fc(z) = z2 + с.

Второе характеристическое свойство, касающееся плотности отталкивающих периодических точек, часто приводится как определение множества Жюлиа. В отличие от первого характеристического свойства, оно применимо не только к полиномам. Заметим также, что это определение автоматически удовлетворяет одному из требований, предъявляемых к хаотической динамической системе, а именно, условию плотности периодических точек.

Третье характеристическое свойство и определение (8.1) часто используются для вычисления множеств Жюлиа и их графического представления.

Продолжим рассмотрение примера f(z) = z2, начатое в предыдущем параграфе. В этом случае имеются три неподвижные точки: z = О, z = 1 и z = оо. Две точки, 0 и оо, являются сверхпритягивающими, а точка z = 1 — отталкивающей. Области притяжения для z = О и z = оо:

А(0) = {г : \г\ < 1}

и

А(оо) = {z : \z\ > 1}, соответственно. По определению 1 теоремы 8.2.2:

J(z2) = дА(0) = дА(оо) (= {z : \z\= 1}).

Периодические точки порядка р = 1,2,3,... удовлетворяют уравнению 22Р = z. Если z Ф 0, то zlv~x = 1, а значит имеется точно 2Р — 1 периодических точек. Все они лежат на единичной окружности и распределены на ней равномерно. Все эти ненулевые периодические точки являются отталкивающими, так как |(/р )'(г )| > 1 (УПР- 1 в конце данного параграфа), а их совокупность образует плотное подмножество единичной окружности. Таким образом, определение 2 теоремы дает тот же результат, что и определение 1, в частном случае f(z) = z2. Мы оставляем читателю самому убедиться, что определение 3 приводит к тому же множеству Жюлиа (упр. 2 в конце настоящего параграфа). Заметим только, что за исключением' точки w = 0 в С, обратные орбиты точки w сходятся к единичной окружности, то есть к J(z2).

Следующий алгоритм требует вычисления квадратных корней из комплексных чисел. Если z = гегв, то два квадратных корня

8.2 Орбитыв множествах Жюлиа • 229

записываются в виде ±у/гегв'2. Однако, обычно нам приходится работать с числами вида z = а + ib, и в этом случае удобнее использовать следующую формулу (см. упр. 3 в конце параграфа):

При каждом обращении к этой формуле может быть вычислено любое из двух значений квадратного корня.

Алгоритм 8.2.2 вычисляет и отображает множество Жюлиа для z2 + с. Этот алгоритм использует обратную итерацию и основывается на третьем определении теоремы 8.2.2. Для того чтобы начать процесс итерирования, необходимо вычислить одну отталкивающую периодическую точку. Этот шаг выполняется в первой части алгоритма с помощью вычисления двух неподвижных точек и удержания той из них, которая имеет большую абсолютную величину. Эта неподвижная точка всегда отталкивающая (упр. 4 в конце параграфа).

Алгоритм 8.2.2. (ПОЛУЧЕНИЕ МНОЖЕСТВА ЖЮЛИА С ПОМОЩЬЮ ОБРАТНОЙ ИТЕРАЦИИ)

Назначение: строит множество Жюлиа для fc(z) = z2 + с.

Вход:

с ь с2 (с = С1+ гс2)

level (число итераций, обычно 10-15)

Выход:

изображение множества Жюлиа

Инициализация:

графический экран для окна [—а,а] х [—а, а], а = max(2,2\/fc[).

Шаги.

Часть 1: вычисление отталкивающей неподвижной точки. с = с\ +ic2

w = Vl — 4с

zi =0,5(1 +w) z2 = 0,5(1 - w)

if |zi| > I22I, z = z\, else z = 22, end if