Kranover R M - Fraktaly i khaos v din sist
.pdf6.5 Хаос • 181
Рис. 6.16. Вполне несвязный ковер Серпинского (уровень 3)
Рис. 6.17. Адреса на уровне 2
182 • Глава 6 I Хаотическая динамикаI
Выберем такое п, чтобы шар Вг(х) радиуса г = \/Ъп~1 содержался в U. Создадим адрес
г = TIT2T3
сначала полагая г = а, а затем изменяя символ тп+\ так, чтобы он уже не равнялся <Jn+\- Пусть у — точка в S, имеющая адрес т. В соответствии с неравенством (1.10),
- y|i2 <
В частности, у € U. По построению
В^П\о) |
= СГп+10-п+2<7„+3 • • |
-B(n)(r) = r n + 1 r n + 2 r n + 3 • • • |
|
Из этого следует, что /^ПНХ) и |
/^"НУ)> которые имеют адреса В^п\а) |
и В(п\т), лежат в разных множествах Ti(S), T2(S) и Тз(5). Поэтому
что подтверждает выполнение условия существенной зависимости. Транзитивность. Для доказательства транзитивности положим, что U и V открытые множества, которые без потери общности можно предположить не имеющими общих элементов. Выберем точки х € U
и у € V, и пусть соответствующие им адреса имеют вид
(7 =
и
г =
Выберем такое п, что для г = 1/3""1 имеет место Вг(х.) С U. Тогда точка z 6 S, имеющая адрес
С = 0-1(72 . . . <Tn TlT2 . . . Г„ . . .
содержится в U в соответствии с неравенством (1.10). Более того, /(")(z) имеет адрес т= пггтз..., и поэтому
/( п ) (*0 = У-
тпанзитивности выполняется.
6.5 Хаос • 183
Периодичность. Мы должны доказать, что любая точка х € 5 может быть аппроксимирована с любой точностью периодической точкой. Пусть х имеет адрес а = о\о-?.о-%... Последовательность периодических точек в S, определенных адресами
должна сходиться к х, что и доказывает периодичность. •
Упражнения 6.5.
1.Убедитесь, что периодические точки функции z2, действующей на S1, плотны в 51 .
2.Рассмотрим итерации тентообразного отображения (рис. 6.14).
Убедитесь, что если для некоторого п |
> 0 либо хп < 0, либо |
|
хп > 1, то орбита расходится к —со. |
|
|
3. Пусть |
|
|
А-Ах, |
х> |
1/2. |
В пунктах (а)-(в) основным методом является построение паутинных диаграмм.
а) Покажите, что если х < 0, то Г™(х) —» —со, и если х > 1, то Тп (х) —> —со.
б) Покажите, что если х € (1/4,3/4), то орбита Тп(аг) расходится. в) Покажите, что если х £ (1/16,3/16) или х Е (13/16,15/16), то орбита Тп(х) расходится.
г) Учитывая сказанное выше, что вы думаете о том, какой вид должно иметь множество Л?
д) Покажите, что отображение Т ведет себя хаотически на множестве Л.
4.Найдите элемент аттрактора, изображенного на рис. 6.16, орбита которого при обратном сдвиге плотна в аттракторе.
5.(Математический и компьютерный проект.) Проведите исследование динамики итерирования функций с модулем. Сравните
184 • Глава 6 I Хаотическая динамикаI
динамику для приведенных ниже случаев. Мы благодарны Кэрол Ховальд, которая предложила и выполнила эти эксперименты.
а) у = -|аг| + 1, б) у = -4|х - 1/2) + 2,
в) у = -2\х - 1/2| + 1,
т)у = -\х-1/2\ + 1/2,
д) у = -8\х - 1/2| + 4, е)у = -4|х| + 2.
6.(Компьютерный проект.) Выполните эксперименты по хаотическим отображениям и распределениям вероятностей (см. [34]).
7. Убедитесь в справедливости неравенства (1.8), \В^к\х) — у\ < 1/3", возникающего при обсуждении транзитивности обратного сдвига на множестве Кантора.
8.Покажите, что если отображение / : X —» X обладает плотной орбитой для некоторой точки ж 6 X, то / является транзитивным.
Глава 7.
Хаотическая динамика II
7.1. Существенная зависимость
Следующая теорема, касающаяся определения хаоса, появилась в [3]в 1992 году.
Теорема 7.1.1. Пусть (X,d) —метрическое пространство, содержащее бесконечное множество точек. Если отображение / : X —> X непрерывно и транзитивно, а периодические точки f плотны в X, то f обладает существенной зависимостью от начальных условий.
* Доказательство. Во-первых, договоримся об обозначениях. Орбита точки х ЕX определяется как
Если х,q € X, то
d(x,O(q))=mi{d(x,y):yeO(q)}.
Если q\,q2 6 X, то
d(O(qi),O(q2)) =infKa,6) : a € O(qx),b € O(q2)}.
Замечание: использование обозначения d(E, F) вданном контексте отличается отприведенного в прил. А.З.
Выберем две произвольные периодические точки <?i иq2,имеющие непересекающиеся орбиты O(qi) и O(q2). Пусть
Мы покажем, чтоусловие существенной зависимости выполняется при 8 = 6o/S.
185
186 • Глава 7 / Хаотическая динамикаII
Заметим, что 6Q > 0 и что для любого х 6 X, либо d(x, O(q{)) > So/2, либо d(x,O(q2)) > So/2.
Пусть х € X, a U — открытое множество, содержащее х. Как обычно, обозначим через Bg(x) открытый шар радиуса 8 с центром в х. Пусть р — периодическая точка в W = U ПВ$(х) периода п. Исходя из приведенных выше рассуждений, одна из периодических точек, q\ или qi (обозначим ее q), имеет орбиту, удовлетворяющую неравенству d(x,O(q)) > 4ё. Положим
г=0
Множество V непусто, так как q € V, и открыто, так как прообразы при непрерывных отображениях открытых множеств открыты (прил. А.2). Вследствие транзитивности / существуют точка у € W и целое число к, такие, что f^k\y) € V.
Пусть _; — целая часть к/п + 1. Следовательно, к/п 4-1 = j + r, где г — дробная часть, 0 < г < 1. Очевидно, что целое число nj — к равно п — га. Отсюда следует, что 1 < щ — к < п.
По построению,
!{п]\у) |
= |
|
|
€ |
|
Оценим d(f(nj)(p),f(n:>\y)), |
или, что эквивалентно, d(p, f(nj\y)), |
|
так как р имеет период п. Пусть
Ь=
Заметим, что d(a,b) < S. Применим неравенство треугольника к треугольникам с вершинами р,а,Ь и х,р, Ь:
d(p, b) < d(p, a) + d(a,b), d{x,b) <d(x,p) + d{p,b).
Тогда
d(x, b) < d(x,p) + d(p, a) + d(a,b),
или
d(n, a) > d(x, b) — d(x,p) —d(a,b).
7.2 Символическая динамика • 187
По построению,
d(x,b) = d(x,f(nj-k\q) > d(x,O(q)) >4Й.
Т а к к а к р € Bs(x), т о d(x,p) < 6 ип о э т о м у
d(p, а) > 4<5 - 6 - 6 = 26,
то есть
Применяя неравенство треугольника к треугольнику с вершинами
/to)(ж), f^Kp), f(nj\y), |
получаем: |
d(fin3)(x),/(nj)(p)) |
> 6 или d{f(nj\x), f<™\y)> 6, |
так как если длина одной из сторон треугольника больше 26, то одна из двух оставшихся сторон имеет длину поменьшей мере 6.В обоих случаях существует точка (у или р) в W,пу-итерация которой находится на расстоянии, большем 6, от /(nJ^(x). •
7.2. Символическая динамика
Одним из основных способов доказательства наличия хаоса в дискретной динамической системе является использование символической динамики1 нанекотором «символьном» пространстве. Понимание этого подхода является ключевым при рассмотрении других, более общих форм хаоса. Перед прочтением этого параграфа будет уместно еще раз просмотреть материал, относящийся к обратному сдвигу из п. 6.5.
Символьное пространство£ на N элементах определяетсякак
множество всех последовательностей |
|
<Т!О-2о-з• • •, |
crn€{l,...,N}. |
Если
О=
1Отправная идея — кодировать каждую траекторию бесконечной последовательностью символов, — высказанная в середине 30-х годов Хедлундом, развилась теперь в богатую теорию, окрещенную Марстоном Морсом символической
динамикой Г621
188 • Глава7 / Хаотическая динамика II
и
г = TIT2T3 . . . ,
то растояние между ними определяется как
w3r- <7Л)
В соответствии с упр. 1 в конце данного параграфа символьное пространство (S, d) является метрическим пространством.
Теорема 7.2.2. Символьное пространство (E,d) на N элементах метрически эквивалентно канторовумножеству и, следовательно, компактно, совершеннои вполне несвязно.
Доказательство. Пусть X — множество всех точек х € [0,1], представленных в виде:
х = 0, х\Х2Хз-.. (по основанию N + 1),
(N + 1) + (N + I)2 + (N + I)3 + ""''
причем Xi € {1,2,... ,N}. To есть X представляет собой канторово множество типа «выброшенная цифра», как в п. 2.3. В данном случае X состоит из точек отрезка [0,1], записанных в системе счисления по основанию N + 1, причем Xi Ф 0. В евклидовой метрике \х — у\ множество X компактно, совершенно и вполне несвязно.
Из метрической эквивалентности пространств (Е,d) и X с евклидовой метрикой немедленно следует, что (£,d) компактно, совершенно и вполне несвязно, в силу стандартных топологических теорем (прил. А.2).
Точке
л- |
Л — ™ ял |
*~ |
V |
X = U,Xi#2^3 • -• € А
сопоставим последовательность
а = ф(х) = Xix2x3 • • •
Подробнее, образ а (в символьном пространстве) точки х G X мы получаем, отбрасывая десятичную точку в записи х и рассматривая полученную последовательность как набор символов из
7.2 Символическая динамика |
189 |
{1,2,..., N}. Очевидно, что функция ф отображает X на Е взаимно однозначно. Для того чтобы продемонстрировать метрическую эквивалентность, нам необходимо указать такие константы K\,Ki > О, что
Кк1(ф(х), ф{у)) <\х-у\< К2<1(ф(х), ф(у))
для всех х, у € X.
Легче найти Къ- Для х = О,x\xix-$ . и у = О,У1У2У3 ... из X, по неравенству треугольника, имеем:
\х-у\ = |
Xj-Уг |
|
Таким образом, можно положить .Кг = 1-
Пусть п — наименьшее значение индекса г, для которого Xi ф уг. Многократно применяя неравенство треугольника, получим
\х~У\ = |
|
|
Уг |
r[ {N + 1)г |
(N +1УI |
||
|
xn |
- Уп\ |
|
|
IT |
it I |
t — Уг\ |
|
\Xn |
— yn\ |
|
|
\xn |
~ Уп\ |
N-l |
|
\xn -yn\ |
N-l |
|
|
(N + 1)" |
N (N + 1)" |
|
|
(\ |
I |
N- |
- |
\\Хп~Уп\ |
N |
|
Так как 1 < \xn —yn\ < N (упр. 5 в конце параграфа), то
. |
JV - 1 |
1 .. |
. |
N-l. |
\хп - Уп\ |
zr- |
> Т72(FAT - Уп| + —1ГГ-)» |
||
190 • Глава 7 / Хаотическая динамика 11
откуда следует
1 /
=
Следовательно, можно положить К\ = 1/N2. •
Оператор обратного сдвига В, обычно называемый просто оператором сдвига, определяется на S как
- |
(7-2) |
Теорема 7.2.3. Сдвиг В : Е •—• Е хаотичен.
• Доказательство.
Существенная зависимость. Пусть (5 — любое положительное число, 6 > 1/(Л^ + 1). Пусть <7 = <7i0203 •.. из £, и пусть f/ — открытое множество, содержащее а. Выберем такое п, чтобы l/(iV + 1)п- окрестность а содержалась в U. Создадим точку г G Е, полагая сначала г = а, а затем изменяя значение тп+\ таким образом,
чтобы тп+1 Ф ап+\- По построению, В^п\сг) = о-п+хо-п+2О~п+з•• • и
ЯН(г) = rn+i<7n+2an+3 • • • Откуда следует, что d(B^n\a), В^п\т)) >
Транзитивность. Для доказательства транзитивности предположим, что U и V — открытые множества в S. Без потери общности можно считать, что U ПV = 0. Выберем точку а — о\о~чо~г... ъ V и точку г = Г1Т2Г3... в V. Выберем п таким, чтобы l/(iV + 1)"- окрестности а и т лежали в U и V, соответственно. При таком выборе п точка £ G Е, определяемая последовательностью
. . . Тп