Kranover R M - Fraktaly i khaos v din sist

6.2 Итерированные отображения • 1 5 1

Пока будем полагать XQ действительным числом, а функцию / элементарной, например:

х2 + с,

сх(1 — х),

COS Ж.

В отличие от примеров, рассмотренных в предыдущих главах, отображение / теперь не предполагается сжимающим. Вследствие этого теорема о неподвижной точке неприменима и уже нельзя сделать вывод о сходимости последовательности {хп}^=0. Фактически, с точки зрения динамической теории, подобные системы интересны именно потому, что в них происходят вещи, отличные от сходимости к пределу.

В хаотической динамике рассматривают нелинейные (неаффинные) функции, которые нельзя представить в виде f(x) = ах + Ъ, так как в линейном или аффинном случаях хаотического поведения не наблюдается.

Напомним, что в главе 3 неподвижная точка отображения / определялась как точка ж, удовлетворяющая условию f(x) = х. Неподвижная точка х называется притягивающей в том случае, если орбиты всех точек из некоторой ее окрестности (возможно, очень малой) сходятся к ней. Неподвижная точка х называется отталкивающей, если орбиты всех достаточно близких к ней точек удаляются от нее.

Простой способ определения, является ли неподвижная точка притягивающей или отталкивающей, заключается в рассмотрении величины |/'(ж)|, в предположении, что она существует. Если х неподвижная точка и |/'(ж)| < 1, то х — притягивающая, а если |/'(ж)| > 1, то i — отталкивающая. В случае, когда \f'(x)\ = 1, определенного вывода сделать нельзя: точка х может быть притягивающей, отталкивающей или ни той и ни другой (см. упр. 1 в конце настоящего параграфа).

Орбита называется периодической с периодом р, если хп+р = хп для п = 0,1,2,... В некоторых случаях, когда мы говорим, что орбита имеет период р, подразумевается наименьший период. Обычно из контекста всегда ясно, что имеется в виду. Если же уравнение периодичности хп+р =• хп становится справедливым только после некоторого конечного числа шагов, скажем, для п > по , то говорят, что орбита является в конечном итоге периодической.

152 • Глава 6 / Хаотическая динамикаI

Особенно удобным способом графического представления орбиты вещественнозначной функции / является паутинная диаграмма (алгоритм 3.3.1). На паутинных диаграммах хорошо видна динамика орбит, особенно если на отрезках показаны стрелки, обозначающие направление движения (см. рис. 6.3-6.8).

Несколько возможных вариантов поведения дискретных динамических систем демонстрируется приведенными ниже примерами.

Пример. Функция f(x) = х2 (рис. 6.3). Если начальная точка XQ= О или XQ= 1, то есть XQпринимает значения неподвижных точек /, то орбиты постоянны. Если XQ> 1, то орбита стремится к +оо. Если О< хо < 1 или - 1 < XQ< 0, то орбита сходится к неподвижной точке 0. Если XQ= 1, то орбита принимает вид:

[ - 1 1 1 1 . . . ] ,

то есть орбита является в конечном итоге периодической. Если XQ<

— 1, то хп —уоо. В этом случае говорят, что орбита расходится. В данном примере неподвижная точка 0 является притягивающей, а неподвижная точка 1 — отталкивающей.

2\х\ > 1 в обоих случаях. Но есть еще одно обстоятельство, которое надо отметить, так как оно важно при рассмотрении динамики.

Неподвижные точки f^2\x) суть корни полинома ж4 —2х2 —х и равны 0, —1 и (1 ± л/5)/2. Две последние являются к тому же неподвижными точками f(x), поэтому они обладают периодическими орбитами наименьшего периода 1. Орбиты двух новых точек, 0 и —1:

имеют наименьший период 2.

154 " Глава 6 / Хаотическая динамикаI

Рис. 6.4. Функция f(x) = х2 - 1; х0 = -0,5

хо > £ и #о < —£н е представляют интереса, так как для этих случаев все они стремятся к +оо (упр. 3(6) в конце настоящего параграфа).

Вследствие этого в данном параграфе мы полагаем, что с < 1/4 и —£ < хо < +£• Дополнительные несложные вычисления дают:

и, если —2 < с:

доказательство корректности рисунка, соответствующего с < -2, то есть того, что нижняя точка графика лежит ниже —£ (упр. 5 в конце настоящего параграфа).

Пусть / — замкнутый интервал [—£,£]. В случае —2 < с < 1/4, если хо € /, то f(xo) € / и вся орбита целиком находится в /. Если

6.2 Итерированные отображения • 155

-2-

-2-

Рис. 6.5. а) -2 < с < 1/4, б) с = -2, в) с < -2

с < -2 и ^о € /, то возможны два случая: либо орбита остается в / или же в конечном счете некоторое значение хо становится меньше

—£ и тогда орбиты устремляются к +оо.

Когда —3/4 < с < 1/4, неподвижная точка ту является притягивающей, так как |/'(гу)| = |1 —\/1 — 4с| < 1 и все орбиты (начинающиеся в /) сходятся к г]. По мере того как с убывает и становится меньше —3/4, величина \f'{v)\ возрастает и становится больше 1, то есть г) становится отталкивающей. В то же время функция /'2) доставляет пару притягивающих неподвижных точек, которые приводят к появлению цикла с периодом 2 для / (рис. 6.6 и 6.7). Этот феномен наблюдался в примере 2. Говорят, что система претерпевает бифуркациюудвоения периода, когда с проходит через значение —3/4.

Другая бифуркация удвоения периода возникает при с = —5/4. Когда с становится меньше этого значения, орбиты начинают при-

156 • Глава 6 / Хаотическая динамика I

Рис. 6.6. Бифуркация удвоения периода

тягиваться циклом с периодом 4. По мере того как с убывает, мы последовательно встречаем притягивающие периодические орбиты длины 8, 16 и так далее. Рассматривая диаграммы орбит (рис. 6.9), можно заметить нечто большее. В действительности, мы построили пример того, что называется получением хаоса с помощьюудвоения периода. Мы вернемся к этому вопросу в п. 6.3 и 6.4, где будут рассмотрены исследования Фейгенбаума и Шарковского.

Частный случай с = — 2 заслуживает особенного внимания. При этом значение £ равно 2, а интервал I равен [-2,2]. Как следует из рис. 6.5(6), график у = f(x) для х G / в точности заполняет квадрат 1x1, в том смысле, что не существует меньшего квадрата со сторонами, параллельными осям кооординат, который бы полностью содержал данный график. То же самое верно для у = f^(x), у = f(3\x),..., как показано на рис. 6.8. Прямая у = х пересекает график у ==f(n\x) точно 2" раз в квадрате 1x1. Каждое пересечение есть не что иное, как неподвижная точка функции /(п) и, следовательно, периодическая точка с периодом п (не обязательно наименьшим).Из сказанного выше следует, что для с = — 2 существуют периодические орбиты функции / с периодами длины 2, 3, 4, ...

Перейдем к рассмотрению диаграммы орбит. Эта диаграмма представляет собой график, в котором величины с откладывают-

6.2 Итерированные отображения• 157

Рис. 6.7. Увеличенное изображение графика f(x) = х2 —0,9

ся по оси ординат, а на каждой горизонтальной прямой у = с наносятся точки притягивающих периодических орбит для ж2 + с. Достаточно ограничиться значениями с из (—2,1/4). Для получения притягивающей периодической орбиты для заданного с положим хо = 0 (причина выбора нуля станет ясна далее при изучении множества Мандельброта). Затем вычисляется орбита с помощью функции f(x) = х2 + с. На практике достаточно вычислить 200 точек. Отбросим первые 50. Оставшиеся 150 точек дают достаточно хорошую аппроксимацию периодической орбиты. Для каждого п = 51, ..., 200, нанесем на диаграмму точку (хп,с). Достаточно подробная диаграмма орбит может быть построена таким образом при шаге по параметру с в указанных выше пределах, равном 0,00625. Конечно, более точное изображение диаграммы орбит (как на рис. 6.9) может быть получено в результате вычисления орбит большей длины и при меньшем шаге по параметру с.

6.3Универсальность Фейгенбаума• 159

3.а. Покажите, что если с < 1/4, то —£ < г)< £.

б.Покажите также, что если XQ > rj или хо < —»?, то орбитаXQ стремится к +оо.

4.Покажите, что при прохождении параметра с через значение —3/4, величина |/'(??)|, возрастая, проходит через 1, и, следовательно, ту из притягивающей становится отталкивающей.

5.Покажите, что если с < —2, то наименьшая величина f(x) при

—г\ < х < г)меньше—г).

6.Покажите, что если с < 2 и любой член итерации хп становится меньше —т), то орбита стремится к +оо.

6.3. Универсальность Фейгенбаума

Основной вопрос в теории турбулентности сводится к тому, как предсказать ее возникновение, исходя из условия кажущейся стабильности и равновесия. Примеры такого перехода к хаосу наблюдаются нами ежедневно. Дым от зажженной сигареты вначале поднимается в виде столба. Но немного спустя этот столб испытывает бифуркации и становится хаотическим. Вода начинает капать из крана с одной капли, а затем кап-кап, потом кап-кап-кап — все быстрее и быстрее, до тех пор, пока не возникает хаос. Есть даже любители, стремящиеся найти все новые и новые примеры естественного хаоса [17, с. 262].

Фейгенбаум начал свои исследования с анализа интервалов между бифуркациями (удвоениями периода) в диаграмме орбит для квадратичной функции4 у = сх(1 — х). Соответствующая диаграмма орбит выглядит почти так же, как и для функции у = х2 + с (рис. 6.9). Основное значение анализа, проведенного Фейгенбаумом, заключается в его универсальности. Описанный им механизм, известный теперь под названием «получение хаосас помощью удвоения периода», возникает не только при итерациях сх(\ — х), но и в

4 Это отображение называют логистическим. Оно возникает при рассмотрении экосистем и впервые было исследовано П. Ферхюльстом в 1845 году, поэтому диаграмма орбит (бифуркационная диаграмма) часто называется диаграммой Ферхюлъста.