Kranover R M - Fraktaly i khaos v din sist

42 • Глава 2 / Классические фракталы

Теорема 2.3.2. Мощность множества Кантора С равна мощности континуума [0,1].

Доказательство. Нам необходимо установить взаимно однозначное соответствие между точками из С и точками отрезка [0,1]. Для этого нам потребуется рассмотреть двоичное (по основанию 2), а также троичное(по основанию 3) представления точек отрезка [0,1].

Для того чтобы избежать двусмысленности в случае, когда точка имеет два двоичных или троичных представления, мы будем всегда выбирать то представление, которое заканчивается всеми единицами в двоичном случае и всеми двойками в троичном.

Замечаем, что точка попадает в множество Кантора С тогда и только тогда, когда в ее троичном представлении отсутствуют единицы, то есть когда в нем присутствуют только нули и двойки. Тогда искомое соответствие точек из С с точками отрезка [0,1] осуществляется заменой всех двоек в троичном представлении х на единицы. Полученное таким образом двоичное представление определяет некоторое вещественное число у. Например, если х € С есть:

Описанная процедура определяет взаимно однозначное соответствие между х 6 С и у € [0,1]. •

5. Классическая канторова пыль представляет собой примеркомпактного, совершенного и вполне разрывного множества. Эти понятия объясняются в главе 3. Более того, можно утверждать, что топологически классическое множество Кантора определяется как компактное, совершенное и вполне разрывное множество. Это означает, что любое компактное, совершенное и вполне разрывное множество можно непрерывно преобразовать в пыль Кантора, причем существует обратное преобразование, с помощью которого можно восстановить исходное множество. Любое такое множество принято называть множеством Кантора. Не следует думать, однако, что все множества Кантора самоподобны. Более того, даже фрактальная размерность различных самоподобных множеств Кантора не обязательно совпадает, как показывает следующий пример.

2.3 Пыль Кантора • 43

Множество Кантора размерности d и 0,9542. Рассмотрим пример самоподобного фрактала, являющегося множеством Кантора фрактальной размерности d = log(9)/log(10) ss 0,9542 (в то время как размерность канторовой пыли d « 0,6309).

Обозначим через X множество всех вещественных чисел отрезка [0,1], в десятичном представлении которых:

х- 0,xix2x3...

отсутствует какая-нибудь цифра, скажем, цифра 7. К примеру, числа

0= 0,0000...

1= 0,9999...

1/4 = 0,2500...

принадлежат множеству X. Принадлежит X и число 0, 7, так как мы можем записать его следующим образом:

0,7 = 0,6999

то есть не используя цифру 7.

По некотором размышлении становится ясно, как построить множество X. Пусть XQ = [0,1]. Разделим Хо на десять равных интервалов. Цифра х\ указывает, какому из интервалов принадлежит х. Если х\ = 0, то х попадает в первый интервал и т. д. Двусмысленность возникает только в том случае, когда х совпадает с концом какого-либо отрезка. Тогда имеется два возможных представления числа х: одно оканчивается всеми нулями, другое — всеми девятками. Но это не создает никаких проблем, так как мы договорились заранее, что ни одна цифра Xi не равна 7. Раз х\ ф7,тох не попадает в восьмой интервал, то есть х не принадлежит интервалу (0,7; 0,8). Выбросим этот интервал и обозначим оставшееся множество через Х\. Разделим каждый из девяти оставшихся интервалов на десять равных частей. Так как xt ф 7, то мы можем выбросить каждый восьмой из получившихся интервалов. Обозначим новое множество через Х%. Повторяя описанную процедуру бесконечное число раз,получим последовательность вложенных множеств Xo,Xi,X2,... Искомое множество X есть пересечение всех этих множеств. Из построения следует, что X представляет собой объединение N = 9

44 • Глава 2 / Классические фракталы

уменьшенных в 10 раз (г = 1/10) копий самого себя. Таким образом, X — самоподобный фрактал, и егофрактальная размерность равна:

d = log(9)/log(10) и 0,9542.

Множество Кантора размерности d = 1. Переходя от прямойк плоскости, можно построить множество Кантора размерности d = 1. Следующий пример принадлежит Магди Мохамеду. Пусть исходное множество — единичный квадрат на плоскости с вершинами в точках (0,0), (1,0), (1,1) и (0,1). Накаждом шаге имеющиеся квадраты заменяются четырьмя меньшими, как показано на рис. 2.21. Предельное множество этого построения есть самоподобный фрактал с N = 4 и коэффициентом подобия г = 1/4. Следовательно, его размерность равна:

d = log(4)/log(4) = l.

Из построения следует, что полученное множество есть множество Кантора, так как онокомпактно, совершенно и вполне разрывно.

Упражнения 2.3.

1.Можно ли утверждать, чтокаждая точка канторовой пыли является концом какого-то из отрезков, возникающих приее построении, то есть имеет вид А;/Зп? Обосновать ответ.

2.Является ли ковер Серпинского из п. 2.1 множеством Кантора? Обосновать ответ.

3.Определить фрактальную размерность (размерность подобия) модифицированного множества Кантора, в котором на каждом шаге выбрасывается центральная пятая часть каждого интервала.

4.Построить и отобразить графически L-систему для фрактала «без семерок», описанного выше. Указание: Использовать команду а - тг/4 в программе ТЕРТЛ-ГРАФИКА.

5.Найти сумму длин интервалов, выброшенных при построении фрактала «без семерок».

6.а) Определить фрактальную размерность (размерность подобия) фрактала, изображенного на рис. 2.9.

б) Объяснить, почему этот фрактал является множествомКантора.

2.4 Кривые Пеано • 45

Рис. 2.21. Построение множества Кантора размерности d =1

7.Определить фрактальную размерность (размерность подобия) фрактала, состоящего из таких точек отрезка [0,1], в десятичном

представлении которых х = 0,x\Xix$ ... отсутствуют цифры 3

и 7.

8.Определить фрактальную размерность (размерность подобия) фрактала наплоскости, состоящего източек (х, у), где х, у € [0,1],

причем в десятичном представлении чисел х = 0,x\Xix%... и

У —0,2/12/22/3• • • отсутствуют цифры 3 и 7.

9.Определить фрактальную размерность (размерность подобия) фрактала наплоскости, состоящего източек (х, у), гдех, у € [0,1],

У = О,J/12/22/3• • • отсутствуют цифры 0, 1 и 3.

10.Описать фрактал изупр. 6, используя представление точек (х,у) фрактала в троичной системе счисления.

2.4. Кривые Пеано

Снежинку Коха и другие непрерывные кривые на плоскости, полученные с помощью L-систем, объединяет то, что их размерность удовлетворяет неравенству: 1 < d < 2. Возникает вопрос, существует ли кривая размерности d = 2? Этот вопрос примечателен не только тем, чтоответ нанего положительный, ноитем, чтоонбыл разрешен Джузеппе Пеано еще в 1890 году. Пеано построил непрерывную функцию, чья область определения — отрезок, а область значений

46 • Глава 2 / Классические фракталы

Рис. 2.22. Первая итерация построения Пеано, z = Pi(x)

— квадрат на плоскости. Соответствующая линия называется кривой Пеано или кривой, заполняющей плоскость. Кривая Пеано не является фракталом в определении Мандельброта, но тем не менее интересна как пример функции, отображающей множество заданной размерности на множество большей размерности. Это и другие подобные открытия примерно того же времени, в особенности работы Вейерштрасса и Кантора, оказали огромное влияние на дальнейшее развитие математического анализа. Опоры на одну только интуицию уже недостаточно. Понятие кривой Пеано, безусловно, не является интуитивным, а изначально появилось из чисто аналитических рассуждений.

Введем некоторые обозначения, удобные при изучении свойств кривой Пеано. Пусть / — единичный отрезок [0,1], S — единичный квадрат / х /, то есть:

При построении, как и в п. 2.3, используется представление точек отрезка / в системе счисления по основанию 9. Первый шаг состоит в том, чтобы разбить 5 на девять равных частей. Непрерывная кривая, которая проходит через все квадраты, строится так, как

2.4 Кривые Пеано • 47

Рис. 2.23. Вторая итерация построения Пеано, z = Р%(х)

показано на рис. 2.22 сплошной линией со стрелками. Пунктирная линия указывает, в каком порядке обходятся квадраты. Квадраты занумерованы числами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8, в соответствии с порядком, в котором линия их пересекает. Полученная линия представляет собой первую итерацию построения.

Далее, каждый из этих девяти квадратов разбивается на девять равных подквадратов, которые нумеруются аналогично тому, как это было сделано на первой итерации. Получаем линию, которая проходит через девять подквадратов таким образом, что ее начальная и конечная точки ложатся на кривую предыдущего уровня. Это позволяет нам занумеровать подквадраты числами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 внутри каждого квадрата. Повторим описанную процедуру бесконечно, каждый раз разбивая квадраты на девять подквадратов, строя кривую через все подквадраты так, чтобы ее концы ложились на линию предыдущего уровня, и занумеровывая их. На рис. 2.23 изображено, как выглядит после двух итераций квадрат с номером 4.

Фактически, кривая Пеано, переводящая I в 5, определяется отображением, которое сопоставляет точке х € /, записанной в девятиричной системе счисления О,Ж1Ж2Х3..., точку Р{х) € 5 по

48 • Глава 2 / Классические фракталы

следующему правилу:

Р{х) — в квадрате под номером х\ после первой итерации, Р{х) — в квадрате под номером х\Х2 после второй итерации, Р{х) — в квадрате под номером £1X2X3 после третьей итерации,

Теорема 2.4.3. Отображение Пеано есть непрерывная функция, переводящая интервал I в квадрат S. Более того, последовательность отображенийРх(х), Рг{х), Рз(х), ... сходится:

• Доказательство. Доказательство предполагает знаниеравномерной сходимости и критерия Коши (прил. А.1-А.2). Также см. [5] или [42].

Мы докажем более сильное утверждение, чем просто существование предела в (2.3). Именно, мы установим, что сходимость на отрезке / — равномерная, из чего можно будет сделать вывод о непрерывности предельной функции. Для установления равномерной сходимости применим критерий Коши в следующей формулировке.

где d{Pm{x), Рп(х)) — евклидово расстояние (длина прямой) между точками Рт(х) и Рп(х).

квадрате, если т. > п. Следовательно, для х G [х^х^