4.1. Теоретические сведения

Инженеру часто приходится решать алгебраические и трансцендентные уравнения на этапе математического моделирования физических объектов и явлений. Практическая ценность метода решения в значительной мере определяется быстротой и эффективностью получения результата.

Выбор метода для решения уравнений зависит от характера рассматриваемой задачи. Задачи, сводящиеся к решению алгебраических и трансцендентных уравнений, можно классифицировать по числу уравнений и в зависимости от предлагаемого характера и числа решений (рис. 10).

Рис. 10. Классификация уравнений

Нелинейные уравнения можно разделить на два класса  алгебраические и трансцендентные. Алгебраическими называют уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные). Уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и другие) называются трансцендентными.

Методы решения нелинейных уравнений делятся на две группы:

точные (аналитические);

численные (итерационные).

Точные методы позволяют получить решение в виде некоторого конечного соотношения (формулы). Недостатком этих методов является то, что многие уравнения и системы уравнений не имеют аналитических решений. В первую очередь это относится к большинству трансцендентных уравнений.

Для их решения используются численные методы с заданной степенью точности.

Численное решение уравнений проводят в два этапа:

1. отделение корней, т. е. отыскание достаточно малых отрезков в области допустимых значений, которые содержат единственный корень;

2. вычисление корней с заданной степенью точности.

Процесс отделения корней начинается с установления знаков функции f(x) в граничных x = a и x = b точках области ее существования (рис. 11).

Рис. 11. График функции y = f(x) и интервал [a, b],

содержащий корень функции

Приближенные значения корней могут быть также известны из физического смысла задачи, из решения аналогичной задачи при других исходных данных или могут быть найдены графическим способом.

В инженерной практике распространен графический способ определения приближенных корней.

Принимая во внимание, что действительные корни уравнения y = f(x)  это точки пересечения графика функции f(x) с осью абсцисс, достаточно построить график функции f(x) и отметить точки пересечения f(x) с осью Ох.

Построение графиков часто можно упростить заменой уравнения y = f(x) равносильным ему уравнением  f₁(x) = f₂(x), где f₁(x) и f₂(x)  функции более простые, чем функция f(x).

Точка пересечения графиков у = f₁(x) и у = f₂(x) является искомым корнем (рис. 12).

Итерационный процесс, который является основой численных методов, состоит в последовательном уточнении начального приближения х₀. Каждый такой шаг называется итерацией. В результате итераций находится последовательность приближенных значений корня х₁, х₂, ..., х_n. Если эти значения с увеличением числа итераций n приближаются к истинному значению корня, то говорят, что итерационный процесс сходится.

Рис. 12. Нахождение корня уравнения y = f(x) заменой равносильным уравнением f₁(x) = f₂(x)