4.1.1. Метод половинного деления

Для нахождения корня уравнения y = f(x), принадлежащего отрезку [a, b], делим этот отрезок пополам. Если тоявляется корнем уравнения. Если(что, практически, наиболее вероятно), то выбираем ту часть отрезкаили, на концах которого функцияf(x) имеет противоположные знаки. Процесс деления отрезка продолжается до тех пор, пока длина отрезка больше заданной точности вычислений.

Метод половинного деления метод прост и надежен, удобен для практического применения. Алгоритм, реализующий метод половинного деления, представлен на рис. 13.

4.1.2. Метод Ньютона

Сущность данного метода заключается в том, что на первом шаге вычислений из точки начального приближения х₀ восстанавливается перпендикуляр до пересечения с графиком функции f(x). Из точки пересечения проводится касательная к графику y = f(x). Точка пересечения касательной с осью абсцисс служит точкой следующего приближения (рис. 14). Для инициализации вычислительного процесса достаточно задать некоторое начальное приближение корня x = х₀.

Рис. 13. Графическая схема алгоритма метода половинного деления

Применяя метод Ньютона, следует руководствоваться следующим правилом: в качестве исходной точки х₀ выбирается тот из концов отрезка [а, b], для которого справедливо условие: f(х₀)∙f (х₀) > 0. Это условие сходимости метода Ньютона.

Уравнение касательной, проведенной к графику y = f(x) через точку В₀ с координатами х₀ и f(х₀), имеет вид:

. (1)

Отсюда найдем следующее приближение корня х₁ как абсциссу точки пересечения касательной с осью Ох (y = 0):

(2)

Рисунок 1. Метод Ньютона

Рис. 14. Геометрическая интерпретация метода Ньютона

Запишем формулу (2) в общем виде:

. (3)

Формула (3)  итерационная формула рекуррентного процесса.

Алгоритм, реализующий метод Ньютона, представлен на рис. 15.

4.1.3. Метод простой итерации

Для использования метода итерации¹ исходное нелинейное уравнение f(х) = 0 заменяется равносильным:

x = (x). (4)

Пусть известно начальное приближение корня х = х₀. Подставляя это значение в правую часть уравнения (4), получим новое приближение:

х₁ = (х₀). (5)

Рис. 15. Графическая схема алгоритма метода Ньютона

Подстановка нового значения корня в уравнение (4) дает возможность получить последовательность значений:

(6)

Процесс сходимости метода итераций по «лестнице» представлен на рис. 16, а, по «спирали»  на рис. 16, б.

Построим на плоскости хОу графики функций у = х и у = (х). Каждый действительный корень уравнения (4) является абсциссой точки пересечения М кривой у = (х) с прямой у = х (см. рис. 16, а).

Рис. 16. Геометрическая интерпретация метода итераций

От некоторой точки А₀ [x₀,  (x₀)] строим ломаную линию А₀В₁А₁В₂А₂... («лестница»), звенья которой попеременно параллельны осям Ох и Оу. Вершины А₀,  А₁,  А₂, ... лежат на кривой у =  (х), а В₁,  В₂,  В₃ …  на прямой у = х. Общие абсциссы точек А₁ и В₁, А₂ и В₂, … представляют собой соответственно последовательные приближения х₁, х₂, … корня .

Возможен также другой вид ломаной  А₀В₁А₁В₂А₂ ... – «спираль» (см. рис. 16, б).

Решение в виде «лестницы» получается, если производная (х) положительна, а в виде «спирали», если  (х) отрицательна.

Алгоритм, реализующий метод итераций, представлен на рис. 17.