Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский Государственный аграрно-технологический университет им. Д.Н. Прянишникова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2022_008

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.01.2024

Размер:

2.76 Mб

Скачать

☆

1 / 201 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Министерство сельского хозяйства Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

"Пермский государственный аграрно-технологический университет имени академика Д. Н. Прянишникова"

Н. В. Деменева

МАТЕМАТИКА

Учебно-методическое пособие

Пермь

ИПЦ "Прокростъ"

2022

УДК 51 ББК 22.1

Д-30

Рецензенты:

Г. Г. Шеремет, кандидат педагогических наук, доцент, доцент кафедры фундаментальной математики (ПГНИУ);

Т. А. Акентьева, кандидат химических наук, доцент, заведующий кафедрой общей химии (ФГБОУ ВО Пермский ГАТУ);

В. В. Аюпов, кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой математики и физики (ФГБОУ ВО Пермский ГАТУ).

Д-30 Деменева, Н. В.

Математика: учебно-методическое пособие / Н. В. Деменева; Министерство сельского хозяйства Российской Федерации, федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Пермский государственный аграрно-технологический университет имени академика Д. Н. Прянишникова". – Пермь: ИПЦ "Прокростъ", 2022. – 196 с.; 29 см. – Библиогр.: с. 178-180. – 30 экз. – ISBN 978-5-94279-546-7. – Текст : непосредственный.

В учебно-методическом пособии рассмотрены основные вопросы комплексных чисел, элементов линейной алгебры, аналитической геометрии, математического анализа, элементов теории вероятностей и математической статистики. Приведён справочный материал по теории, примеры с подробным решением и упражнения с ответами. В упражнения включены как типовые задачи дисциплины, так и задачи из области естествознания. Весь материал разбит на три уровня сложности.

Учебно-методическое пособие предназначено для организации контактной и самостоятельной работы обучающихся направлений подготовки: 35.03.06 Агроинженерия, 05.03.06 Экология и природопользование, 06.03.01 Биология, 06.03.02 Почвоведение.

УДК 51

ББК 22.1

Утверждено в качестве учебно-методического пособия методической комиссией инженерного факультета (протокол №4 от 14.12.2021).

Учебное издание

Деменева Надежда Валерьевна

МАТЕМАТИКА

Учебно-методическое пособие

Подписано в печать 25.01.22. Формат 60x84 1 /8. Усл. печ. л. 24,5. Тираж 30 экз. Заказ № 8

ИПЦ «Прокростъ»

Пермского государственного аграрно-технологического университета имени академика Д.Н. Прянишникова, 614990, Россия, Пермь, ул. Петропавловская, 23,

тел. (342) 217-95-42

ISBN 978-5-94279-546-7	© ИПЦ "Прокростъ", 2022
	© Деменева Н. В., 2022

Оглавление
Введение..........................................................................................................................	8
ГЛАВА 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА...........................................................................	11
Первый уровень cложности.........................................................................................	11
Упражнения ..................................................................................................................	13
Второй уровень сложности..........................................................................................	13
Упражнения ..................................................................................................................	16
Третий уровень сложности ..........................................................................................	17
Упражнения ..................................................................................................................	17
ГЛАВА 2. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ....................................................	18
Первый уровень cложности.........................................................................................	18
2.1. Матрицы .............................................................................................................	18
2.2. Системы линейных алгебраических уравнений .............................................	20
Упражнения ..................................................................................................................	21
Второй уровень сложности..........................................................................................	22
2.1. Матрицы .............................................................................................................	22
2.2. Системы линейных алгебраических уравнений .............................................	24
Упражнения ..................................................................................................................	26
Третий уровень сложности ..........................................................................................	26
2.1. Матрицы .............................................................................................................	26
2.2. Системы линейных алгебраических уравнений .............................................	27
Упражнения ..................................................................................................................	29
ГЛАВА 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ .........................................................	29
Первый уровень cложности.........................................................................................	29
3.1. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости .......................	29
3.2. Прямая линия на плоскости..............................................................................	29
3.3. Кривые второго порядка ...................................................................................	34
3.4. Векторы...............................................................................................................	41
Упражнения ..................................................................................................................	45
Второй уровень cложности..........................................................................................	47
3.1. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости .......................	47
3.2. Прямая линия на плоскости..............................................................................	48
3.3. Кривые второго порядка ...................................................................................	51
3.4. Векторы...............................................................................................................	53
3

Упражнения ..................................................................................................................	55
Третий уровень cложности..........................................................................................	56
3.1. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости .......................	56
3.2. Прямая линия на плоскости..............................................................................	57
3.3. Кривые второго порядка ...................................................................................	58
3.4. Векторы...............................................................................................................	58
Упражнения ..................................................................................................................	59
ГЛАВА 4. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ...................................	60
Первый уровень cложности.........................................................................................	60
4.1. Функция одной переменной..............................................................................	60
4.2. Предел функции .................................................................................................	62
4.3. Непрерывность функции ...................................................................................	66
Упражнения ..................................................................................................................	67
Второй уровень cложности..........................................................................................	68
4.1. Функция одной переменной..............................................................................	68
4.2. Предел функции .................................................................................................	70
4.3. Непрерывность функции ...................................................................................	72
Упражнения ..................................................................................................................	73
Третий уровень cложности..........................................................................................	73
4.1. Функция одной переменной..............................................................................	73
4.2. Предел функции .................................................................................................	74
4.3. Непрерывность функции ...................................................................................	74
Упражнения ..................................................................................................................	75
ГЛАВА 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ ............................................................................................................	76
Первый уровень cложности.........................................................................................	76
5.1. Производная и дифференциал функции ..........................................................	76
5.2. Приложения производной .................................................................................	80
Упражнения ..................................................................................................................	85
Второй уровень cложности..........................................................................................	86
5.1. Производная и дифференциал функции одной переменной..........................	86
5.2. Приложения производной .................................................................................	87
Упражнения ..................................................................................................................	89
Третий уровень cложности..........................................................................................	89
5.1. Производная и дифференциал функции ..........................................................	89
4

5.2. Приложения производной .................................................................................	91
Упражнения ..................................................................................................................	92
ГЛАВА 6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ................................................................................	92
Первый уровень cложности.........................................................................................	92
6.1. Функция нескольких переменных....................................................................	92
6.2. Производные и дифференциалы функции нескольких переменных............	93
6.3. Экстремум функции нескольких переменных ................................................	95
Упражнения ..................................................................................................................	96
Второй уровень cложности..........................................................................................	97
6.1. Функция нескольких переменных....................................................................	97
6.2. Производные и дифференциалы функции нескольких переменных............	98
6.3. Экстремум функции нескольких переменных ................................................	99
Упражнения ................................................................................................................	100
Третий уровень cложности........................................................................................	100
6.1. Функция нескольких переменных..................................................................	100
6.2. Производные и дифференциалы функции нескольких переменных..........	102
6.3. Экстремум функции нескольких переменных ..............................................	103
Упражнения ................................................................................................................	104
ГЛАВА 7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ ..........................................................................................................	105
Первый уровень cложности.......................................................................................	105
7.1. Основные методы нахождения неопределённого интеграла ......................	105
7.2. Основные методы вычисления определённого интеграла ..........................	108
7.3. Геометрические приложения определённого интеграла .............................	110
Упражнения ................................................................................................................	112
Второй уровень cложности........................................................................................	112
7.1. Основные методы нахождения неопределённого интеграла ......................	112
7.2. Основные методы вычисления определённого интеграла ..........................	114
7.3. Геометрические приложения определённого интеграла .............................	116
Упражнения ................................................................................................................	117
Третий уровень cложности........................................................................................	118
7.1. Основные методы нахождения неопределённого интеграла ......................	118
7.2. Основные методы вычисления определённого интеграла ..........................	119
7.3. Геометрические приложения определённого интеграла .............................	119
5

Упражнения ................................................................................................................	120
ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ..............................................	121
Первый уровень cложности.......................................................................................	121
8.1. Дифференциальные уравнения первого порядка .........................................	121
8.2. Дифференциальные уравнения второго порядка .........................................	122
Упражнения ................................................................................................................	125
Второй уровень cложности........................................................................................	125
8.1. Дифференциальные уравнения первого порядка .........................................	125
8.2. Дифференциальные уравнения второго порядка .........................................	126
Упражнения ................................................................................................................	129
Третий уровень cложности........................................................................................	129
8.1. Дифференциальные уравнения первого порядка .........................................	129
8.2. Дифференциальные уравнения второго порядка .........................................	130
Упражнения ................................................................................................................	133
ГЛАВА 9. РЯДЫ ........................................................................................................	133
Первый уровень cложности.......................................................................................	133
9.1. Числовые ряды .................................................................................................	133
9.2. Степенные ряды ...............................................................................................	139
Упражнения ................................................................................................................	140
Второй уровень cложности........................................................................................	141
9.1. Числовые ряды .................................................................................................	141
9.2. Степенные ряды ...............................................................................................	142
Упражнения ................................................................................................................	142
Третий уровень cложности........................................................................................	142
9.1. Числовые ряды .................................................................................................	142
9.2. Степенные ряды ...............................................................................................	143
Упражнения ................................................................................................................	144
ГЛАВА 10. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ...................................................................	145
Первый уровень cложности.......................................................................................	145
10.1. Случайные события .......................................................................................	145
10.2. Случайные величины ....................................................................................	149
10.3. Элементы математической статистики .......................................................	153
Упражнения ................................................................................................................	157
Второй уровень cложности........................................................................................	159
6

10.1. Случайные события .......................................................................................	159
10.2. Случайные величины ....................................................................................	162
10.3. Элементы математической статистики .......................................................	165
Упражнения ................................................................................................................	167
Третий уровень cложности........................................................................................	169
10.1. Случайные события .......................................................................................	169
10.2. Случайные величины ....................................................................................	172
10.3. Элементы математической статистики .......................................................	174
Упражнения ................................................................................................................	175
Заключение .................................................................................................................	177
Библиографический список.......................................................................................	178
Приложение 1. Ответы к Упражнениям...................................................................	181
Приложение 2. Таблица значений функции φ(x).....................................................	193
Приложение 3. Таблица значений функции Φ(x) ....................................................	194
Приложение 4. Таблица критических точек ............................................................	195

Введение

Учебно-методическое пособие «Математика» предназначено для организации контактной и самостоятельной работы по дисциплине «Математика» обучающихся направлений подготовки: 35.03.06 Агроинженерия, 05.03.06 Экология и природопользование, 06.03.01 Биология, 06.03.02 Почвоведение.

Цель пособия состоит в формировании у обучающихся умений и навыков, необходимых для использования математического аппарата при решении профессиональных задач, а именно, задач из области естествознания.

Решение таких задач основано на умении составлять математические модели, использовать математические методы, в том числе методы обработки данных. С этой целью в упражнения включены задачи, предполагающие математическое моделирование объектов или процессов в области естествознания, а также исследование готовых математических моделей.

Так, в главе Элементы линейной алгебры предложена для решения задача на биологическую интерпретацию элементов матрицы потребления в экосистеме и нахождение общего энергетического дохода каждой особи в этой экосистеме.

Вглаве Аналитическая геометрия предложена для решения задача на составление уравнения прямой линии при отражении световых лучей, задача на определение фокуса параболы при рассмотрении зеркала прожектора, задача на вычисление скалярного произведения векторов при определении работы силы, задача на вычисление координат точки, делящей отрезок в заданном отношении, при определении центра масс однородной пластины.

Вглаве Введение в математический анализ предложена для решения задача на составление функциональной зависимости при падении напряжения в электрической цепи, задача на составление функциональной зависимости при росте лесного участка.

Вглаве Дифференциальное исчисление функции одной переменной

предложена для решения задача на нахождение производной функции при определении скорости тела, его кинетической энергии, линейной плотности стержня, скорости роста популяции, угла провеса висячего моста в определённой точке. Предложена задача на нахождение экстремума функции при определении максимальной реакции организма на лекарство.

Вглаве Дифференциальное исчисление функции нескольких перемен-

ных предложена для решения задача на нахождение концентрации веществ химической реакции, при которых скорость реакции максимальна.

Вглаве Интегральное исчисление функции одной переменной пред-

ложена для решения задача на нахождение пути, пройденного телом, при известной скорости прямолинейного движения.

Вглаве Дифференциальные уравнения предложена для решения задача на составление и решение дифференциальных уравнений при нахождении закона движения тела, закона размножения бактерий, закона охлажде-

ния тела, при определении начального количества вещества в процессе преобразования его в другое вещество.

Вглаве Ряды предложена для решения задача на использование степенных рядов при рассмотрении зависимости длины столба ртути в барометре от температуры.

Вглаве Теория вероятностей и математическая статистика пред-

ложена для решения задача на использование вероятностных методов при исследовании всхожести семян.

Задачи, перечисленные выше, показывают важную роль математического образования в подготовке кадров для агропромышленного комплекса.

Вупражнения включены также типовые задачи, направленные на формирование умений и навыков, предусмотренных в рамках изучения данной дисциплины.

Весь материал пособия разбит на три уровня сложности, что позво-

ляет:

–поэтапно подвести обучающихся к выполнению сложного задания;

–сориентировать обучающихся об уровне сложности выполняемого задания и, соответственно, оценить уровень усвоения изучаемого раздела;

–сориентировать преподавателя об уровне сложности выполняемого обучающимся задания и, соответственно, оценить уровень усвоения изучаемого раздела, выставить объективную оценку.

Содержание пособия соответствует рабочей программе по дисциплине «Математика» для направлений подготовки: 35.03.06 Агроинженерия, 05.03.06 Экология и природопользование, 06.03.01 Биология, 06.03.02 Почвоведение.

Впроцессе выполнения упражнений у обучающихся формируются следующие умения:

–правильно употреблять математическую символику;

–выбирать и применять методы элементов линейной алгебры, аналитической геометрии, математического анализа, элементов теории вероятностей и математической статистики для решения как типовых задач дисциплины, так и прикладных, в том числе задач в области естествознания;

− составлять и исследовать математические модели объектов или процессов в области естествознания;

–анализировать полученные результаты, вырабатывать на их основе практические рекомендации;

− самостоятельно осваивать новые математические методы. Также у обучающихся формируются следующие навыки:

− владение математическим аппаратом для решения типовых задач данной дисциплины;

–владение основами математического моделирования объектов или процессов в области естествознания с последующим выбором или разработкой рациональных методов исследования созданных моделей и проведением их качественного анализа.

Пособие охватывает все разделы дисциплины «Математика»: комплексные числа, элементы линейной алгебры, аналитическая геометрия,

введение в математический анализ, дифференциальное исчисление функции одной переменной, дифференциальное исчисление функции нескольких переменных, интегральное исчисление функции одной переменной, дифференциальные уравнения, ряды, элементы теории вероятностей и математической статистики.

Каждый раздел представлен отдельной главой, включающей три уровня сложности. На каждом уровне представлен справочный материал по теории, примеры и упражнения. Соответствие уровней сохраняется между главами, когда материал определённого уровня опирается на материал другой главы, но с того же или более низкого уровня. Для контроля правильности выполнения упражнений приведены ответы.

Таким образом, достоинства предлагаемого пособия состоят в следующем:

–наличие задач из естествознания;

–трёхуровневая система сложности;

–охват всех разделов дисциплины.

1 / 201 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.01.202413.81 Mб52022_004.pdf
#
01.01.20248.05 Mб22022_005.pdf
#
01.01.20243.33 Mб02022_005_2.pdf
#
01.01.20241.34 Mб12022_006.pdf
#
01.01.20241.25 Mб02022_007.pdf
#
01.01.20242.76 Mб22022_008.pdf
#
01.01.2024593.29 Кб02022_009.pdf
#
01.01.2024729.1 Кб02022_010.pdf
#
01.01.2024312.08 Кб02022_011.pdf
#
01.01.20245.8 Mб02022_012.pdf
#
01.01.20244.61 Mб12022_014.pdf