2022_008

Задачу рационально решить с помощью противоположного события. Для события "не менее " противоположным является событие "менее ".

стей противоположных событий и теореме сложения вероятностей несовместных событий запишем выражение для искомой вероятности:

Решение. Для решения задачи используем локальную теорему Лапласа. Одно семя рассматриваем как одно независимое испытание. Число

Решение. Для решения задачи используем интегральную теорему Лапласа. Одно семя рассматриваем как одно независимое испытание. Число

Выполняем вычисления:

ность того, что на базу прибудет повреждённых изделия.

Решение. Одно изделие рассматриваем как одно независимое испытание. Число всех независимых испытаний равно числу отправленных из-

лико и вероятность наступления события в одном испытании достаточно мала, то для решения задачи используем формулу Пуассона.

стоянна. Пусть – дискретная случайная величина числа появлений собы-

Пусть вероятность наступления события в каждом испытании стремится к при неограниченном увеличении числа испытаний , причём произ-

Табличная форма распределения Пуассона имеет вид:

стоянна. Пусть – дискретная случайная величина числа испытаний, которые нужно провести до первого появления события . Она принимает зна-

ное изделие перед отбором следующего в партию не возвращается. Требу-

.

Пример 3.10.5. Игральная кость брошена раза. Составить закон распределения случайной величины , выражающей число появлений шестёрки. Найти её математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Решение. По условию – случайная величина числа появлений шестёрки. При трёх бросаниях игральной кости шестёрка может ни разу не вы-

выпадений шестёрки независимы между собой, то вероятности этих значений найдём по формуле Бернулли. Будем учитывать, что вероятность появ-

ления шестёрки при одном бросании игральной кости составляет и вероятность непоявления шестёрки при одном бросании игральной кости составляет . Получаем:

173

;

;

;

.

Составляем биномиальный закон распределения в виде таблицы:

Выполним контроль вычислений. Для этого проверим, что сумма ве-

.

Среднее квадратическое отклонение находим по формуле:

Ответ:

10.3. Элементы математической статистики Справочный материал.

Пусть даны эмпирические частоты и теоретические частоты , вычисленные исходя из гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности :

...

...

Алгоритм проверки гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности по критерию согласия Пирсона.

исходя из гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности :

ральной совокупности отвергаем, то есть расхождение между эмпирическими и теоретическими частотами значимо.

делий. Найти вероятность того, что среди взятых на испытание изделий окажется: 1) менее бракованных; 2) более двух бракованных.

2. Определить вероятность того, что среди проб руды окажется проб с промышленным содержанием металла, если вероятность промышленного содержания металла одинакова для каждой пробы и равна .

величины , выражающей число появлений герба. Найти её математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

175

6. Вероятность того, что стрелок попадёт в мишень при одном выстреле, равна . Стрелку выдаются патроны до тех пор, пока он не промахнётся. Составить закон распределения случайной величины , выражающей число патронов, выданных стрелку. Найти её математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

7. В партии из деталей имеется стандартных. Наудачу отобраны детали. Составить закон распределения случайной величины , выражающей число стандартных деталей среди отобранных. Найти её математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

8. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости установить, случайно или значимо расхождение между эмпирическими частотами и теоретическими частотами , которые вычислены исходя из гипотезы

о нормальном распределении генеральной совокупности :

176

Заключение

В настоящее время в агропромышленном комплексе востребованы кадры, способные эффективно использовать имеющиеся технологии, а также создавать новые технологии. Создание технологий связано с разработкой математических моделей процессов или объектов и их дальнейшего исследования.

Математические модели разрабатываются при решении инженерных задач, задач экологии, биологии, химии, при этом используются методы аналитической геометрии, математического анализа, теории вероятностей и математической статистики. Это говорит о важности математического образования, владения основами математического моделирования и математическими методами исследования созданных моделей.

С этой целью в учебно-методическое пособие включены задачи на математическое моделирование, где математические модели представлены в виде функциональных зависимостей характеристик изучаемых процессов или объектов. Причём в одних задачах модель дана и нужно выполнить её исследование, в других – модель требуется сначала составить, а затем выполнить её исследование.

Модели разнообразны: от линейной зависимости, когда применяются средства аналитической геометрии, до сложных зависимостей, содержащих производную неизвестной функции, когда применяются средства математического анализа и математическая модель выражается дифференциальным уравнением.

Для решения таких задач нужно владеть навыком применения математических методов к решению типовых задач дисциплины «Математика». В связи с этим в упражнения пособия включены типовые задачи, когда требуется, например, найти определить матрицы, составить уравнение прямой, найти производную функции, решить дифференциальное уравнение, разложить функцию в степенной ряд, найти вероятность случайного события.

Для включения в работу над упражнениями всех обучающихся, независимо от уровня их подготовки, каждая глава пособия разбита на три уровня сложности, включает справочный материал по теории и примеры, при этом обучающийся поэтапно продвигается к выполнению более сложных заданий и может оценить свой уровень формирования умений и навыков.

Пособие позволит обучающимся получить основательные умения и навыки в области математики, применять их при изучении специальных дисциплин, с пониманием читать математическую литературу, решать профессиональные задачи, подготовиться к текущему и итоговому контролю.

177

Библиографический список

1.Баврин, И. И. Высшая математика для педагогических направлений : учебник для бакалавров / И. И. Баврин. – 2-е изд., перераб. и доп. – Москва : Издательство Юрайт, 2021. – 568 с. – (Высшее образование). – ISBN 978-5-534-12889-5. – Текст : электронный // Образовательная плат-

форма Юрайт [сайт]. – URL: https://urait.ru/bcode/468943.

2.Баврин, И. И. Высшая математика для химиков, биологов и медиков : учебник и практикум для вузов / И. И. Баврин. – 2-е изд., испр. и доп. – Москва : Издательство Юрайт, 2021. – 397 с. – (Высшее образование). – ISBN 978-5-534-07021-7. – Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. – URL: https://urait.ru/bcode/468944.

3.Берман, Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа

:учебное пособие / Г. Н. Берман. – 9-е изд., стер. – Санкт-Петербург : Лань,

2020. – 492 с. – ISBN 978-5-8114-4862-3. – Текст : электронный // Лань :

электронно-библиотечная система. – URL: https://e.lanbook.com/book/126705.

4.Высшая математика в упражнениях и задачах : учебное пособие для вузов : в двух частях. Часть 1 / П. Е. Данко [и др.]. – 7-е изд., испр. – Москва : Мир и Образование, 2016. – 368 с.

5.Высшая математика в упражнениях и задачах : учебное пособие для вузов : в двух частях. Часть 2 / П. Е. Данко [и др.]. – 7-е изд., испр. – Москва : Мир и Образование, 2016. – 448 с.

6.Гмурман, В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике : учебное пособие для вузов / В. Е. Гмурман. – 11-е изд., перераб. и доп. – Москва : Издательство Юрайт, 2021.

– 406 с. – (Высшее образование). – ISBN 978-5-534-08389-7. – Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. – URL: https://urait.ru/bcode/468330.

7.Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика : учебник для вузов / В. Е. Гмурман. – 12-е изд. – Москва : Издательство Юрайт, 2021. – 479 с. – (Высшее образование). – ISBN 978-5-534- 00211-9. – Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт

[сайт]. – URL: https://urait.ru/bcode/468331.

8.Гроссман, С. Математика для биологов: пер. с англ. / С. Гроссман, Дж. Тернер. – М.: Высшая школа, 1983. – 383 с.

9.Деменева, Н. В. Комплексные числа: учебное пособие / Н. В. Деменева ; Пермская ГСХА. – Пермь : Прокростъ, 2017. –– 112 с. – URL: https://pgsha.ru/generalinfo/library/elib/.

10.Деменева, Н. В. Линейная алгебра : сборник задач / Н. В. Деменева ; ФГБОУ ВО Пермская ГСХА. – Пермь : Прокростъ, 2016. – 142 с. –

URL: https://pgsha.ru/generalinfo/library/elib/.

11.Деменева Н. В., Аналитическая геометрия. Прямая линия на плоскости: учебное пособие / Н. В. Деменева; Пермский ГАТУ. – Пермь:

Прокростъ, 2019. – 196 с. – URL: https://pgsha.ru/generalinfo/library/elib/.

178

12.Деменева Н. В., Аналитическая геометрия. Кривые второго порядка: учебное пособие / Н. В. Деменева; Пермский ГАТУ. – Пермь: Про-

кростъ, 2019. – 310 с. – URL: https://pgsha.ru/generalinfo/library/elib/.

13.Деменева Н. В., Аналитическая геометрия в пространстве: учебное пособие / Н. В.Деменева; Пермский ГАТУ. – Пермь: ИПЦ "Про-

кростъ", 2020. – 215 с. – URL: https://pgsha.ru/generalinfo/library/elib/.

14.Деменева Н. В., Прикладные задачи по теме "Производная функции" / Н. В. Деменева, С. Б. Югова. – Пермь: Изд-во ФГБОУ ВПО Пермская ГСХА, 2011. – 115 с.

15.Ефимов, Н. В. Краткий курс аналитической геометрии / Н. В. Ефимов. – 14-е изд., испр. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2014. – 240 с.

16.Клетеник, Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии : учебное пособие для вузов / Д. В. Клетеник. – 17-е изд., стер. – СанктПетербург : Лань, 2021. – 224 с. – ISBN 978-5-8114-1051-4. – Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. – URL: https://e.lanbook.com/book/174993.

17.Кремер, Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика : учебник и практикум для вузов / Н. Ш. Кремер. – 5-е изд., перераб. и доп. – Москва : Издательство Юрайт, 2021. – 538 с. – (Высшее образование). – ISBN 978-5-534-10004-4. – Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. – URL: https://urait.ru/bcode/475438.

18.Лунгу, К. Н. Сборник задач по высшей математике. 1 курс / К. Н. Лунгу, Д. Т. Письменный, С. Н. Федин, Ю. А. Шевченко. – 9-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2011. – 576 с.

19.Нагибин, Ф. Ф. Экстремумы / Ф. Ф. Нагибин. – М.: «Просве-

щение», 1966. – 120 с.

20.Ноздрин, И. Н. Прикладные задачи по высшей математике / И. Н. Ноздрин, И. М. Степаненко, Л. К. Костюк. – Издательское объединение «Вища школа», 1976. – 176 с.

21.Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике : учебник : в 2 частях. Часть 1 / Д. Т. Письменный. – 14-е изд. – Москва: Ай-

рис-Пресс, 2015. – 280 с.

22.Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике : учебник : в 2 частях. Часть 2 / Д. Т. Письменный. – 11-е изд. – Москва: Ай-

рис-Пресс, 2015. – 252 с.

23.Письменный, Д. Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам / Д. Т. Письменный. – 6-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2013. – 288 с.

24.Пономарёв, К. К. Составление дифференциальных уравнений / К. К. Пономарёв. – Минск: Издательство "Вышэйшая школа", 1973. – 560 с.

25.Привалов, И. И. Аналитическая геометрия : учебник для вузов

/И. И. Привалов. – 40-е изд., стер. – Москва : Издательство Юрайт, 2021. – 233 с. – (Высшее образование). – ISBN 978-5-534-01262-0. – Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. – URL: https://urait.ru/bcode/469966.

179

26.Ризниченко, Г. Ю. Математическое моделирование биологических процессов. Модели в биофизике и экологии : учебное пособие для вузов / Г. Ю. Ризниченко. – 2-е изд., перераб. и доп. – Москва : Издательство Юрайт, 2021. – 181 с. – (Высшее образование). – ISBN 978-5-534-07037-8. –

Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. – URL: https://urait.ru/bcode/470480.

27.Цубербиллер, О. Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии : учебное пособие / О. Н. Цубербиллер. – 34-е изд.,стер. – СанктПетербург : Лань, 2021. – 336 с. – ISBN 978-5-8114-0475-9. – Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. – URL: https://e.lanbook.com/book/167791.

180