2022_008

– данная точка; в условиях примера – это точка

; – уг-

ловой коэффициент; выше было найдено, что

.

Подставляем данные:

,

,

.

Ответ:

.

нии

от него, называются директрисами гиперболы. Уравнения директрис

имеют вид:

.

Уравнение касательной к

окружности

в её точке

имеет вид:

.

Уравнение касательной к окружности

в её

точке

имеет вид:

.

Уравнение касательной к эллипсу

в его точке

имеет вид:

.

Уравнение касательной к гиперболе

в её точке

имеет вид:

.

Уравнение касательной к параболе

в её точке

имеет вид:

.

Пример. 2.3.10. Дан эллипс

. Найти: 1) эксцентриситет;

51

эллипса

, заключаем, что данное уравнение каноническое.

1) Для нахождения эксцентриситета воспользуемся формулой

.

Предварительно найдём ,

и . Исходя из канонического уравнения эл-

липса запишем квадраты

полуосей эллипса:

,

. Отсюда:

,

. Далее воспользуемся формулой:

. Подставля-

ем значения

квадратов полуосей:

.

Подставляем

числовые значения в формулу эксцентриситета:

.

2) Уравнения директрис имеют вид:

. Подставляем числовые

значения:

.

Ответ: 1)

; 2)

.

Пример. 2.3.11. Дана гипербола

. Найти: 1) эксцентриси-

гиперболы

, заключаем, что данное уравнение каноническое.

1) Для нахождения эксцентриситета воспользуемся формулой

.

Предварительно найдём , и . Исходя из канонического уравнения ги-

перболы запишем квадраты полуосей гиперболы:

,

. Отсюда:

,

. Далее воспользуемся формулой:

. Подставляем

значения квадратов полуосей:

. Подставляем

числовые

значения в формулу эксцентриситета:

.

2) Уравнения директрис имеют вид:

. Подставляем числовые

значения:

.

3) Уравнения асимптот имеют вид:

. Подставляем числовые

значения:

.

Ответ: 1)

; 2)

; 3)

.

Пример 2.3.12. Составить уравнение касательной к кривой второго

порядка в её точке

: 1)

,

; 2)

,

.

рат радиуса которой

, точка

лежит на этой окружности.

Воспользуемся уравнением

касательной

к окружности

в её точке

с центром в начале координат радиуса

:

. Полу-

чаем:

. Преобразуем:

.

2) По условию дана парабола с вершиной в начале координат, пара-

метром

и ветвями, направленными вправо.

Точка

лежит на

ке

с вершиной в начале координат, параметром

и ветвями, на-

правленными вправо:

. Получаем:

. Преобра-

зуем:

.

Ответ: 1)

; 2)

.

3.4. Векторы

Справочный материал.

Угол между векторами и

находят по формуле:

.

Проекцию вектора на ось другого вектора находят по формуле:

.

Площадь параллелограмма, построенного на векторах

и

, находят

по формуле:

.

Площадь треугольника, построенного на векторах

и

,

находят по

формуле:

.

Объём параллелепипеда, построенного на векторах

,

, , находят по

формуле:

.

Объём пирамиды, построенной на векторах

, , ,

находят по фор-

муле:

.

Пример

2.3.13. Даны

вершины треугольника

,

,

. Определить его внутренний угол при вершине .

Решение. Угол при вершине

будем рассматривать как угол между

векторами

и

(рис. 2.3.4).

ми:

. В условиях примера

.

Предварительно

найдём координаты векторов

и :

,

.

Найдём скалярное произведение векторов

и

через их коорди-

наты:

53

.

Далее найдём модули векторов

и

через их координаты:

,

.

Тогда косинус угла между векторами:

.

Отсюда угол между векторами:

.

Ответ:

.

Пример 2.3.14.

Даны точки

,

,

,

. Найти

.

Решение. Воспользуемся формулой нахождения проекции вектора на

ось другого вектора:

. В условиях примера

.

Предварительно найдём координаты векторов

и

:

,

.

Найдём модуль вектора

:

.

Найдём скалярное произведение векторов

и

:

.

Тогда проекция вектора

на ось вектора

:

.

Ответ: .

Пример 2.3.15. Даны точки

,

,

. Найти

площадь треугольника

.

Решение. Рассмотрим векторы

и

, на которых построен тре-

угольник (рис. 2.3.5).

строенного на векторах и :

. В условиях примера

.

Найдём координаты векторов

и :

,

.

Далее найдём векторное произведение векторов

и :

Тогда площадь треугольника:

.

Ответ:

.

Пример 2.3.16. Даны точки

,

,

и

. Найти объём пирамиды

.

Решение. Рассмотрим векторы

,

и

, на которых построена

ной на векторах , ,

:

. В условиях примера

.

Найдём координаты векторов

,

и :

,

,

.

Далее находим смешанное произведение векторов ,

и :

.

Тогда объём пирамиды:

.

.

Ответ:

Упражнения

1.

Вычислить периметр треугольника по координатам его вершин

,

и

.

2.

Даны вершины треугольника

,

,

. Опреде-

лить длину его медианы, проведённой из вершины .

3.

Даны две точки

и

. Найти координаты точки

, которая делит отрезок

в отношении

.

4.

Однородная пластинка имеет форму квадрата со стороной, равной

5.

Даны три точки

,

и

. Найти пло-

щадь треугольника

.

6.

На плоскости даны три точки

,

,

. Выяс-

нить, лежат ли они на одной прямой.

7.

Преобразовать

уравнение прямой

с

угловым

коэффициентом

к общему уравнению.

8.

Преобразовать общее уравнение прямой

к урав-

нение прямой с угловым коэффициентом.

9. Построить прямые, заданные следующими уравнениями:

1)

;

2)

;

3)

.

10. Найти угол между прямыми

и

.

11. Дана прямая

. Определить угловой коэффициент

12.

Составить уравнение прямой, проходящей через точку

параллельно прямой

.

13.

Составить уравнение прямой, проходящей через точку

перпендикулярно прямой

.

14.

Даны вершины треугольника

,

,

. Со-

ставить уравнение медианы, проведённой из вершины .

15. Дано уравнение эллипса

. Найти: 1) эксцентриситет;

2) уравнения директрис.

16. Дано уравнение гиперболы

. Найти: 1) эксцентриситет;

точке : 1)

,

; 2)

,

.

18.

Даны вершины треугольника

,

,

.

Определить его внутренний угол при вершине .

19.

Даны точки

,

,

,

. Найти

.

20.

Даны точки

,

,

. Найти площадь тре-

угольника

.

21.

Даны точки

,

,

и

.

Найти объём пирамиды

.

Рис. 3.3.1

Рис. 3.3.2

Связь между прямоугольными координатами

, точки и её поляр-

ными координатами

, выражается формулами:

,

.

Пример 3.3.1.

Построить в полярной

системе координат

точку

.

Решение. Повернём полярную ось вокруг полюса на угол

и на

полученном луче отложим от полюса отрезок длины

. Получим точку

(рис. 3.3.3).

Рис. 3.3.3

Пример 3.3.2. В полярной системе координат дана точка

.

ные координаты с полярными:

,

. Получаем:

,

.

Прямоугольные координаты точки:

.

Ответ:

.

вочный материал предыдущих уровней сложности.

Пример 3.3.3. Даны вершины треугольника:

,

,

. Составить уравнение высоты, опущенной из вершины .

точки и :

. Высота, опущенная из вершины ,

перпендикулярна прямой,

проходящей через точки и . Воспользовав-

. Подставляя числовые значения, получаем:

. После преобразований:

.

Ответ:

.

Решение. Так как директрисы задаются уравнениями

, то

расстояние между директрисами равно

. Учитывая, что по условию рас-

стояние между директрисами равно , получаем:

.

Далее воспользуемся формулой эксцентриситета

. Получаем:

.

Затем воспользуемся формулой

. Получаем:

.

По условию

. Подставляем:

. Преобразуем:

,

. Отсюда

и

. Учитывая, что – расстояние от

начала координат до фокуса, берём положительное значение

.

Далее находим

.

Составляем каноническое уравнение гиперболы:

.

Ответ:

.

вочный материал предыдущих уровней сложности.

Пример 3.3.5.

Даны

вершины пирамиды

,

,

и

. Найти длину её высоты,

опу-

щенной из вершины .

её основания и длину высоты:

. Отсюда:

.

Найдём объём пирамиды через смешенное произведение векторов, на

которых

построена

пирамида:

. Найдём

координаты

векторов

,

и

:

,

,

.

Далее находим смешанное произведение векторов

,

и :

58

строен:

. Находим векторное произведение векторов

и :

.

Тогда площадь треугольника

:

.

Находим искомую высоту:

.

Ответ:

Упражнения

.

1. Построить в полярной системе координат следующие точки:

,

,

,

,

.

2. В полярной системе координат дана точка

. Найти прямо-

3.

Даны вершины треугольника:

,

,

. Составить

уравнение высоты, опущенной из вершины .

4. Вычислить расстояние между параллельными прямыми

и

.

5.

Составить уравнение гиперболы,

фокусы которой лежат на оси

6. Даны вершины пирамиды

,

,

и

. Найти длину её высоты, опущенной из вершины .

переменной y, то говорят, что – это однозначная функция от

, и обозна-

чают

. Переменную

называют независимой переменной или ар-

гументом.

Множество всех

значений переменной , для которых функция

определена, называется областью определения функции.

Графиком функции

называется множество точек

плос-

кости

, координаты которых связаны соотношением

.

Функция

называется чётной, если:

1) множество определения функции симметрично относительно нуля;

2)

для любого

из

области определения справедливо

равенство

.

График чётной функции симметричен относительно оси .

Функция

называется нечётной, если:

1) множество определения функции симметрично относительно нуля;

2)

для любого

из

области определения справедливо

равенство

.

динат.

Основные элементарные функции.

1)

Степенная функция:

,

. Область определения зависит

от значений .

2)

Показательная функция:

,

,

. Область определе-

ния:

.

3)

Логарифмическая функция:

,

,

. Область опре-

деления:

.

4)

Тригонометрические

функции:

,

,

,

. Область определения функций

,

:

; область

определения функции

:

;

область

определения

функции

:

.

5) Обратные тригонометрические функции:

,

,

,

.

Область

определения

функций

,

:

;

область

определения

функций

,

:

.