2022_008

при

Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение, заключённое в интервале .

Решение. Используем свойство 3 функции распределения:

. Получаем:

.

Ответ: .

Пример 1.10.9. Случайная величина задана функцией распределе-

ния:

при

Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение меньше .

Решение. Используем определение функции распределения:

. Получаем:

Решение. Используем свойства 1, 2, 3 математического ожидания. Получаем:

.

Ответ: .

Пример 1.10.12. Найти математическое ожидание произведения числа очков, которые могут выпасть при одном бросании двух игральных костей.

Решение. Пусть – случайная величина числа очков, которые могут выпасть на первой игральной кости; – случайная величина числа очков,

151

которые могут выпасть на второй игральной кости. Запишем законы распределения случайных величин и :

Ответ: .

Пример 1.10.13. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины , заданной законом распределения:

Решение. Используем формулу для нахождения дисперсии дискрет-

.

Находим дисперсию:

.

Для нахождения среднего квадратического отклонения дискретной

Решение. Используем свойства 1, 2, 3 дисперсии. Получаем:

.

Ответ: .

152

10.3. Элементы математической статистики Справочный материал.

Статистической совокупностью называется множество однородных объектов.

Генеральной совокупностью называется статистическая совокупность, из которой отбирают часть объектов.

Выборочной совокупностью или выборкой называется множество объектов, случайно отобранных из генеральной совокупности.

Объёмом генеральной совокупности называется число объектов этой совокупности. Используется обозначение: .

Объёмом выборочной совокупности называется число объектов этой

формуле: , . Сумма относительных частот равна :

.

Статистическим распределением выборки называется перечень ва-

риант и соответствующих им частот или относительных частот.

Эмпирической функцией распределения или функцией распределения

2.– неубывающая функция.

блюдаемые значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов длиной и находят для каждого частичного интервала сумму частот вариант , попавших в -ый интервал.

153

Гистограммой частот называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы дли-

ною , а высоты равны отношению . Отношение называется плотно-

стью частоты.

Гистограммой относительных частот называется ступенчатая фи-

гура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною , а высоты равны отношению . Отношение

называется плотностью относительной частоты.

Пусть выборка объёма задана таблицей распределения:

...

...

Выборочной средней называется среднее арифметическое значений выборки. Используется обозначение: . Формула для нахождения выборочной средней имеет вид:

.

Выборочной дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонений значений выборки от выборочной средней. Используется обозначение: . Формула для нахождения выборочной дисперсии имеет вид:

.

Для вычисления выборочной и генеральной дисперсий удобно пользоваться следующей формулой:

.

Пример 1.10.15. Выборка задана в виде распределения частот:

Найти распределение относительных частот. Решение. Найдём объём выборки:

.

Запишем распределение относительных частот:

Выполним контроль вычислений. Для этого проверим, что сумма всех относительных частот равна . Получаем:

. Вычисления верные.

Ответ:

154

Пример 1.10.16. Найти эмпирическую функцию по данному распределению выборки:

Решение. Найдём объём выборки:

.

Используем определение эмпирической функции распределения:

Аналитически функцию распределения можно записать следующим образом:

при

при

Ответ:

Пример 1.10.17. Построить полигон частот и относительных частот по данному распределению выборки:

Решение. Для построения полигона частот нужно построить точки,

155

Рис. 1.10.1 Рис. 1.10.2

Пример 1.10.18. Построить гистограмму частот и относительных частот по данному распределению выборки:

Частичный интервал,

Сумма частот вариант частичного интервала,

Решение. Для построения гистограммы частот нужно найти длину каждого частичного интервала и плотности частот. Из распределения вы-

Затем строим прямоугольники, основаниями которых служат частич-

Для построения гистограммы относительных частот нужно найти длину каждого частичного интервала, относительные частоты и плотности относительных частот. Из распределения выборки видно, что длина каждого частичного интервала . Относительные частоты находим по фор-

Затем строим прямоугольники, основаниями которых служат частич-

156

Пример 1.10.19. Выборочная совокупность задана таблицей распределения:

Найти выборочную среднюю.

Пример 1.10.20. Выборочная совокупность задана таблицей распределения:

Найти выборочную дисперсию.

Решение. Сначала найдём объём выборки:

. Выборочную дисперсию находим по формуле . Найдём выборочную среднюю:

.

Затем найдём среднюю квадратов значений признака:

.

Находим выборочную дисперсию:

.

Ответ: .

гранях появятся числа очков, сумма которых больше .

157

9. Случайная величина задана функцией распределения: при

Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение, заключённое в интервале .

10. Случайная величина задана функцией распределения: при

Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение меньше .

11.Найти математическое ожидание дискретной случайной величины , заданной законом распределения:

12.Найти математическое ожидание случайной величины

13.Найти математическое ожидание суммы числа очков, которые могут выпасть при одном бросании двух игральных костей.

14.Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины , заданной законом распределения:

Найти распределение относительных частот.

158

17.Найти эмпирическую функцию по данному распределению вы-

борки:

18.Построить полигон частот и относительных частот по данному распределению выборки:

19.Построить гистограмму частот и относительных частот по данному распределению выборки:

Частичный интервал,

Сумма частот вариант частичного интервала,

20. Выборочная совокупность задана таблицей распределения:

Найти выборочную среднюю.

21. Выборочная совокупность задана таблицей распределения:

Найти выборочную дисперсию.

Второй уровень cложности

10.1. Случайные события Справочный материал.

Суммой двух событий и называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий. Если два события и несовместные, то суммой двух событий и называется событие, состоящее в появлении одного из этих событий, безразлично какого. Используется обозначение: .

Теорема 1. Сложение вероятностей несовместных событий. Веро-

ятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

.

Противоположными называются два единственно возможных событий, образующих полную группу. Используется обозначение: .

Теорема 2. Сложение вероятностей противоположных событий.

Сумма вероятностей противоположных событий равна 1:

.

Произведением двух событий и называется событие, состоящее в совместном появлении этих событий. Используется обозначение: .

159

Условной вероятностью называется вероятность события , вычисленная при условии, что событие произошло. Используется обозначение:

.

Теорема 3. Умножение вероятностей. Вероятность совместного по-

явления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие произошло:

.

Событие называется независимым от события , если появление события не изменяет вероятности события , то есть, если условная вероятность события равна его безусловной вероятности: .

Теорема 4. Умножение вероятностей независимых событий. Веро-

ятность умножения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

.

Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании.

Теорема 5. Сложение вероятностей совместных событий. Вероят-

ность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения:

.

Пример 2.10.1. В урне синих, зелёных и жёлтых шара. Из урны достают один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет зелёным или жёлтым.

вательно достают шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.