2022_008

ГЛАВА 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Первый уровень cложности

Справочный материал.

Комплексным числом называется выражение вида

, где

и соответственно

. Число

называется действительной частью

комплексного числа, – мнимой частью. Обозначение:

,

.

Выражение

называется

алгебраической

формой

записи ком-

плексного числа.

Два комплексных числа

и

, отличающиеся зна-

ком мнимой части, называются сопряжёнными.

Комплексному числу

соответствует точка

плоско-

сти

(рис. 1.1.1). И наоборот, каждой точке

плоскости

со-

ответствует комплексное число

. Комплексному числу соответст-

вует также вектор

плоскости

. Плоскость, на которой изображаются

комплексные числа, называется комплексной плоскостью.

Суммой двух комплексных чисел

и

назы-

вается комплексное число

, то есть при сло-

Разностью двух

комплексных чисел

и

на-

зывается комплексное

число

, то есть при

Произведением двух комплексных чисел

и

называется комплексное число

,

Частным двух комплексных чисел

и

на-

зывается комплексное число

1)

;

2)

;

3)

.

Решение. Все числа заданы в алгебраической форме

, где

–действительная часть комплексного числа,

– мнимая часть. Тогда:

1)

;

2)

;

3)

;

Пример 1.1.2. Найти степень числа : 1)

; 2) .

Решение. Воспользуемся формулой

.

1)

;

2)

.

лам: 1)

;

2)

;

3)

.

Решение. Сопряжённое число отличается от исходного знаком мни-

мой части. Тогда: 1)

;

2)

;

3)

.

Пример 1.1.4. Изобразить комплексные числа в комплексной плос-

кости: 1)

;

2)

;

3)

.

Решение. Числу

в комплексной плоскости

соответст-

вует точка

или вектор

. Тогда:

1) числу

в комплексной плоскости соответствует точка

или вектор

(рис. 1.1.2);

2) числу

в комплексной плоскости соответствует точка

или вектор

(рис. 1.1.3);

3) числу

в

комплексной

плоскости

соответствует

точка

или вектор

(рис. 1.1.4).

O

x

Рис. 1.1.3

Рис. 1.1.2

Рис. 1.1.4.

.

Ответ:

,

,

,

.

Пример 1.1.6. Решить уравнения на множестве комплексных чисел:

1)

;

2)

.

Решение.

1) Выразим

, учитывая, что

:

.

2) Найдём корни квадратного уравнения, учитывая, что

:

.

Ответ: 1)

;

2)

.

Упражнения

1.

Указать действительную и мнимую части чисел:

1)

;

2)

;

3)

.

2.

Найти степень числа

: 1)

; 2) .

3.

Найти числа, сопряжённые данным числам:

1)

;

2)

;

3)

.

4.

Изобразить комплексные числа в комплексной плоскости:

1)

;

2)

;

3)

.

5.

Найти сумму, разность, произведение и частное комплексных чи-

сел

и

в алгебраической форме.

6.

Решить уравнения на множестве комплексных чисел:

1)

;

2)

.

,

; используют также обозначение

. Значение аргумента ,

удовлетворяющее условию

, называется главным и обозначает-

ся

. Величины

и

находят по формулам:

13

или четвертям

четверти

,

четверти

Величина обозначает длину вектора

, изображающего данное

комплексное число на плоскости; величина

обозначает угол между век-

тором

и положительным направлением оси

(рис. 2.1.1).

ской и показательной формах: 1)

;

2)

; 3)

.

Решение.

1) Найдём модуль и аргумент числа:

,

14

. Тригонометрическая фор-

ма числа:

, показательная форма числа:

.

2) Найдём модуль и аргумент числа:

,

.

Тригонометрическая

форма числа:

, показательная

форма числа:

.

3) Найдём модуль и аргумент числа:

,

. Три-

гонометрическая форма числа:

, показательная форма:

.

Ответ: 1)

,

;

2)

,

; 3)

,

.

Пример 2.1.2. Найти произведение и частное двух комплексных чи-

сел

и

в тригонометрической форме.

Решение. Представим каждое число в тригонометрической форме:

,

.

Найдём произведение чисел:

.

Ответ:

;

по формуле Муавра:

.

Решение. Представим комплексное число

в тригономет-

1) Представим комплексное число

в тригонометрической

форме:

.

Выполним извлечение корня:

.

Распишем все значения корня:

при

:

;

при

:

;

при

:

.

2) Представим комплексное число

в тригонометриче-

ской форме:

,

.

Распишем все значения корня:

при

:

;

при

:

.

Ответ: 1)

,

,

; 2)

,

.

Пример 2.1.5. Решить уравнение

на множестве комплекс-

ных чисел.

Решение. Выразим из уравнения

:

и найдём все значения

корня. Для этого представим число

в тригонометрической форме:

По формуле извлечения корня из комплексного числа получаем:

,

.

Распишем все значения корня:

при

:

;

при

:

;

при

:

.

Ответ:

,

,

.

Упражнения

1. Представить комплексное число

в тригонометрической и

и

в тригонометрической форме.

3.

Выполнить возведение комплексного числа в степень по формуле

Муавра:

.

4.

Найти все значения корня из комплексных чисел: 1) ; 2)

.

5.

Решить уравнение

на множестве комплексных чисел.

ную условиями:

,

.

Решение. Выражение

будем рассматривать как модуль разно-

сти комплексных чисел

и

. Тогда первое условие опреде-

ляет множество точек, удалённых от точки

на расстояние, не боль-

шее 2, то есть определяет круг с центром в точке

радиуса 2, включая

границу круга.

Второе условие

определяет

множество точек, абсциссы которых

данной уравнением

, исключая точки прямой.

Окончательно, заданная область определяет правую половину круга

радиуса 2 с центром в точке

, включая границу круга и исключая точ-

ки прямой

(рис. 3.1.1).

1)

;

2)

,

;

3)

,

;

4)

,

.

,

где

– действительные числа, называемые элементами матрицы,

. Матрица содержит

строк и столбцов.

Произведение

называется размерностью матрицы.

Матрица называется квадратной, если

, то есть число её строк

,

где

– элемент новой матрицы,

– элемент первой матрицы размерно-

сти

,

– элемент второй матрицы размерности

.

Определителем матрицы

второго порядка, или определи-

телем второго порядка, называется число:

.

Определителем матрицы

третьего порядка, или опреде-

(правило

треугольника).

Пример 1.2.1. Даны матрицы

и

. Найти

следующие матрицы:

,

, ,

, .

Решение.

Матрицы

и

имеют одинаковую размерность, поэтому их можно

складывать. Получаем:

.

Матрицы

и

имеют одинаковую размерность, поэтому их можно

вычитать. Получаем:

Первую строку матрицы

умножаем на первый столбец матрицы

:

.

Первую строку матрицы

умножаем на второй столбец матрицы

:

.

Вторую строку матрицы

умножаем на первый столбец матрицы

:

.

Вторую строку матрицы

умножаем на второй столбец матрицы

:

.

Транспонирование.

Первую строку матрицы заменяем её первым

столбцом, вторую строку матрицы

заменяем её вторым столбцом:

.

Ответ:

,

,

,

,

.

Пример 1.2.2. Вычислить определитель второго порядка:

.

Решение.

.

где

– действительные числа, называемые коэффициентами при неиз-

вестных,

;

− действительные числа, называемые свобод-

ными элементами;

– неизвестные.

Матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных, называ-

ется матрицей системы:

.

Правило Крамера.

Правило Крамера применимо, когда число уравнений равно числу

неизвестных, то есть матрица системы является квадратной (

).

20