2022_008

8.1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Справочный материал.

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид:

или

,

где – независимая переменная, – неизвестная функция, – производная

неизвестной функции.

Решением дифференциального уравнения первого порядка называет-

ся функция

, которая при подстановке в это уравнение обращает

называется соотношение вида

, неявно задающее общее ре-

шение уравнения.

Частным решением дифференциального уравнения первого порядка

называется функция

, получаемая из общего решения при фик-

сированном значении постоянной

.

Частным интегралом дифференциального уравнения первого по-

рядка называется соотношение вида

, получаемое из общего

интеграла при фиксированном значении произвольной постоянной

.

Начальным условием для дифференциального уравнения первого по-

рядка называется условие

.

,

где

,

– некоторые функции.

Его решение сводится к интегрированию уравнения:

.

Пример 1.8.1. Решить дифференциальные уравнения первого поряд-

ка с разделяющимися переменными:

1)

;

2)

.

Решение.

1) Преобразуем уравнение к виду

.

Учитываем, что

:

.

Слагаемое

перенесём в правую часть:

121

.

Умножим уравнение на

:

.

Разделим уравнение на

:

.

Разделим уравнение на

:

.

.

Получаем:

.

Выразим

:

;

.

2) Преобразуем уравнение к виду

.

Вынесем общий множитель за скобки:

.

Слагаемое

перенесём в правую часть:

.

Разделим уравнение на

:

.

Разделим уравнение на

:

.

первого порядка неизвестной функции,

– производная второго порядка

неизвестной функции.

ся функция

, которая при подстановке в это уравнение обращает

его в тождество.

Общим решением дифференциального уравнения второго порядка

называется функция

,

являющаяся решением этого уравне-

ния при любых значениях постоянных

и .

Общим интегралом дифференциального уравнения второго порядка

называется соотношение вида

,

неявно задающее общее

решение уравнения.

Частным решением дифференциального уравнения второго порядка

называется функция

, получаемая из общего решения при

фиксированных значениях постоянных

,

.

Частным интегралом дифференциального уравнения второго поряд-

ка называется соотношение вида

, получаемое из обще-

го интеграла при фиксированных значениях постоянных

,

.

Начальными условиями для дифференциального уравнения второго

порядка называются условия

,

.

на , на

,

на .

В зависимости от корней характеристического уравнения записыва-

ют общее решение дифференциального уравнения. Пусть

и

– корни

характеристического уравнения. Возможны 3 случая.

1) Если

и

– действительные и различные, то есть дискриминант

характеристического уравнения

, то общее решение дифференциаль-

ного уравнения имеет вид:

3) Если

и

– комплексные (

,

), то есть

дискриминант характеристического уравнения

,

то общее решение

дифференциального уравнения имеет вид:

.

Пример 1.8.2. Решить дифференциальное уравнение второго поряд-

ка, допускающее понижение порядка:

.

Решение.

Уравнение задано в виде

.

Интегрируя уравнение, получаем:

.

Интегрируя повторно, получаем:

.

Получено общее решение дифференциального уравнения.

Ответ:

.

1)

; 2)

; 3)

.

Решение.

1)

Составляем характеристическое уравнение:

. Находим

корни характеристического уравнения:

,

. Корни действитель-

ния:

.

2) Составляем характеристическое уравнение:

. На-

ходим корни характеристического уравнения:

. Корни действи-

ния:

.

3) Составляем характеристическое уравнение:

. На-

ходим корни характеристического уравнения:

,

. Корни

.

Ответ: 1)

; 2)

;

3)

.

Пример 1.8.4. Решить задачу Коши:

,

,

.

Решение. Составляем характеристическое уравнение:

. Находим корни характеристического уравнения:

,

. Корни

ного уравнения:

. Найдём производную первого порядка

от общего решения:

. Подставляя начальные условия,

получаем систему уравнений:

Отсюда

,

.

124

Тогда частное решение исходного уравнения:

.

Ответ:

.

ляющимися переменными: 1)

; 2)

.

2. Скорость тела пропорциональна пройденному пути. За первые

с

тело проходит

м, за

с –

м. Найти закон движения тела.

3. Скорость размножения бактерий пропорциональна их количеству.

В начальный момент

имелось

бактерий, а в течение часов их

между температурой тела и температурой воздуха. Тело, нагретое до

охлаждается до

в течение мин при температуре воздуха

. Най-

до

.

5. Некоторое вещество преобразуется в другое со скоростью, про-

через

ч количество первого вещества равно

г, а через

ч равно

г.

Определить, сколько вещества было в начале процесса.

6. Решить дифференциальные уравнения второго порядка, допус-

кающие понижение порядка:

.

7. Ускорение прямолинейного движения пропорционально времени.

Найти закон движения, если в момент

скорость

,

путь

и в момент

путь

.

8. Решить линейные однородные дифференциальные уравнения вто-

рого порядка с постоянными коэффициентами:

1)

;

2)

;

3)

.

9. Решить задачу Коши:

,

,

.

Второй уровень cложности

8.1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Справочный материал.

Функция

называется однородной функцией

-ого измерения,

если при любом значении

выполняется равенство:

.

В частности, функция

называется однородной функцией нуле-

вого

измерения, если

при

любом значении

выполняется равенство:

.

Дифференциальное уравнение

называется однородным,

если

является однородной функцией нулевого измерения.

Однородное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися пе-

ременными подстановкой

, где

– новая неизвестная функ-

ция.

125

первого порядка:

.

Решение.

Преобразуем

уравнение

к виду

. Получаем:

.

Для этого уравнения

.

Функция

является

однородной

нулевого

измерения,

так

как

.

Следова-

тельно, данное уравнение является однородным.

Применяем подстановку

:

;

.

.

Уравнение не содержит

в явном виде. Порядок уравнения понижается

при помощи замены

,

.

,

где и – действительные числа,

– некоторая функция.

ного неоднородного уравнения:

.

Частное решение исходного неоднородного уравнения находят по

виду его правой части, то есть по виду функции

.

Рассмотрим 2 случая.

1)

, где

– многочлен степени

;

– некоторое

число. Если

не является корнем характеристического уравнения, то част-

ное решение находят в виде:

,

где

– многочлен степени

с неопределёнными коэффициентами.

2)

, где

– многочлен

степени

,

– многочлен степени

; ,

– некоторые числа. Если

не является корнем характеристического уравнения, то частное ре-

шение находят в виде:

,

где

,

– многочлены степени

с неопределёнными коэффициен-

тами,

.

Для нахождения коэффициентов многочленов

,

,

ка, допускающее понижение порядка:

.

Решение. Уравнение задано в виде

, то есть не со-

держит в явном виде. Выполнив замену

,

, получим

Ответ:

.

1)

;

2)

.

решение однородного уравнения:

.

Найдём частное решение неоднородного уравнения. Правая часть не-

однородного уравнения имеет вид

, где

является много-

членом нулевой степени и

не является корнем характеристического

виде

, где – неопределённый коэффициент.

Найдём производные первого и второго порядков от частного реше-

ния:

,

. Подставим частное решение и

его производные в исходное уравнение:

;

,

.

.

2) Найдём общее решение однородного уравнения. Запишем одно-

родное уравнение:

. Составим характеристическое урав-

нение:

. Находим корни характеристического уравнения:

,

. Корни комплексные. Записываем общее реше-

ние однородного уравнения:

.

Найдём частное решение неоднородного уравнения. Правая часть не-

однородного уравнения имеет

вид

, где

,

является многочленом нулевой степени,

яв-

ляется

многочленом нулевой

степени,

не является

.

После преобразований:

.

Приравнивая коэффициенты при

и

в левой и правой

частях уравнения, получаем систему уравнений:

Отсюда

,

.

.

Ответ: 1)

;

2)

.

Упражнения

1. Решить однородное дифференциальное уравнение первого поряд-

ка:

.

2. Решить дифференциальное уравнение второго порядка, допус-

кающее понижение порядка:

.

3. Решить линейные неоднородные дифференциальные уравнения

второго порядка с постоянными коэффициентами:

1)

;

2)

.

,

где

и

– некоторые функции.

Линейное уравнение сводится к двум уравнениям с разделяющимися

переменными подстановкой

, где

,

– новые неиз-

вестные функции, причём функцию

можно выбрать произвольно.

вого порядка:

.

Решение. Преобразуем уравнение к виду

. Получа-

ем:

.

Применяем подстановку

:

.

неизвестной функции

:

.

Отсюда:

;

.

Возьмём

. Получаем

.

Возвращаемся

к

решению

уравнения

,

учитывая, что при

выражение в скобках обращается в ноль. Получа-

.

Уравнение не содержит

в явном виде. Порядок уравнения понижается при

помощи замены

,

.

,

где и – действительные числа,

– некоторая функция.