2022_008

Теорема. Пусть − определитель матрицы системы, а − определитель матрицы, полученной из матрицы системы заменой j-ого столбца

Пример 1.2.4. Решить систему линейных алгебраических уравнений

по правилу Крамера:

Решение.

Так как число уравнений равно числу неизвестных, то правило Крамера применимо. Используем алгоритм решения системы линейных алгебраических уравнений по правилу Крамера.

1) Вычислим определитель матрицы системы:

,

Так как , то система имеет единственное решение.

2) Вычислим определитель матрицы, полученной из матрицы системы заменой первого столбца столбцом свободных элементов:

.

Вычислим определитель матрицы, полученной из матрицы системы заменой второго столбца столбцом свободных элементов:

.

Вычислим определитель матрицы, полученной из матрицы системы заменой третьего столбца столбцом свободных элементов:

2. В экосистеме существует три конкурирующих вида. Потребление особями одного вида особей другого вида задано матрицей третьего порядка , где – среднее число особей -ого вида, потребляемое в день особью -ого вида. Дать биологическую интерпретацию каждого элемента

ния одной особи -ого вида. Найти общий энергетический доход в калори-

5. Вычислить определитель третьего порядка по правилу треугольни-

ка: .

6. Решить систему линейных алгебраических уравнений по правилу

Крамера:

Второй уровень сложности

.

Определителем матрицы -ого порядка, или определите-

лем -ого порядка, называется число, равное сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

(разложение по строке)

или

22

(разложение по столбцу).

Если – квадратная матрица, то обратной для неё называется мат-

присоединённая матрица (получена транспонированием матрицы, состав-

Решение. – это минор элемента матрицы, находящегося на пересечении третьей строки и второго столбца матрицы. Для нахождения указанного минора вычеркнем в матрице третью строку и второй столбец. Оставшиеся элементы образуют матрицу, определитель которой и является искомым минором:

.

– это алгебраическое дополнение элемента матрицы, находящегося на пересечении третьей строки и второго столбца матрицы. Используя формулу для нахождения алгебраического дополнения, получаем:

.

Решение. Вычислим определитель разложением, например, по первой строке:

.

23

обратная.

Найдём алгебраические дополнения всех элементов матрицы .

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Составим обратную матрицу:

.

2.2. Системы линейных алгебраических уравнений Справочный материал.

Система из m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными имеет вид:

24

где – матрица системы, то есть матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных; – матрица неизвестных; – матрица свободных элементов.

Пример 2.2.4. Решить систему линейных алгебраических уравнений

методом обратной матрицы:

Решение.

Применяем алгоритм решения системы линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы.

1) Запишем матрицу системы , матрицу неизвестных , матрицу свободных элементов :

.

3) Найдём матрицу неизвестных X:

2. Вычислить определитель третьего порядка разложением по строке

4. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом об-

ратной матрицы:

Во всех трёх случаях матрицы , , , имеют такую размерность, что используемые операции умножения определены, при этом левая и правая части матричного уравнения представляют собой матрицы одинаковой размерности.

2.2. Системы линейных алгебраических уравнений Справочный материал.

Система из m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными имеет вид:

Расширенной матрицей системы называется матрица вида:

.

Системы уравнений называются эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений.

Элементарные преобразования, приводящие к эквивалентной систе-

ме.

1.Перестановка уравнений.

2.Умножение уравнения на любое действительное число.

3.Сложение уравнений.

Матрица называется ступенчатой, если все элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю.

Метод Гаусса. Метод Гаусса применим для систем с любым числом уравнений и неизвестных. Этот метод основан на приведении расширенной матрицы системы с помощью элементарных преобразований, приводящих к эквивалентной системе, к ступенчатому виду с последующим постепенным нахождением неизвестных, начиная с последней неизвестной.

27

Алгоритм решения системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

1)Составить расширенную матрицу системы.

2)Привести расширенную матрицу системы к ступенчатому виду.

3)Записать систему уравнений.

4) Найти неизвестные.

Пример 3.2.2. Решить систему линейных алгебраических уравнений

методом Гаусса:

Решение. Применяем алгоритм решения системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

1) Составим расширенную матрицу системы:

.

2) Приведём расширенную матрицу системы к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований, приводящих к эквивалентной

28

Упражнения

1. Решить матричные уравнения:

2. Решить систему линейных алгебраических методом Гаусса:

ГЛАВА 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Первый уровень cложности

3.1. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости Справочный материал.

Расстояние между двумя точками плоскости и

находят по формуле:

Решение. Воспользуемся формулой расстояния между двумя точка-

3.2. Прямая линия на плоскости Справочный материал.

Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки и

, находят по формуле:

.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид:

,

29

где – угловой коэффициент прямой, причём , – угол наклона прямой, то есть угол, который прямая образует с положительным направ-

муле:

.

Условие параллельности прямых имеет вид:

Условие перпендикулярности прямых имеет вид:

При решении ряда задач это равенство удобно записать в виде:

Пример. 1.3.3. Найти угловой коэффициент прямой, проходящей через точки: 1) и ; 2) и ; 3) и

.

Решение. Воспользуемся формулой нахождения углового коэффици-

смысла. Поэтому угловой коэффициент прямой не определён и, следовательно, прямая параллельна оси .

Ответ: 1) ; 2) ; 3) угловой коэффициент не определён.

30