2022_008

Решение.

Прямая

задана уравнением

с угловым

коэффициентом:

. Поэтому угловой коэффициент прямой

и величина от-

резка, отсекаемого прямой на оси ординат,

.

Ответ:

,

.

Пример. 1.3.5. Составить уравнение прямой, зная, что её угловой ко-

эффициент равен

и величина отрезка, отсекаемого прямой на оси ординат,

ентом:

. Получаем:

.

Ответ:

.

Пример. 1.3.6. Построить прямые, заданные следующими уравне-

ниями:

1)

;

2)

;

3)

;

4)

;

5)

.

Решение. Для построения прямой достаточно знать две её точки. Все

прямые, кроме 5), заданы уравнением с угловым коэффициентом

, где

– угловой коэффициент прямой, – величина отрезка, отсекаемо-

сечения с осью ординат:

. Осталось найти ещё одну точку.

1) Прямая, заданная уравнением

, пересекает ось ординат

в точке

. Найдём вторую точку. Возьмём, например,

. Тогда

и вторая точка прямой

(рис. 1.3.1).

2) Прямая, заданная уравнением

, пересекает ось орди-

нат в точке

. Найдём вторую точку. Возьмём, например,

.

Тогда

и вторая точка прямой

(рис.1.3.2).

3) Прямая

задана уравнением вида

. Такая прямая все-

пример,

. Тогда

и вторая точка прямой

(рис. 1.3.3).

4)

Прямая,

заданная уравнением

, представляет множество то-

чек, ординаты которых равны нулю, то есть прямая совпадает с осью

(рис. 1.3.4).

5)

Прямая,

заданная

уравнением

, представляет множество

точек, абсциссы которых равны

, то есть прямая параллельна оси

(рис. 1.3.5).

Пример. 1.3.7. Составить уравнение прямой, проходящей через точ-

ку

и имеющей угловой коэффициент, равный .

Решение. Воспользуемся уравнением прямой с данным угловым ко-

эффициентом и проходящей через данную точку:

.

По-

лучаем:

. После преобразований получаем:

.

Ответ:

.

31

Рис. 1.3.1

Рис. 1.3.2

Рис. 1.3.3

Пример. 1.3.8. Составить уравнение прямой, проходящей через две

точки

и

.

Решение. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две

данные точки:

. Получаем:

.

величина которого равна

(рис.1.3.7).

Рис. 1.3.6

Рис. 1.3.7

Ответ: 1)

; 2)

; 3) данное уравнение невозможно

ными уравнением с угловым коэффициентом:

.

Выпишем угловые коэффициенты прямых:

,

. Подстав-

ляем в формулу:

.

Тогда угол между прямыми

.

.

Ответ:

Пример. 1.3.11. Дана прямая

. Определить угловой ко-

венством

, где – искомый угловой коэффициент, – угловой ко-

эффициент данной прямой. Отсюда

33

.

Ответ: а)

; б)

.

Пример.

1.3.12. Найти расстояние от точки

до прямой

до прямой:

. Получаем:

.

.

Ответ:

Пример. 1.3.13. Найти точку пересечения прямых

и

.

Сложим уравнения:

.

Отсюда

.

Подставим найденное значение, например, в первое уравнение ис-

ходной системы:

,

.

Таким образом, получаем следующую точку пересечения прямых:

.

Ответ:

.

Уравнение окружности с центром в точке

радиуса имеет

вид:

от каждой из которых до двух фиксированных точек

и , называемых

фокусами, есть величина постоянная,

равная . Требуется, чтобы эта по-

стоянная была больше расстояния между фокусами.

Точки

пересечения

эллипса с

осями координат, то есть точки

,

,

,

называются вершинами эллипса.

34

Рис. 1.3.9

Отрезок

длины

называется большой осью эллипса. Отрезок

длины

называется большой полуосью эллипса. Отрезок

длины

называется малой осью эллипса. Отрезок

длины называется малой

.

Уравнение эллипса с центром в точке

, полуосями

и

имеет вид:

Точки пересечения гиперболы с осью

, то есть точки

,

называются вершинами гиперболы. Отрезок

длины

назы-

вается действительной осью гиперболы. Отрезок

длины называется

35

действительной полуосью гиперболы. Отрезок

длины , соединяю-

щий точки

и

, называется мнимой осью гиперболы. Отре-

зок

длины

называется мнимой полуосью гиперболы. Гипербола не

или к

. Для гиперболы асимптотами являются прямые

и

.

Уравнение гиперболы с центром в начале координат, полуосями

и

также является каноническим уравнением гиперболы.

В этом случае фокусы гиперболы расположены на оси . Длина её

действительной оси равна

и расположена на оси

, длина мнимой оси

равна

и расположена на оси .

Асимптоты этой гиперболы:

и

(рис. 1.3.13).

Рис. 1.3.12

Рис. 1.3.13

Гиперболы, заданные уравнениями

и

, назы-

.

Уравнение гиперболы с центром в точке

, полуосями и

имеет вид:

ром параболы и обозначается через .

Уравнение параболы с вершиной в начале координат, параметром

,

ветвями, симметричными относительно оси

и направленными вправо,

имеет вид:

.

и называется каноническим (простейшим) уравнением параболы

(рис. 1.3.15). Фокус параболы:

, директриса:

.

Уравнение параболы с вершиной в начале координат, параметром

,

ветвями, симметричными относительно оси

и направленными влево,

имеет вид:

.

Рис. 1.3.15

Рис. 1.3.16

Уравнение параболы с вершиной в начале координат, параметром ,

ветвями, симметричными относительно оси

и направленными вверх,

имеет вид:

и также называется каноническим (простейшим) уравнением параболы

(рис. 1.3.17). Фокус параболы:

, директриса:

.

37

ветвями, симметричными относительно оси

и направленными вниз,

имеет вид:

.

и также называется каноническим (простейшим) уравнением параболы

(рис. 1.3.18). Фокус параболы:

, директриса:

.

Рис. 1.3.18

Рис.1. 3.17

Уравнение параболы с вершиной в точке

, параметром ,

ветвями, симметричными относительно прямой

и направленными

вправо, имеет вид:

болы:

– парабола с вершиной в точке

,

параметром

, ветвями, симметричными относительно прямой

и на-

правленными влево;

– парабола с вершиной в точке

, па-

раметром ,

ветвями, симметричными относительно прямой

и на-

правленными вверх;

– парабола с вершиной в точке

,

параметром

, ветвями, симметричными относительно прямой

и на-

окружности с центром в точке

радиуса

:

1)

,

;

2)

,

.

Решение.

1) Воспользуемся каноническим уравнением окружности радиуса :

. В условиях примера

. Получаем:

. Преоб-

разуем:

.

2) Воспользуемся нормальным уравнением окружности с центром в

точке

радиуса

:

. В условиях примера

,

,

. Получаем:

. Преобра-

зуем:

.

Ответ: 1)

; 2)

.

Пример. 1.3.15. Составить каноническое или нормальное уравнение

эллипса с центром в точке

, полуосями и

:

1)

,

,

;

2)

,

,

.

Решение.

1) Воспользуемся каноническим уравнением эллипса с полуосями

и

:

. В условиях примера

,

. Получаем:

.

Преобразуем:

.

2) Воспользуемся нормальным уравнением эллипса с центром в точ-

ке

полуосями

и

:

. В условиях примера

,

,

,

.

Получаем:

. Преобразу-

ем:

.

Ответ: 1)

; 2)

.

Пример 1.3.16. Составить каноническое или нормальное уравнение

гиперболы с центром в точке

, полуосями

и

:

1)

,

,

;

2)

,

,

.

Решение.

1) Воспользуемся каноническим уравнением гиперболы с полуосями

и

:

. В условиях примера

,

. Получаем:

.

Преобразуем:

.

2) Воспользуемся нормальным уравнением гиперболы с центром в

точке

полуосями

и

:

. В условиях примера

,

,

,

. Получаем:

. Преобразуем:

.

Ответ: 1)

; 2)

.

Пример 1.3.17. Составить каноническое или нормальное уравнение

параболы с вершиной в точке

и параметром

:

правленными влево и параметром :

. В условиях примера

. Получаем:

. Преобразуем:

.

2) Воспользуемся нормальным уравнением параболы, с вершиной в

точке

, ветвями, направленными вверх и параметром

:

. В условиях примера

,

,

. Полу-

чаем:

. Преобразуем:

.

Ответ: 1)

; 2)

.

Пример. 1.3.18. Дан эллипс

. Найти: 1) полуоси; 2) фоку-

эллипса

, заключаем, что данное уравнение каноническое.

1) Исходя из канонического уравнения запишем квадраты полуосей

эллипса:

,

. Отсюда:

,

2) Фокусами эллипса являются точки

,

. Используем

формулу

. Отсюда

. Подставляем значения квад-

ратов полуосей:

. Тогда

фокусы эллипса:

,

.

Ответ: 1)

,

; 2)