2022_008

ного неоднородного уравнения:

.

Частное решение исходного неоднородного уравнения находят по

виду его правой части, то есть по виду функции

.

Рассмотрим 3 случая.

1)

, где

– многочлен степени

;

– некоторое

число. Если

совпадает с одним из корней характеристического уравнения,

то есть

или

, то частное решение находят в виде:

,

где

– многочлен степени

с неопределёнными коэффициентами.

2)

, где

– многочлен степени

;

– некоторое

число. Если

совпадает с обоими корнями характеристического уравнения,

то есть

, то частное решение находят в виде:

,

3)

, где

– многочлен

степени

,

– многочлен степени

; ,

– некоторые числа. Если

является корнем характеристического уравнения, то частное реше-

ние находят в виде:

,

где

,

– многочлены степени

с неопределёнными коэффициен-

тами,

.

Для нахождения коэффициентов многочленов

,

,

ка, допускающее понижение порядка:

.

Решение. Уравнение задано в виде

, то есть не со-

держит в явном виде. Выполнив замену

,

, получим

.

Отсюда

или

.

Решение первого уравнения:

.

.

Выражаем функцию

:

.

Возвращаясь к функции , приходим к уравнению первого порядка с

разделяющимися переменными:

.

Разделяем переменные:

.

Проинтегрируем уравнение:

;

;

.

Обозначим:

,

.

Тогда:

.

Получено общее решение дифференциального уравнения.

Решение

входит в это решение.

Ответ:

.

Пример 3.8.3. Решить линейное неоднородное дифференциальное

уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

.

Решение. Найдём общее решение однородного уравнения. Запишем

однородное уравнение:

. Составляем характеристическое

уравнение:

. Находим корни характеристического уравне-

ния:

,

. Корни действительные и различные. Записываем общее

решение однородного уравнения:

.

Найдём частное решение неоднородного уравнения. Правая часть не-

однородного уравнения имеет вид

, где

является

многочленом первой степени и

совпадает с одним из корней характе-

.

Ответ:

.

фициент пропорциональности равен

). Найти зависимость скорости от

времени.

3.

Решить дифференциальное уравнение второго порядка, допус-

кающее понижение порядка:

.

4.

Решить линейные неоднородные дифференциальные уравнения

второго порядка с постоянными коэффициентами:

1)

;

2)

.

,

где , , , ...,

, ... действительные числа, называемые членами ряда.

При этом число

называется общим членом ряда.

Если все члены ряда положительны, то ряд называется знакополо-

Сумма первых

членов ряда называется -ой частичной суммой ря-

да и обозначается через

. Можно записать:

.

133

этом ряд не имеет суммы.

Разность между суммой

числового ряда и -ой частичной суммой

называется остатком ряда и обозначается через

. Можно записать:

Свойства числовых рядов.

1) Если ряд

сходится и имеет сумму

, то ряд

, где

– постоянная величина, также сходится и имеет сумму .

2) Если ряды

и

сходятся и имеют суммы

и со-

ответственно, то ряд

также сходится и имеет сумму

.

ряда является бесконечно малой, то есть

.

Рядом геометрической прогрессии называется числовой ряд, состав-

ленный из членов геометрической прогрессии:

,

где

– первый член прогрессии,

– знаменатель прогрессии. Ряд геомет-

рической прогрессии сходится при

, при этом его сумма

.

Ряд геометрической прогрессии расходится при

.

Гармоническим рядом называется числовой ряд вида:

,

где

. Обобщённый гармонический ряд сходится при

и расходит-

ся при

.

Необходимый признак сходимости.

Если числовой ряд сходится, то предел его общего члена

при

равен нулю:

.

Это условие

является необходимым,

но недостаточным:

если

, то ряд расходится; если

, то вопрос о сходи-

знакоположительных ряда

и

. Если при этом выполнятся

неравенство

, то из сходимости ряда с большими членами следует

знакоположительных ряда

и

. Если существует конечный и

отличный от нуля предел отношения их общих членов

, то оба

щему:

, то при

ряд сходится, при

ряд расходит-

ся, при

вопрос о сходимости остаётся открытым и нужно воспользо-

ваться другим признаком.

3) Интегральный признак Коши–Маклорена. Пусть дан знакоположи-

тельный ряд

, члены которого не возрастают, то есть

. Пусть функция

, определённая для

, непрерывна, не

возрастает и

,

, ...,

, ... Тогда для сходимости

ряда

необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный ин-

теграл

.

Несобственный интеграл от функции

в пределах от до оп-

ределяется равенством:

. Если предел суще-

. Если существует предел:

, то при

ряд схо-

дится,

при

ряд расходится, при

вопрос о сходимости остаётся

открытым и нужно воспользоваться другим признаком.

Знакочередующимся рядом называется ряд вида:

,

где ,

, , ...,

, ... – положительные действительные числа.

ряда при

:

. Второй член ряда получается из формулы

135

общего члена ряда при

:

. Третий член ряда получается

из формулы общего члена ряда при

:

. Четвёртый член

ряда получается из формулы общего члена ряда при

:

.

Ответ:

,

,

,

.

Пример 1.9.2. Записать формулу общего члена ряда:

1)

;

2)

.

формула общего члена ряда имеет вид:

. В знаменателе находятся

последовательные значения чётных чисел. Как известно,

– это формула

чётного числа.

2) Выпишем первые

члены ряда:

,

,

,

и т. д. В числителе каждой дроби находится

добавлена . Поэтому формула общего члена ряда имеет вид:

.

Ответ: 1)

; 2)

.

Пример 1.9.3. Найти сумму ряда:

.

Решение. Данный ряд является рядом геометрической прогрессии с

первым членом

и знаменателем

. Так как

,

то ряд сходится и его сумму находим по формуле:

. Получаем:

.

димости для рядов: 1)

;

2)

.

Решение.

1) Находим предел общего члена ряда при

. Имеет место неоп-

ределённость вида

. Для раскрытия этой неопределённости разделим

числитель и знаменатель дроби на

. Получаем:

.

2) Находим предел общего члена ряда при

. Имеет место неоп-

признак сравнения: 1)

;

2)

.

Решение.

1) Так как

, то общий член ряда

1) Общий член исходного ряда

. В качестве ряда сравне-

ния возьмём обобщённый гармонический ряд с общим членом

, ко-

2)

Общий член исходного ряда

. В качестве ряда сравнения

возьмём

гармонический ряд с общим членом

, который расходится.

Даламбера: 1)

; 2)

.

Решение.

1) Общий член исходного ряда

. Тогда

-ый член ряда

. Составляем предел отношения последующего члена ряда к

предыдущему:

.

Так как значение предела меньше

, то ряд сходится.

2) Общий член исходного ряда

. Тогда

-ый член ряда

.

Так как значение предела меньше

, то ряд сходится.

Ответ: 1) Сходится; 2) сходится.

Пример 1.9.8. Исследовать ряды на сходимость, используя инте-

гральный признак Коши–Маклорена: 1)

;

2)

.

Решение.

1) Функция

является положительной,

непрерывной и

2) Функция

является положительной, непрерывной и

убывающей при

. Находим несобственный интеграл:

кальный признак Коши: 1)

;

2)

.

1) Общий член исходного ряда

. Вычисляем предел:

.

Так как значение предела меньше

, то ряд сходится.

2) Общий член исходного ряда

. Вычисляем предел:

.

Так как значение предела больше

, то ряд расходится.

Ответ: 1) Сходится; 2) расходится.

Пример 1.9.10. Исследовать знакочередующийся ряд на сходимость:

.

Решение. Применяем признак Лейбница. Проверяем первое условие:

, то есть члены ряда по абсолютной величине убывают.

Проверяем второе условие:

, то есть предел общего члена

Ответ: Сходится.

9.2. Степенные ряды

Справочный материал.

Степенным рядом называется выражение вида:

,

где

, , ..., , ... действительные числа, называемые коэффициентами

степенного ряда; – переменная величина.

Областью сходимости степенного ряда называется множество всех

значений переменной , при которых степенной ряд сходится.

Радиусом сходимости степенного ряда называется такое число , что

при

ряд сходится, а при

ряд расходится.

Интервалом сходимости

степенного ряда называется интервал

.

Алгоритм нахождения области сходимости степенного ряда.

1) Найти радиус сходимости степенного ряда по формулам:

или

.

1)

Находим радиус сходимости по формуле

. Учи-

тывая, что

,

, получаем:

.

2)

Записываем

интервал сходимости ряда:

или

.

Получили обобщённый гармонический ряд, который расходится.

Значение

в область сходимости не включаем.

При

исходный ряд принимает вид:

ловие:

, то есть члены ряда по абсолютной величине убы-

вают.

Проверяем второе условие:

, то есть предел общего

ся, поэтому ряд сходится. Значение

включаем в область сходимости.

Таким образом, область сходимости ряда:

.

Ответ:

.

Упражнения

1.

Дан общий член ряда

. Записать первые четыре члена

ряда.

2.

Записать формулу общего члена ряда:

1)

;

2)

.

3.

Найти сумму ряда:

.

4.

Проверить выполнение необходимого признака сходимости для

рядов: 1)

;

2)

.

5.

Исследовать ряды на сходимость, используя первый признак срав-

нения: 1)

;

2)

.

6.

Исследовать ряды на сходимость, используя второй признак срав-

нения: 1)

;

2)

.

140