книги / Эконометрика. Начальный курс

Предложение. У положительно определенной (неотрицательно определенной) матрицы А все собственные числа положительны (неотрицательны).

В самом деле, пусть х — собственный вектор, соответствую­ щий собственному числу А, т. е. А х = А*. Так как матрица поло­ жительно определена, то х 'А х > 0. Но х ' А х = х'Хх = А*'* > 0, следовательно, А > 0 {х'х > 0, как скалярный квадрат ненулевого вектора).

Для положительно определенных матриц можно определить дробные степени и другие функции от матриц следующим об­ разом. Представим положительно определенную симметричную матрицу А в виде разложения на ортогональную и диагональную (ЛА.13):

А = О АО '.

Диагональные элементы Л являются собственными числами мат­ рицы А , следовательно, неотрицательны (см. выше). Тогда можно определить

А 1/2 = О А ^ 2(У,

(Л 1/2)2 = 0 Л 1/20 ,0 Л 1/20 / = 0 А 1/2Л 1/20 / = ОАО/ = А,

и аналогично для любой другой дробной степени (в том числе отрицательной).

Здесь, конечно,

16.Идемпотентные матрицы

Определение. Матрица М называется идемпотентной, если она совпадает со своим квадратом: М = М 2. Мы далее будем счи­ тать матрицу М также и симметричной, так как именно такие матрицы встречаются в эконометрике. Однако многие приведен­ ные ниже результаты верны и без предположения симметрично­ сти матрицы М . Часто требование симметричности включают в определение идемпотентной матрицы.

Предложение. Собственные числа идемпотентной матрицы мо­ гут принимать значения только 0 или 1.

В самом деле, если х — собственный вектор идемпотентной матрицы М , а А — соответствующее собственное значение, то

Предложение. Ранг идемпотентной матрицы равен ее следу. Пусть М — идемпотентиаи (симметричная) матрица. В си­

лу (ЛА.13) се можно представить в виде М = ОАО7, где на диагонали А стоят пули и единицы (собственные числа матри­ цы М ). Из свойств ранга матрицы (см. ЛА, п. 10) следует, что rank(M) = гапк(А), т. к. ортогональная матрица О невырождена (dct(O) = ±1). Ранг матрицы А равен, очевидно, числу ненулевых элементов на диагонали, т. е. числу собственных значений матри­ цы М , равных 1. След матрицы М равен tr(Af) = tr(OAO') = tr(O'OA) = tr(A), также равен числу собственных значений мат­ рицы М , равных 1, что и требовалось показать.

Пример. Обозначим через t n x l - вектор-столбец, состоящий из одних единиц. Рассмотрим матрицу М = I — £ n'. Проверим, что она идемпотентиая.

Эта матрица обладает следующим свойством (вычисление откло­ нений от среднего значения):

С геометрической точки зрения идемпотентная матрица соот­ ветствует оператору проектирования на векторное подпростран­ ство. Так, например, матрица М = I —£»»' является проектором на подпространство, ортогональное вектору * = (1, . . . , 1)'.

17.Блочные матрицы

Часто, в соответствии со смыслом задачи, удобно разбить матри­ цу на подматрицы (блоки). Например, т х п матрицу А можно разбить на блоки:

где А п — mi х 711 матрица, А 12 — mi х п2 матрица, A2I -- m2 х ni матрица, А 22 — т 2 х п2 матрица, m = ттц + т 2, п = щ + п2.

Две матрицы, разбитые на блоки одинаковым образом (т.е. размерности матриц Aij и B y совпадают), можно складывать

Можно также умножать матрицы, разбитые на блоки подхо­ дящим способом, т. е. так, чтобы все операции в приведенной ниже формуле были корректны (для этого необходимо, чтобы количе­ ство столбцов в матрице Ау и строк в матрице B jk совпадали для всех t, j, к)

504 Приложение ЛА

Определитель блочной матрицы

Пусть п х п матрица А разбита на блоки (ЛА.16), такие что А ц и А 22 являются квадратными матрицами. Тогда верна сле­ дующая формула для определителя матрицы А:

А п А ц —|Ац||А2$ - A i l A j j A a l = |А22||Ац —А ц А ^ А ц 1 .

А21 А 22

Вчастном случае, когда А |2 и А21 — нулевые матрицы (такая маорица А называется блочно-диагональной)

Матрица, обратная к блочной матрице

Для блочно-диагональной матрицы А обратная матрица рав­

на

Для блочной матрицы общего вида можно получить (см. упражнение ЛА.9)

А22= (А22—А2]А ^ А ю) *, A1I = (A n-i4i2A ^1A2i)-1. (ЛА.18)

18.Произведение Кронекера

Некоторые вычисления, связанные с системами регрессионных уравнений, значительно сокращаются, если использовать понятие произведения Кронекера.

Определение. Произведением Кронекера двух матриц А (размер­ ности т х п ) и В (размерности k x l) называется блочная матрица

506 Приложение ЛА

= ( z '( A ' + A ) ) t

(здесь S{j — символ Кронекера (ЛА.2)).

В том случае, когда матрица А симметричная, (ЛА.23) при­

Подробное и последовательное изложение аппарата векторно­ го и матричного дифференциального исчисления можно найти в книге (Magnus, Neudecker, 1988).

Упражнения

ЛА.1. Докажите, что tr(AB) = tr(BA). (Указание. Напишите это условие в координатах.)

ЛА.2. Докажите, что tr(A® В) = tr(A) tr(В).

ЛА.З. Покажите, что матрица Х ( Х ' Х ) ~ 1Х ' —идсмпотентная.

ЛА.4. Матрица А —идемпотентная. Докажите, что матрица В = I —А также идемпотентная и В А = 0.

ЛА.5. Пусть А —п х п матрица А = (1 - а)1 +агг\ где t = [1 ... 1]' — п х 1 вектор. Найдите собственные числа и собственные векторы мат* рнцы А.

ЛА.6. Пусть п х п матрица А зависит от скалярной переменной i, А = А(£), х —вектор п х 1.

а) Найдите d{x'Ax)/dt.

б) Найдите d(x'Ax)/dt, если х зависит от t: х = x(t).

ЛА.7. Пусть A: L —* М линейный оператор, dim(L) = n, dim(M) = тп. Докажите, что

а) Im(A), Кег(А) — векторные пространства;

б) dim(Im(A)) < inin(n,m);

в) dim(Ker(A)) + dim(Im(A)) = n.

ЛА.8. Покажите, что многочлены р(х) с вещественными коэффици­ ентами и естественными операциями сложения и умножения на число образуют векторное пространство L.

а) Найдите размерность L.

б) Выберите базис в L. Какие матрицы соответствуют в выбранном вами базисе операторам А: р(х) —»dp(x)/dx\ В: р(х) —*р(х —1). Найдите собственные числа и собственные векторы этих операто­ ров.

ЛА.9. Докажите формулы (ЛА.17), (ЛА.18) для обращения блочной матрицы. (Указание. Используйте формулу для произведения блочных матриц из п. 17 и определение обратной матрицы).