книги / Эконометрика. Начальный курс

452 Гл 15. Эконометрика финансовых рынков

феля новыми активами не приводит к изменению фронта эффек­ тивных портфелей, или, другими словами, выполняются условия (15.22).

Рассмотрим первое уравнение (15.22). Запишем его в виде т у = а + В т х , где а = 0 и В = Лух'В'хх- Заменив мате­ матические ожидания доходностей доходностями: т у = гу —и у

2 у х - ВШ хх = 0.

Рассмотрим теперь уравнение (15.23), как уравнение регрессии гу на гх- Взяв ковариацию обеих частей этого уравнения с г х и математическое ожидание от обеих частей уравнения, получим следующую систему уравнений:

Таким образом, чтобы тестировать нулевую гипотезу Но, нам надо проверить выполнение следующих двух условий на коэффи­ циенты в регрессионном уравнении (15.23):

Для простоты рассмотрим случай, когда набор активов Y со­ стоит из одного актива (т = 1), и перейдем к выборочному анало­ гу уравнения (15.23). Тогда, чтобы тестировать гипотезу Но, нам надо оценить коэффициенты регрессии

и тестировать ограничения (15.25), которые в данном случае вы­ глядят следующим образом:

Ясен содержательный смысл этой процедуры. Уравнение (15.26) при выполнении ограничений (15.27) означает, что доход­

ность R y актива Y может быть получена как доходность некото­ рого портфеля активов, включенных в исходный портфель, плюс некоторая дополнительная неопределенность (риск) е. Так как Е(е) = 0 и Cov(e, гх) = О, то ожидаемая доходность актива R y равна ожидаемой доходности портфеля, а дисперсия доходности не меньше, чем дисперсия доходности портфеля, поэтому инве­ стор, минимизирующий риск, не станет дополнительно включать актив R y в свой портфель.

Подробный обзор результатов по проблеме необходимости включения дополнительных активов в портфель инвестора мож­ но найти в (DeRoon F. and Nijman Т., 2001).

В качестве иллюстрации рассмотрим представленный ранее пример (см. рис. 15.2). В таблице 15.8 приведен результат регрес­ сии (15.26) и теста (15.27) на включение в качестве четвертого дополнительного актива индекса РТС.

Chi-square________ 7.114113_______ 2___________ 0.0285_______

Из таблицы следует, что на 5%-ном уровне значимости гипоте­ за Но отвергается, т. е. включение актива РТС значимо сдвигает границу эффективных портфелей.

В таблице 15.9 приведен результат регрессии (15.26) и теста (15.27) на включение в качестве пятого дополнительного актива индекса DJTITAS.

Из таблицы следует, что на 5%-ном уровне значимости гипоте­ за Но не отвернется, т. е. включение актива DJTITAS не сдвигает значимо границу эффективных портфелей.

Тест при фиксированной ожидаемой доходности

Рассмотрим вопрос о необходимости включения нового актива в портфель с другой точки зреиия. Теперь нас будет интересовать статистическая значимость сдвига фронта эффективных портфе­ лей при включении нового актива только в точке, соответствую­ щей оптимальному портфелю с заданной ожидаемой доходностью ц. Значимо ли уменьшится риск при включении нового актива в поргфель?

В этом случае повторяются все рассуждения, использованные для вывода уравнения (15.21), однако теперь оно должно вы­ полняться только для одного заданного значения /л. Обозначив

Рассмотрим следующее регрессионное уравнение (ср. (15.23)):

Пусть, как и ранее, нулевая гипотеза состоит в том, что риск не изменяется при включении нового актива, т. е. его доля в новом портфеле равна 0. Легко проверить, что при выполнении Но век­ торы е й г \ некоррелированы. Взяв математическое ожидание от обеих частей уравнения (15.29), получаем

т. е. при Но получаем а = 0. Как и ранее (ср. (15.26)), для просто­ ты рассмотрим случай, когда набор активов Y состоит из одного актива (m = 1), и перейдем к выборочному аналогу уравнения (15.29). Для тестирования Н0 нам надо оценить регрессию

В качестве примера рассмотрим эффективный портфель с ожидаемой доходностью ц — 0.10, состоящий из трех акти­ вов DJINDUS, NASA100 и DJEURSS, и тестируем необходимость включения в него дополнительного актива RSRTSIN. Получаем т) — 0.0534, и результаты регрессии (15.31) приведены в таблице 15.10.

Как видно из таблицы, гипотеза а = 0 не отвергается (р- зиачение равно 0.61), таким образом, у нас нет необходимости

Поскольку ц и а линейно зависят от а, то на плоскости (<т,/и) всем подобным портфелям соответствует прямая, проходящая че­ рез точки (0,Rf ) и (ор, ц?) (см. рис. 15.3).

Рис. 15.3. Фронт эффективных портфелей при наличии безрискового актива

В том случае, когда w v пробегает всю область допустимых портфелей, соответствующие прямые «заметают» на плоскости угол с вершиной в точке (0, R /)t содержащий фронт эффективных портфелей. Поскольку рд > 0 , то верхний луч, ограничиваю­ щий угол, касается гиперболы (фронта эффективных портфелей) в некоторой точке, соответствующей так называемому «тангенци­ альному» портфелю гол-

Для того чтобы найти эту касательную, которая и является фронтом эффективных портфелей при наличии безрискового ак­ тива, нам теперь осталось только найти параметры тангенциаль­ ного портфеля. Поступим следующим образом.

Обозначим для краткости через w = wj, — распределение ресур­ сов (по рисковым активам) в тангенциальном портфеле. Тогда из (15.34) получаем

Заметим, что в выражении (15.35) нет необходимости в нормиров­ ке ги'г = 1. При умножении всех компонент на константу эта константа сокращается.

Поскольку угол в соответствует касательной, то для каждого г должно выполняться условие

Из (15.36) вытекает, что Его = A(m —R^t), где А — некоторая константа. После нормировки получаем распределение ресурсов

втангенциальном портфеле:

-V~l( ™ - R h ) d г'И~1 (т — R fг)

Ожидаемая доходность и дисперсия доходности тангенциального портфеля равны соответственно

, m 'E - ^ m —R?г)

На рис. 15.3 представлен луч, соответствующий фронту эф­ фективных портфелей, включающих безрисковый актив с доход­ ностью R f = 0.04.

Рассмотрим теперь вопрос о том, как при наличии безриско­ вого актива можно тестировать необходимость включения допол­ нительного (рискового) актива в оптимальный портфель.

Поскольку в данном случае положение эффективного фронта (касательной) определяется единственным параметром — углом в, то вопросы тестирования значимости сдвига фронта для данного (1 и сдвига фронта как целого совпадают.

Очевидно, что положение касательной не изменится тогда и только тогда, когда при включении дополнительного актива не изменится тангенциальный портфель, что означает, что старый и новый фронты эффективных портфелей без безрискового ак­ тива (гиперболы) касаются друг друга в точке, соответствующей тангенциальному портфелю toj.

Поэтому, как и выше, для тестирования нулевой гипотезы об отсутствии сдвига нам надо оценить регрессию (15.31) и тестиро­ вать ограничение Но: а = 0. Что взять в качестве т) в уравнении (15.31)?

Заметим, что

вр _ В ц - А

(15.39)

7^ ~ С ц - В '

Покажем, что это значение равно ординате точки пересечения ка­ сательной с осью ц.

Проведем касательную к фронту эффективных портфелей (гиперболе) в некоторой точке (ар, Др), принадлежащей фронту и, следовательно, удовлетворяющей уравнению (15.15). Уравне­

и после подстановки в (15.40) получаем уравнение касательной:

Подставляя в (15.42) а = 0 и используя равенство (15.15) в точке (сгр, Цр), получаем ординату пересечения касательной с осью ц :

Полученное выражение совпадает с выражением (15.39) для rj, что и требовалось показать.

Поскольку ордината пересечения касательной к точке, соот­ ветствующей тангенциальному портфелю, с осью и равна Rf, то уравнение (15.31) в данном случае выглядит следующим образом:

В качестве примера приведем в таблице 15.11 результаты те­ ста на необходимость включения четвертого актива RSRTSIN, если в портфель уже включены три рисковых актива (DJINDUS, NASA 100 и DJEURSS) и безрисковый актив с доходностью R* = 0.04.

Как видно из таблицы, и в этом случае гипотеза а = 0 не отвергается (p-значение равно 0.66), таким образом, при наличии безрискового актива с доходностью R f = 0.04 у нас нет необ­ ходимости включать в эффективный портфель четвертый актив RSRTSIN.