книги / Эконометрика. Начальный курс
.pdf13.9. Обобщенный метод моментов |
391 |
(при выполнении условий регулярности) можно разрешить систе му уравнений (13.53) относительно в. Полученные таким образом оценки вектора параметров в называются оценками метода мо ментов (см. раздел 7). Бели же количество моментных тождеств больше числа оцениваемых параметров (к < I), то система (13.53) оказывается переопределенной. Для получения оценок методом моментов можно было бы отбросить часть моментных тождеств, но можно поступить иначе. А именно, построить оценку парамет ров в таким образом, чтобы, говоря нестрого, вектор д(в) был как можно ближе к нулю. Например, найти оценку 0 путем решения задачи
i |
|
д'(0)д(в) = £ 9j(0) - m in. |
(13.54) |
j=i |
|
Можно показать (см. (Hansen, 1982)), что полученная при этом оценка В является состоятельной, но, вообще говоря, неэффектив ной.
Вместо минимизации суммы квадратов компонент вектора д(В) можно было бы рассматривать более обилую задачу, а имен но,
g,(0)Sg(B) -> min, |
(13.55) |
где S — некоторая симметричная положительно определенная матрица (размера 1x1). Оценка, полученная решением задачи (13.55), называется оценкой обобщенного метода моментов или кратко GMM-оценкой (Generalized Method of Moments, GMM):
0 = 0GMM-
Ясно, что разным весовым матрицам S соответствуют разные (состоятельные) оценки ОсммМожно показать, что для полу чения асимптотически оптимальной оценки (т. е. имеющей мини мальную асимптотическую матрицу ковариаций) в качестве S на до взять матрицу, обратную матрице ковариаций вектора момен тов, которая (при отсутствии корреляции между наблюдениями) выглядит следующим образом:
5°р*= (Е (m ^ i.S i.Z i^ m 'ti/i.S i.Z i.e )))- 5 . |
(13.56) |
13.9. Обобщенный метод моментов |
393 |
Равенства (13.57) можно переписать в виде следующих (вектор ных) моментных тождеств:
E(xt(yt - x ' t(3)) = 0 |
(13.58) |
(см. (13.52)). В данном случае размерности вектора моментов и вектора параметров совпадают. Напишем выборочный аналог ра венства (13.58) (мы используем обозначения, введенные в гл. 3):
- Y ( x tyt - |
x tx't(3) = - ( Х ' у - Х'Х(3) = 0. |
(13.59) |
n U |
п |
|
Решая уравнение (13.59) относительно /3, получаем:
3 = ( £ > * ; ) |
1f 2 xtyt = (x ' x r 1x'y = 0OLS, |
|
i |
' |
t=i |
т.е. для классической линейной модели регрессии оценка мето да моментов совпадает с оценкой метода наименьших квадратов:
POLS = PGMM-
2. Метод инструментальных переменных. Пусть z t — I х 1 вектор инструментальных переменных, I > к, где к — размерность вектора параметров /3. Моментные тождества (в векторном виде) выглядят аналогично соотношению (13.58):
E(«tet) = Е (zt(yt - x'tl3)) = 0.
Вектор-функция g равна
9 - i Ё *.(». - *10) = \ { 2 ' у - Z 'X I 3).
В данном случае
E(m m ') = Е (zt(yt - x'tf3)2z't) = a2z tz't,
поэтому в качестве весовой матрицы можно взять
Упражнения |
395 |
ошибки коррелировали с регрессорами. Покажите, что МНК-оценка 7 в последнем уравнении несостоятельна (например, покажите, что при
7= 0 получаем plim7 = —1/ 2).
13.9.Оценка производственной функции российских предприятий топливно-энергетического комплекса.
Вфайле fu el.xls содержатся ежегодныеданные об объемах выпус ка, трудозатратах, капитальных вложениях российских предприятий топливно-энергетического комплекса за период 1993-2000 гг. (Б. В. Бес сонова, ЦЭФИР). В панель включено около 2400 предприятий, панель не сбалансирована.
Цель примера —оценить производственную функцию предприятий.
|
Таблица 13.1 |
Переменная |
Описание |
ОКРО |
Номер предприятия по классификации ОКПО |
о к о т |
Код отрасли ОКОНХ |
YEAR |
Год |
ROUT |
Реальный выпуск |
EMP |
Численность работников |
WOR |
Промышленно-производственный персонал |
RK |
Реальные капиталовложения |
13.9.1.Вычислите описательные статистики основных переменных.
13.9.2.Оцените производственную функцию Кобба-Дугласа с помощью простой полной регрессии. Выполняется ли условие постоянства отдачи
иа масштаб?
13.9.3.Повторите упражнение 13.9.2 для регрессий с фиксированным и случайным эффектами. Сравните результаты.
13.9.4.Является ли влияние индивидуальных эффектов существен ным? Проверьте гипотезы:
-простая регрессия против регрессии с фиксированным эффектом;
-простая регрессия против регрессии со случайным эффектом;
-регрессия со случайным эффектом против регрессии с фиксиро ванным эффектом.
13.9.5. Повторите предыдущие упражнения для более сложной моде ли производственной функции путем включения квадратичных и пере крестных членов. Выберите наиболее адекватную, с вашей точки зре ния, модель.
Упражиепия |
397 |
сучетом скидок сильно коррелированы, для каждого сорта i тунца ис пользуйте переменные regpri и discounti — regpri —actpri (г = а, 6, с, <£)■
13.10.3.Оцените панельную модель с фиксированными эффектами. Все ли параметры удалось оценить? Если нет, то почему? (В дальнейшем исключите из модели переменную, вызвавшую проблему.)
13.10.4.Приведите оценки стандартных ошибок коэффициентов в мо дели упражнения 13.10.3, интерпретируйте результаты, сравните с ре зультатами упражнения 13.10.2.
13.10.5.Вычислите межгрупповую (between-gronp) оценку для моде ли. Интерпретируйте результаты, сравните их с результатами модели
сфиксированными эффектами.
13.10.6.Оцените панельную модель со случайными эффектами. Интер претируйте результаты и сравните с результатами упражненний 13.10.4
и13.10.5.
13.10.7.Используя известные вам тесты (тест Хаусмана, LM-тест Бреуша-Пагаиа), выберите наиболее подходящую модель.
13.10.8.Считая, что издержки продажи s<desa тунца сорта А равны 0.5 • salesa, выведите из модели, выбранной в упражнении 13.10.7, оп тимальную цену данного сорта рыбы.
14.1. Введение |
399 |
(оценками, полученными после предварительного тестирова ния). Простейшим примером подобной ситуации является стан дартная линейная модель
у = Х(3 + 7 Z + е,
в которой нас интересуют коэффициенты /3, однако мы не уве рены, следует ли включать в модель г. Как правило, поступают следующим образом. Вычисляют t-статистику коэффициента 7 , и затем, в зависимости от того, является полученное значение |t| «большим» или «малым», выбирают регрессию без ограничения (7 Ф 0) или с ограничением (7 = 0). Затем оценивают коэффици енты /3 по выбранной модели. Полученная оценка /3 и называется pretext-оценкой.
Проблема в том, что обычно, описывая свойства полученной оценки, мы действуем так, как будто не было предварительно го отбора модели. В результате мы (ошибочно) считаем оцен ку несмещенной и пользуемся неверной оценкой ее дисперсии, поскольку применяемые нами формулы для среднего и диспер сии верны только условно, при условии выбранной модели, но не
безусловно.
Таким образом, нашей задачей является нахождение безуслов ных моментов pretext-оценки, принимая во внимание то, что про цедуры выбора модели и оценки параметров интегрированы в од ну процедуру. Мы не утверждаем, что следует избегать предвари тельного тестирования, хотя хорошо известно, что pretest-оценки обладают плохими статистическими свойствами, одно из которых
— равномерная неэффективность2. На практике избежать пред варительного тестирования почти невозможно. Наша точка зре ния состоит в том, что следует вычислять корректно смещение и дисперсию (или среднеквадратичное отклонение) оценки, полно стью принимая во внимание то, что оценивание и отбор модели интегрированы в одну процедуру.
гОцснка параметра называется равномерно неэффективной, если суще ствует другая оценка, равномерно лучшая данной во всем диапазоне возмож ных значепий параметра (например, в смысле меньшего среднеквадратичного отклонения).
400 |
Гл. 14. Предварительное тестирование: введение |
14.2.Постановка задачи
Вдальнейшем в данной главе мы будем рассматривать линейную модель множественной регресии (см. п. 3.1)
у = Х@ + Z-y + е, |
(14.1) |
где у — (п х 1) вектор наблюдений зависимой переменной, X и Z
— матрицы неслучайных регрессоров размеров (п х к) и (п х т) соответственно, е — (п х 1) вектор ошибок и /3 и 7 — векторы неизвестных (неслучайных) параметров размеров (1 х 1) и ( т х 1) соответственно. Мы предполагаем, что к ^ 1, m > 1, п —к —т > 1, блочная матрица [X Z] имеет полный ранг к + т , и ошибки яв ляются независимыми нормальными одинаково распределенными случайными величинами: е ~ Щ 0,*21п).
Это обычная формулировка стандартной лилейной модели с нормальными ошибками, за исключением того, что мы теперь де лаем различие между регрессорами X и Z. В (почти) каждой модели есть регрессоры, которые должны быть включены в мо дель. Этому может быть несколько причин. Например, это сле дует' из экономической теории или из предыдущего опыта, воз можно, наши коллеги сочтут модель неприемлемой, если в нее не будут включены данные регрессоры, возможно, это как раз те ре грессоры, влияние которых на у мы и хотим изучить. Все такие регрессоры называются основными регрессорами (представляю щими «фокус» интереса) и включаются в набор регрессоров X . Таким образом, регрессоры включаются в модель независимо от полученных значений t-статистик, соответствующих оценкам па раметров /3.
G другой стороны, матрица Z содержит дополнительные объ ясняющие переменные («вспомогательные» регрессоры), в необхо димости включения которых в модель мы не столь уверены. Они могут быть включены в модель или могут отсутствовать в моде ли. Нашей целью является оценка параметров /3. Переменные Z необходимы только для того, чтобы улучшить оценки параметров /3, в то время как 7 является вектором вспомогательных (излиш них, необязательных (nuisance)) параметров.