книги / Эконометрика. Начальный курс

Эта дисперсия оценивается стандартным образом по остаткам межгрупповой регрессии:

Таким образом, в модели со случайным эффектом удается реали­ зовать доступный обобщенный метод наименьших квадратов.

Формула (13.28) дает несмещенную и состоятельную оценку дисперсии в\. Однако на практике, когда объем выборки невелик, может так случиться, что эта оценка окажется отрицательной. В этих ситуациях нужно использовать другие оценки дисперсии описание которых выходит за рамки данной книги. Подробнее об этом можно прочесть в книге (Greene, 1997, глава 14.4).

Пример. Оценка производственной функции российских предприятий топливно-энергетической отрасли. Продол­ жение 1 (см. начало н. 13.3, стр. 366).

Оценка производственной функции Кобба-Дугласа для пред­ приятий топливно-энергетической отрасли в модели со случайным эффектом приводит к следующим результатам:

Как и раньше, оценки эластичностей получились значимыми и согласующимися со здравым смыслом. По сравнению с оценка­ ми, полученными в модели объединенной регрессии и в модели со случайным эффектом, они занимают промежуточное положение между первыми и вторыми.

Подведем кратко итоги.

При наличии панельных данных возникает несколько оценок вектора коэффициентов /3:

1)МНК-оценка в обычной модели регрессии (13.1).

2)Внутригрупповая оценка — оценка в регрессии, которая опе­ рирует с отклонениями исходных данных от средних по вре­ мени для каждой экономической единицы. Эта же оценка называется оценкой с фиксированным эффектом (13.9).

3)Межгрупповая оценка — оценка в регрессии индивидуаль­ ных средних по времени (13.21).

4)Оценка со случайным эффектом — оценка, полученная при­ менением обобщенного метода наименьших квадратов в мо­ дели (13.14).

При этом как оценка Эо1£>так и оценка PQLS являются сред­ невзвешенными внутри- и межгрупповой оценок (каждая, есте­ ственно, со своей весовой матрицей).

1 3 .5 . К ач еств о п од гон к и

Для стандартных моделей регрессии качество подгонки (при усло­ вии, что среди регрессоров есть константа) обычно измеряет коэф­ фициент детерминации Я2 или скорректированный коэффициент детерминации Л2^. Напомним, что коэффициент детерминации интерпретируется как доля объясненной вариации зависимой пе­ ременной. Для моделей с панельными данными это понятие тре­ бует уточнения и модификации. Во-первых, внутригрупповая и межгрупповая модели имеют дело с разными вариациями зави­ симой переменной. Во-вторых, модель со случайным эффектом оценивается с помощью обобщенного метода наименьших квадра­ тов, для которого коэффициент детерминации вообще не является адекватной мерой качества подгонки.

Один из возможных подходов основывается па том факте, что для стандартной линейной модели регрессии коэффициент детер­ минации Я2 совпадает с квадратом выборочного коэффициента

больше соответствующего объединенного коэффициента для вто­ рого метода, даже если более адекватным является использование случайного эффекта. Тем не менее коэффициенты детерминации можно применять для сравнения моделей, отличающихся набором регрессоров и оцениваемых одним и тем же методом.

13.6.Выбор модели

Фиксированный или случайный эффект?

При работе с реальными панельными данными всегда возни­ кает проблема, какую модель (обычная регрессия, фиксирован­ ный или случайный эффект) следует выбрать. На содержатель­ ном уровне разницу между моделями можно интерпретировать следующим образом. Обычная модель предполагает, что у эко­ номических единиц нет индивидуальных различий, и в некото­ рых простых ситуациях такое предположение оправданно. В мо­ дели с фиксированным эффектом считается, что каждая эко­ номическая единица «уникальна» и не может рассматриваться как результат случайного выбора из некоторой генеральной со­ вокупности. Такой подход вполне справедлив, когда речь идет о странах, крупных регионах, отраслях промышленности, боль­ ших предприятиях. Вели же объекты попали в панель «случай­ но» в результате выборки из большой совокупности, то прием­ лемой является модель со случайным эффектом. Примером мо­ гут служить небольшие фирмы, домашние хозяйства, индивиду­ умы. Следует, однако, подчеркнуть, что и в подобных ситуаци­ ях (особенно для небольшого числа экономических единиц) мо­ жет возникнуть вопрос о наличии индивидуальных различий, и тогда модель с фиксированным эффектом представляется более предпочтительной.

Сделаем еще одно важное замечание. Модель со случайным эффектом предполагает, что ошибки а» некоррелированы с ре­ грессорами хц , т.е. индивидуальный эффект не связан с объ­ ясняющими переменными Xjt. Это условие выполняется далеко не всегда, даже для выборок из большой совокупности. Так, в

376 Гл. 13. Панельные данные

приведенном выше примере оценивания производственной функ­ ции (уравнение (13.5)) индивидуальный эффект, связанный с ка­ чеством управления, коррелирует с производственными факто­ рами Xjt: при прочих равных условиях на предприятии с бо­ лее высоким качеством управления производственные издерж­ ки ниже. В некоторых учебниках по панельным данным имен­ но наличие или отсутствие корреляции между индивидуаль­ ным эффектом и регрессорами Xjt рассматривается как клю­ чевое различие между моделями с фиксированным и случай­ ным эффектами (см., например, (Johnston and DiNardo, 1997), (Hsiao, 1986)).

Заметим, что независимо от того, коррелировалы индивиду­ альные эффекты с другими объясняющими переменными или нет, оценки с фиксированным эффектом являются несмещенными и состоятельными. Поэтому в любой ситуации модель с фиксиро­ ванным эффектом дает приемлемые оценки. Однако при отсут­ ствии корреляции эти оценки будут неэффективными, что может быть весьма важным при выборках небольшого объема. В то же время, если в модели присутствует фиксированный эффект, то оценки с помощью случайного эффекта будут несостоятельными. Таким образом, качество оценок существенно зависит от правиль­ ной спецификации модели.

Подробнее о выборе моделей с фиксированным или случай­ ным эффектом можно прочесть в книге (Searle, Casella, McCul­ loch, 1992).

На практике оценивание с помощью разных моделей часто приводит к существенно разным результатам.

Статистические тесты

Помимо содержательных соображений существуют статистиче­ ские тесты, позволяющие частично решать проблему выбора мо­ дели с помощью стандартной техники проверки гипотез. В рас­ смотренных выше моделях существует определенная иерархия:

1) обычная модель регрессии (13.2) есть частный случай моде­ ли с фиксированным эффектом (13.3), когда в последней а» = О, * = 1 > - о п ;

Как обычно, если LM > Хв(1)» то гипотеза Но отвергается при уровне значимости а, где Хв(1) — «-процентная точка распреде­ ления хи-квадрат с одной степенью свободы.

В нашем примере результаты этого теста выглядят так:

Breusch and Pagan LM-test for random effects: HQ: Var(tt) = 0

X2 ( l ) _________ 6504.28_________ Probability_________ 0.0000

Вновь видим, что модель простой объединенной регрессии в данном случае уверенно отвергается в пользу модели со случай­ ным эффектом.

3. Случайный эффект против фиксированного эффекта. В мо­ дели со случайным эффектом предполагается, что индивидуаль­ ные эффекты не коррелируют с остальными объясняющими пе­ ременными. Таким образом, необходимо проверить гипотезу Но: Cov(aj,*jt) = 0. Альтернативная гипотеза состоит в том, что эта ковариация отлична от нуля.

Для проверки подобных гипотез обычно используется тест Хаусмана (Hausman, 1978), о котором уже шла речь в главе 8. Этот тест основан на сравнении оценок параметров /3, получен­ ных в основной и альтернативной моделях. Как уже говорилось выше, при нулевой гипотезе оценка со случайным эффектом состоятельна и эффективна, а при альтернативной гипотезе не состоятельна. Оценка с фиксированным эффектом Дод состоя­ тельна как при нулевой, так и при альтернативной гипотезах. Содержательный смысл теста Хаусмана состоит в том, что при нулевой гипотезе оценки /3RE и /3ЕЕ не должны сильно отли­ чаться, а если справедлива альтернативная гипотеза, то различие должно быть существенным. Чтобы понять, велика ли разница /3рв —Дшз между^оценками, требуется знание ковариационной матрицы V(/3FE —/Зод) этой разности. Можно показать, что при выполнении пулевой гипотезы из эффективности оценки /3ЕЕ сле­ дует (асимптотическое) равенство

V(3FE _ 3 RE) = V(3FE) ~ V(/3aE).

Таким образом, статистика

О/ = (3FE ~ 3 RE)'(V(3KB) ~ V(0RE))-1 ifiFE ~ £ RE) (13.32)

при нулевой гипотезе имеет асимптотически хи-квадрат распреде­ ление с к степенями свободы, где V(/3FE), V(/3RB) — оценки соот­ ветствующих ковариационных матриц, а к — размерность вектора /3 (ср. с разделом 8.4).

Применяя тест Хаусмана в нашем примере оценки производ­ ственной функции, получаем следующие результаты:

Таким образом, тест Хаусмана отвергает гипотезу о случайных эффектах в пользу гипотезы о наличии фиксированных индиви­ дуальных эффектов.

При практической реализации теста Хаусмана может возник­ нуть трудность, связанная с тем, что матрица V(/3FE) —V(/3RE) не обязательно является положительно определенной, что может привести к проблемам при ее обращении. В подобной ситуации можно пытаться применять тест Хаусмана лишь к части компо­ нент вектора /3.

В современных эконометрических компьютерных пакетах, как правило, реализованы процедуры работы с панельными данными и оценивание моделей по объединенным данным, с фиксирован­ ным или случайным эффектом. Отметим, в частности, уже упо­ минавшийся выше пакет STATA, где также можно легко осуще­ ствлять тест Хаусмана.

13.7.Динамические модели

Впредыдущих разделах мы достаточно подробно рассмотрели статические модели с панельными данными. Следующий есте­ ственный шаг — это изучение динамических моделей, основанных

на панельных данных, которые, образно говоря, позволяют иссле­ довать динамику «на индивидуальном уровне». Как будет показа­ но ниже, оценвание этих моделей является более сложной задачей по сравнению со статическими моделями, поэтому мы ограничим­ ся в этой книге постановкой задачи и кратким описанием способов ее решения.

Простейшая модель авторегрессии с панельными данными

Наиболее простую динамическую модель, которая является есте­ ственным обобщением рассмотренных выше статических моделей и учитывает индивидуальный эффект, можно получить, добавляя в правую часть уравнения (13.3) датированное значение зависи­ мой переменной:

Уй = <*» + + 7Уй-1 + £#• (13.33)

Формально эта модель выглядит почти так же, как и рассмот­ ренные выше статические модели. Поэтому на первый взгляд ка­ жется, что можно использовать те же подходы, что и раньше, и пытаться оценивать эту модель, делал выбор между фиксирован­ ным и случайным эффектами. Однако в данном случае очевидно, что переменные уи -1 и а, коррелировали независимо от природы индивидуального эффекта ац. Чтобы продемонстрировать возни­ кающие здесь новые проблемы, достаточно рассмотреть простей­ шую авторегрессионную модель без экзогенных переменных хц:

где, как и раньше, у^Уг-\ — соответствующие внутригруппо­

вые средние: у,- = (1/Т) Y j =l уи, Vi-i = (1/Л ££=i Уй-i- Тогда нетрудно заметить, что в уравнении (13.35) регрессоры Уй- 1~У|,-1