книги / Эконометрика. Начальный курс
.pdf14.12. Обобщения |
431 |
Поскольку матрица W является взвешенным средним конечного числа идемпотентных матриц и V{fj) — 1т, то матрица V{W rj) ограничена при п оо (см. упражнение 14.5). Следовательно, оценка 0 является состоятельной, если п~ (Е {Wrj - rj)) -* О, или, что эквивалентно, если Е ( W y —7 ) —» О.
Следуя работе (Potscher, 1991, стр. 164), назовем процедуру предварительного выбора модели (pretest-процедуру) строго со стоятельной, если при увеличении количества наблюдений вы бирается правильная «минимальная» модель. В общем случае pretest-процедуры не являются строго состоятельными. Назовем pretest-процедуру слабо состоятельной, если для любого 7» Ф О (i = 1, . . . , т) вероятность того, что в результате процедуры будет выбрана модель без л> стремится к 0 при п —♦ оо. Слабо состоя тельная процедура ие обязательно исключает из модели л в том случае, когда истинное значение л = 0. Поэтому в результате мы можем получить модель, которая включает больше переменных, чем необходимо, но никогда не получим модель, в которую не включены необходимые переменные. Все соответствующие здра вому смыслу pretest-процедуры являются слабо состоятельными. Легко показать, что слабо состоятельные процедуры приводят к состоятельным оценкам (Potscher 1991, лемма 2). Пусть для про стоты т = 1. Если 7 = 0, то обе оценки 0 Г и 0 и являются несме щенными и состоятельными, а следовательно, и их взвешенное
А |
«»*ч |
среднее 0 |
= \ 0 и+( 1—А)/Зг также является состоятельной оценкой |
при любом А. Если 7 ф 0, то оценка 0 и состоятельная, а оценка 0 Т не является состоятельной. Поскольку, однако, процедура являет ся слабо состоятельной, то plimA = 1 и, следовательно, оценка 0 является состоятельной.
При условии состоятельности матрица ковариаций асимптоти ческого распределения величины п 1^2(0 - 0) получается из пре дела V{W?j) при п -* оо. Рассмотрим случай m = 1. Если 7 ^ 0 , то А -£ -» 1 и V(A»7) -+ V(»7) = 1. В э то м случае распределение слу чайной величины Xrj — г) сходится к стандартному нормальному. Если же 7 = 0, то rj ~ N(0,1), и, следовательно, при с = 1.96 ве личина А принимает значение 1 с вероятностью 0.05, а значение 0
432 |
Гл. 14. Предварительное тестирование: иведение |
с вероятностью 0.95, и V(Afj) = 0.28 (см. рис. 14.1). В этом случае \r j-r j сходится к распределению с нулевым средним и дисперсией 0.28, которое, однако, не является нормальным.
Итак, эффект «занижения» может встретиться даже в асим птотическом случае. При т = 1 эффект «занижения» исчезает асимптотически при 7 ^ 0 . Однако при 7 = 0 эффект «зани жения» не исчезает при увеличении количества наблюдений и ожидаемое значение коэффициента «занижения» может дости гать значения (Д(0) —0.05)/Я(0) = 0.82.
14.13.Другие вопросы
Многие вопросы нс были рассмотрены в данной главе. Приведем список некоторых из них:
1) Существуют процедуры предварительного выбора моделей, от личные от рассмотренных «от общего к частному» и «от частно го к общему». Как ведет себя ожидаемое значение коэффициента «занижения» E(UR) для этих процедур?
2)Все обычно используемые preiesJ-процедуры дискретные; они выбирают одну из 2т моделей, основываясь па анализе t- и F- статистик. Можно определить также и непрерывную процедуру. Результат теоремы 14.2 верен и для таких процедур, и, возмож но, они приведут к оценкам с лучшими свойствами. Первый шаг в этом направлении сделан в работе (Magnus, 2002).
3)Ожидаемое значение коэффициента «занижения» E(UR) зави сит от неизвестного параметра TJ. Каков наилучший способ оцен ки значения коэффициента «занижения»? Самый простой способ
— заменить TJ на г). Необходимо проанализировать свойства та кой оценки. Другая идея — рассмотреть наихудший случай при наблюденных значениях у, X и Z, т. е. вычислить maxt;E(UR). Например, на рис. 14.7 и 14.8 максимумы равны 0.6551 (в случае «от общего к частному») и 0.8798 (в случае «от частного к обще му»). Это дает представление о том, насколько серьезной может быть проблема «занижения» в конкретной ситуации.
14.13. Другие вопросы |
433 |
Несмотря на эти все еще не решенные проблемы, можно тем не менее ответить на несколько вопросов. Во-первых, вопрос, по ставленный в начале данной главы: мал или велик эффект игно рирования процедуры предварительного тестирования? Эффект может быть исключительно большим и сильно зависит от выбран ной процедуры предварительного тестирования. Во-вторых, мож но ли что-нибудь сделать с этой проблемой? Да, методы, развитые в данной главе, могут применяться на практике. Это не означав!', что мы перестаем пользоваться процедурами предварительного отбора моделей. Мы просто должны правильным способом при нимать во внимание эффект процедуры предварительного тести рования. В-третьих, существует ли альтернатива этой непривле кательной pretest-оценке? Да, представленные теоремы примени мы к более общей WALS-оценке, в которой весовые коэффици енты Ai являются гладкими функциями, а не принимают только два значения 0 и 1. Важным вопросом становится задача выбора этих функций. В работах (Magnus, 2002) и (Danilov, 2002) сделан первый шаг в данном направлении, разработаны так называемые «весовые коэффициенты Лапласа».
Обзор литературы
Первой работой о процедуре предварительного тестирования, воз можно, является (Bancroft, 1944). В эконометрике процедуры предварительного тестирования изучались в работах Judge и его соавторов, например в (Judge and Bock, 1978). Более поздние обзо ры содержатся в работах (Giles and Giles, 1993) и (Magnus, 1999).
Теорема эквивалентности впервые была доказана в работе (Magnus and Durbin, 1999). В работе (Danilov and Magnus, 2002) эта теорема была обобщена и рассмотрены теоретические аспек ты игнорирования процедуры предварительного тестирования. В работе (Danilov and Magnus, 2003) было рассмотрено влияние про цедуры предварительного тестирования на прогноз и рассмотре ны прикладные аспекты. В работах (Magnus, 2002) и (Danilov, 2002) рассмотрен вопрос об альтернативах процедуре предвари-
434 Гл. 14. Предварительное тестирование: введение
телыюго отбора, введены и изучены «весовые функции Лапласа». Асимптотические свойства pretest-оценок рассмотрены в работе (Potscher, 1991).
Данная глава основана в большей части на работах (Danilov and Magnus, 2002, 2003).
Упражнения
14.1.Покажите, что /Зг и В независимы.
14.2.Докажите теорему 14.1, используя следующие шаги.
а) Пусть X, = [X Z], = [0 7 '] л Я = [О SJ], Покажите, что МНК-оценка параметра Р. в модели у = Х ,0 , + е при ограниче нии R (5 , = 0 задается следующей формулой:
з. = (х:х.)-'х:У
-{ Х : Х . Г 1В Ц Щ Х : Х . Г 1# Г 1Щ Х ,лХ . Г 1Х ,ау.
б) Покажите, что
Г (Х 'Х Г 1 + QQ' |
-Q (Z 'M Z )-V 2] |
[ -{Z 'M Z rW Q ' |
{Z'M Z)~l J • |
в) Упростите и получите остальные результаты теоремы 14.1.
14.3.Покажите, что в случае 17 = 1 исследователю безразлично, какую из двух моделей выбрать (с ограничением или без ограничения).
14.4.Покажите, что не любой выбор функции А приводит к естествен ной процедуре.
14.5.Покажите, что матрица \f{Wrj) ограничена при п - » оо.
14.6.Выведите плотность распределения At) — 17 при условии rf = 0, то есть 7 = 0 .
436 |
Гл. 15. Эконометрика финансовых рынков |
Структура данной главы следующая. Во введении мы вводим необходимые в дальнейшем обозначения. Во втором разделе рас сматривается гипотеза эффективности рынка, возможность про гноза цен финансовых активов. В третьем разделе кратко излага ется теория Марковица оптимального формирования портфеля, в четвертом и пятом разделах приводится методика тестирования необходимости включения дополнительного актива в эффектив ный портфель, при отсутствии и наличии безрискового актива соответственно. В последнем, шестом, разделе рассматриваются модели формирования цен финансовых активов (assets) и в ка честве примера приведен тест эффективности управления взаим ными фондами.
15.1.Введение
Мы будем рассматривать модели с дискретным временем. Пусть Pt — цена актива (акции, облигации) в момент t. Доходностью актива за один период времени (день, неделю, месяц, год) назы вается отношение дохода от владения активом Pt+i — Pi к его начальной стоимости
Rt+i = Pt+i —Pt Pt
Часто для удобства вычислений рассматривают «ставку непре рывных процентов», или «логарифмическую доходность»
1 Pt+ 1 |
- |
Pt, |
rt+1 = In - 5 - = pt+1 |
||
г t |
|
|
где pt — логарифм цены, pt. — In Pt. Для коротких периодов времени |i?t| 1, и поэтому простая доходность приблизительно совпа дает с логарифмической: rt = ln(l + Rt) « Pt- Логарифмическая доходность удобна для вычисления доходности за п периодов:
rt+n,n = In t+n |
‘ H-n |
Pt+n- 1 |
Pt±Л |
|
Pt+n—1 |
Pt+n-2 |
' Pt ) |
= rt+n + »*t+n-l -I------ 1- 1*4+1-
Простые доходности более удобны для вычисления доходности портфеля ценных бумаг. Пусть портфель состоит из п активов,
440 |
|
Гл. 15Эконометрика финансовых рынков |
||
|
|
|
|
Таблица 15.1 |
Dependent Variable: RRTS____________________________________ |
||||
Variable |
Coefficient |
Std.Error |
t-Statistic |
Probability |
const |
0.001728 |
0.001016 |
1.701080 |
0.0893 |
R R TS(-l) |
0.103753 |
0.034711 |
2.989094 |
0.0029 |
R-squared |
0.010766 |
Mean dependent var |
0.001928 |
S.E. of regression |
0.029073 |
S.D. dependent var |
0.029213 |
Sum squared resid |
0.693954 |
Akaike info criterion |
—4.235568 |
Log likelihood______ 1744.936 |
Schwarz criterion______ -4.224115 |
||
Таким образом, коэффициент 0 значимо отличается от нуля и гипотеза о случайном блуждании отклоняется. Конечно, надо провести более аккуратно процедуру оценивания уравнения. Тест Уайта (см. п. 6.1) показывает наличие гетероскедастичности в мо дели (15.2). В таблице 15.2 приведены стандартные ошибки в фор ме Уайта.
Dependent Variable.- RUTS |
|
|
Таблица 15.2 |
|
|
|
|
||
Variable |
Coefficient |
Std.Error |
t-Statistic |
Probability |
const |
0.001728 |
0.001026 |
1.683112 |
0.0927 |
R R TS{-1) |
0.103753 |
0.043025 |
2.411490 |
0.0161 |
LM-тест выявляет наличие в уравнении GARCH-эффекта. В таблице 15.3 приведены результаты оценивания уравнения (15.2) с GARCH(1,1) моделью ошибок (см. п. 11.5) По-прежнему коэф фициент 0 значимо отличается от нуля и гипотеза о случайном блуждании отклоняется.
Итак, мы получили, что однодневная доходность индекса РТС прогнозируема. Однако отсюда нельзя сделать вывод, что рынок акций российских предприятий не является эффективным. Дело в том, что одним из оснований современной теории финансовых рынков является необходимость баланса между ожидаемой доход ностью и риском. Бели инвестор берет на себя дополнительный риск, он «вознаграждается». Поэтому ответить на вопрос о том, указывает ли прогнозируемость доходности актива на неэффек тивность рынка, можно только после сравнения средней доходно