книги / Эконометрика. Начальный курс

которая, по существу, не учитывает панельную структуру дан­ ных. При этом предполагается, что все ошибки £ц некоррелированы между собой как по г, так и по г, и некоррелированы со все­ ми объясняющими переменными хц. В эконометрической литера­ туре эта модель носит название объединенной модели регрессии (pooled model). При выполнении сформулированных выше предпо­ ложений обычные МНК-оценки /?OLS являются состоятельными и эффективными.

Как уже говорилось, панельные данные позволяют учиты­ вать индивидуальные различия между экономическими единица­ ми. Одна из возможных реализаций этой идеи выглядит следую­ щим образом:

где величина од выражает индивидуальный эффект объекта г, не зависящий от времени t, при этом регрессоры хц не содержат константу.

Приведем здесь еще один пример, когда учет индивидуального эффекта позволяет получить более адекватные выводы. Тради­ ционный подход к задаче оценивания производственной функции состоит в оценке уравнения

где уи — логарифм выпуска, а ^-мерный вектор x'it составлен из логарифмов производственных факторов. Однако для получения более правильного представления о производственной функции (особенно для небольших фирм) целесообразно учесть качество

362 Гл 13. Панельные данные

управления, включив его в число факторов производства, т. с. рас­ смотреть модель

где ф обозначает качество управления. Баш эта переменная явля­ ется существенной, то МНК-оценки модели (13.4) являются сме­ щенными. Однако величина не наблюдаема, поэтому качество управления можно учесть лишь как индивидуальный эффект в виде (13.3). Этот прием не позволяет оценить параметр /?*+1, поскольку в модели (13.5) он не идентифицируем, но позволяет уменьшить смещение оценок параметров /3.

В зависимости от предположений относительно характера ве­ личины оч рассматриваются две модели.

Модель с фиксированным эффектом {fixed effect model)-, пред­ полагается, что в уравнении (13.3) величины ац являются неиз­ вестными параметрами.

Модель со случайным эффектом {random effect model): пред­ полагается, что в уравнении (13.3) ац = ц + щ , где ц — параметр, общий для всех единиц во все моменты времени, а щ — ошибки, некоррелированные с £ц и некоррелированные при разных г.

Задача выбора модели в каждом конкретном случае решается индивидуально. Ниже мы более подробно обсудим эту проблему.

13.3.Модель с фиксированным эффектом

Модель с фиксированным эффектом (fixed effect model) описыва­ ется уравнением (13.3), в котором переменные являются неиз­ вестными параметрами. Предположим, что выполнены аюдующие условия:

1)ошибки £ц пекоррелированы между собой по г и г, Е(е«) = 0, V(eit) = о\-

2)ошибки £а некоррелировапы с регрессорами Xjt при всех iyj,t.,s.

Если ввести фиктивные переменные для каждой экономиче­ ской единицы: ф, = 1, если г = j, и dij = 0, ваш г ф j, то

уравнение (13.3) может быть переписано в более привычном виде линейной регрессии

j= 1

Бели объединить все фиктивные переменные в одну большую матрицу

где вектор гт = (1,..., 1); имеет размерность Т, а 1п — единич­ ная матрица размера п, и обозначить а = [ а ь ... , ап]7, уравнение (13.6) можно по аналогии с уравнением (13.2) переписать в сле­ дующей матричной форме:

Это соотношение можно рассматривать как стандартную модель регрессии и получать оценки параметров а , /3 с помощью обыч­ ного метода наименьших квадратов. При выполнении сделанных выше предположений 1)-3) относительно модели МНК-оценки будут несмещенными и эффективными. Эти оценки называют­ ся МНК-оцеиками с фиктивными переменными (Least Squares Dummy Variable estimator, LSDV). Следует более подробно оста­ новиться на вопросе о состоятельности этих оценок. В панельных данных рост числа наблюдений может происходить как за счет увеличения количества экономических единиц п, так и за счет увеличения длительности наблюдений Т. В первом случае проис­ ходит рост числа оцениваемых параметров (напомним, что необ­ ходимо оценить п параметров а и к параметров /3), и гаранти­ ровать состоятельность, по крайней мере для оценок параметров а , нельзя. Во втором случае МНК-оценки состоятельны, но боль­ шие временные интервалы при небольшом числе экономических единиц в панельных данных встречаются редко.

При реализации этого метода могут возникнуть трудности. Во многих панельных данных число экономических единиц п обычно достаточно велико (несколько сотен или тысяч). Поэтому, приме­ няя непосредственно метод наименьших квадратов к уравнению (13.7), при оценивании параметров можно столкнуться с вычис­ лительными проблемами. К счастью, их можно преодолеть, если интересоваться только оценками параметров /3. Перейдем в урав­ нении (13.3) к средним по времени величинам:

По существу, это — уравнение (13.3), записанное в отклонениях от индивидуальных средних по времени. В матричной форме со­ отношение (13.9) может быть записано так:

где М о — InT — D (D 'D )~1D >— матрица, осуществляющая вычисление отклонений от индивидуальных средних. Это преоб­ разование называется внутригрупповым преобразованием (within transformation). Применяя обычный метод наименьших квадратов к уравнению (13.9) (или к уравнению (13.10)), мы получим оценки

совпадающие с МНК-оценками параметров /3 в исходном урав­ нении (13.7), т.е. с МНК-оценками с фиктивными переменными (см. упражнение 4.3). Эти оценки также называются внутригруп­ повыми оценками (within estimator) или оценками с фиксирован­ ным эффектом (fixed effect estimator): /3 = /?w = /?FB- Их можно представить также в следующем виде:

Условия 1)-2), наложенные на модель, гарантируют несмещен­ ность и состоятельность оценок с фиксированным эффектом.

Вкачестве оценок индивидуальных эффектов можно взять

=yt —®^/ЗрЕ, г = 1 ,... ,п. Эти оценки, как легко проверить, являются несмещенными и состоятельными для фиксированного

ппри t -* оо.

Из формулы (13.11) легко вытекает выражение для матрицы ковариаций оценки /Зрр:

V(3PE) = <T2e(X’M DX)~l

(13.12)

Как и в обычной линейной модели, в качестве оценки диспер­ сии а* можно взять сумму квадратов остатков регрессии (13.9) (или (13.10)), деленную на число степеней свободы:

При достаточно слабых условиях регулярности оценки с фик­ сированным эффектом являются асимптотически нормальными (при п -* оо или при Т —» оо), поэтому можно пользоваться стан­ дартными процедурами (<-тесты, F -тесты) для проверки гипотез относительно параметров /3.

Сделаем одно важное замечайте. В панельных датных среди независимых переменных хц могут быть такие, которые не ме­ няются во времени для к81ждой экономической единицы. Налример, при анализе заработной платы в число объясняющих факто­ ров, как правило, включают пол и/или расовую принадлежность индивидуума. Модель с фиксированным эффектом не позволяет идентифицировать соответствующие таким переменным коэффи­ циенты. Формально это объясняется тем, что в урашнении (13.9) один или несколько регрессоров равны нулю (или, что эквивалент­ но, матрица IP X ) в уравнении (13.7) имеет неполный ранг), и, следовательно, применять метод наименьших квадратов нельзя.

Бели говорить менее формально, то инвариантный во времени фактор является, по существу, частью полного индивидуального эффекта, и выделить влияние только этого фактора нельзя.

Рассмотрим пример оценивания производственной функции российских предприятий топливно-энергетической отрасли. Дан­ ные собраны и обработаны сотрудницей Центра экономических и финансовых разработок (ЦЭФИР) Б. А. Бессоновой.

Пример. Оценка производственной функции российских предприятий топливно-энергетической отрасли. Данные содержат информацию о выпуске, трудозатратах, капитальных вложениях и о некоторых других факторах для 48466 предпри­ ятий за период 1993-2000 гг. Из них 1020 относятся к топливноэнергетической отрасли. Попробуем ответить на вопрос, можно ли моделировать работу этих предприятий с помощью производствен­ ной функции Кобба-Дугласа Q = АКа[ /, где Q —выпуск, К — капиталовложения, L —трудозатраты, А —константа. Для этого попытаемся оценить эластичности а, /9 с помощью простой (объ­ единенной) регрессии и на основе модели с фиксированным эф­ фектом.

Приводимые далее результаты получены с помощью пакета STATA. Поэтому форма их представления во многом копирует тот формат, в котором они выдаются этим пакетом.

1. Простая (объединенная) регрессия. Для оценки эластич­

Результаты этой регрессии позволяют считать предположение о том, что производственная функция имеет вид функции КоббаДугласа, вполне правдоподобным: оценки получились значимыми, и каждая из эластичностей меньше 1. Однако вполне возможно,

что если будут учтены индивидуальные эффекты, то оценки могут существенно измениться.

2. Регрессия с фиксированным эффектом.

Dependent Variable-. InQ__________________

Р0.890154 (fraction of variance due to <*i)

F-test that all at = 0; F(2402,6013) = 17.62 Prob > F = 0.0000

Мы видим, что результаты последней регрессии отличаются от первой: оценки эластичностей как по труду, так и по капита­ лу уменьшились. Забегая немного вперед, следует отметить, что F-тест в данном случае отвергает нулевую гипотезу об отсутствии индивидуальных эффектов (последняя строка таблицы). Иными словами, модель с фиксированным эффектом выглядит более при­ емлемой по сравнению с моделью объединенной регрессии.

13.4.Модель со случайным эффектом

Модель со случайным эффектом (random effect model) описыва­ ется уравнением

где /х — константа, а щ — случайная ошибка, инвариантная по времени для каждой экономической единицы. Иными словами, в модели со случайным эффектом предполагается, что индивиду­ альные отличия носят случайный характер. Будем считать, что выполнены следующие условия:

j, t, s ;

3) ошибки щ некоррелированы, Е(гц) = 0, У(гц) = <т£;

торую специальную структуру.

Следуя обозначениям раздела 13.2, можно переписать уравне­

(13.16) применить обычный метод наименьших квадратов. Усло­ вия 1)—3) гарантируют несмещенность и состоятельность этих оце­ нок. Однако ошибки в (13.16) не являются гомоскедастичными, поэтому для построения эффективных оценок можно воспользо­ ваться обобщенным методом наименьших квадратов (см. п. 5.2).

О0 ... £

Всоответствии с формулой (5.4) для построения ОМНКоцснок параметров /х, /3 необходимо обратить матрицу £ . С по­

Согласно одному из свойств произведений Кронексра (прило­ жение ЛА, п. 18) имеем О -1 = J n <g>E-1. В силу формулы (5.4) получаем

(13.20) Равенства (13.18), (13.20) в принципе решают проблему оцени­ вания параметров ц, (3 обобщенным методом наименьших квад­ ратов и соответствующие оценки называются оценками со случай­ ным эффектом (random effect): fiats = /3RE- Однако с помощью рутинных вычислений, которые мы оставляем читателю в каче­ стве упражнения, можно получить более наглядное представле­

ние об оценках /Звд.

Ранее (п. 13.3) мы ввели понятие внутригрупповых оценок, пе­ рейдя от исходной регрессии (13.3) к регрессии в отклонениях от внутригрупповых средних (13.9). Преобразуем теперь уравнение (13.14), взяв средние значения по времени для каждой экономи­ ческой единицы:

Оценки, которые получаются применением к уравнению (13.21) обычного метода наименьших квадратов, называются межгруп­ повыми оценками (between estimator): fi = /Зв . Эти оценки, как нетрудно проверить, являются несмещенными и состоятельными

при п —» оо, но неэффективными. Так же, как в разделе 13.3, мож­ но в уравнении (13.21) перейти к отклонениям уже от глобальных средних и представить межгрупповые оценки в следующем виде:

где

— глобальные средние зависимой и независимых переменных. Детальный анализ формулы (13.20) с использованием обраще­

ния блочных матриц, структуры матрицы Е -1 и равенств (13.17), (13.18) позволяет' получить следующее представление для оценки со случайным эффектом:

можно вычислить в явном виде и которая пропорциональна мат­ рице, обратной матрице ковариаций оценки /Зв (подробнее см. (Hsiao, 1986)).

Таким образом, оценка со случайным эффектом является средневзвешенной внутри- и межгрупповой оценок. Можно так­ же проверить, что оценка /3QLS. полученная в обычной линейной модели (уравнение (13.2)), также может быть представлена как средневзвешенное внутри- и межгрупповой оценок (см. упражне­ ние 13.3).

Напомним, что если Р — такая матрица, что Р 'Р = Е -1, то умножая обе части исходного уравнения (13.16) на матрицу Р <g>Е -1 и применяя к преобразованной системе обычный метод наименьших квадратов, можно получить оценки обобщенного ме­ тода наименьших квадратов, т. е. оценки /3RB (с м . п . 5.2). Можно