и ошибки eit—'Siкоррелировали, что, как известно, может приве сти к смещенности и несостоятельности МНК-оценок. Оказывает ся, в данном случае МНК-оценка параметра 7 (оценка с фиксиро ванным эффектом) является несостоятельной при п —>оо и при фиксированном Т: можно показать (Hsiao, 1986; Verbeek, 2000), что
plim — TFE
£
( Г - 1 ) - Г 7 + 7Г
(13.36)
7 T2 '
( 1 - 7 )2
n —*00 til
Таким образом, в данном случае внутригрупповое преобразование в отличие от статических моделей не позволяет получить состоя тельную оценку параметра 7 .
Как известно (см. гл. 8), при наличии корреляции между ошибками и объясняющими переменными состоятельные оценки параметров в уравнении регрессии можно получить с помощью метода инструментальных переменных. Одна из возможных его реализаций в данном случае выглядит так. Перейдем в уравне
нии (13.35) к первым разностям:
Уи - Уи- 1 = 7(Pit-i - ?/*t—2) + (e*t - e»t-i),
(13.37)
исключая тем самым индивидуальный эффект оц. В этом урав нении регрессоры и ошибки коррелировали, поскольку коррели рованными, очевидно, являются уи -\и £ц-\-В качестве инстру ментальных переменных можно взять, например, уи -2■эта вели чина, очевидно, коррелировала с з/*е—i —Уи- 2 и не коррелирована с £и - £»t—1•
E(pit-2(£»t —e,t_i)) = 0.
(13.38)
Соответствующая оценка равна
~ _
£ ”=1 £^=2 УИ-2(УИ ~ Vil-l)
:•
/,о ол\
Tiv -
---------;----------------
(13.39)
£ i= l £ t= 2 Pit-2 (Pit—1 —Pit-2)
Эта оценка (наряду с другими) была предложена в работе (An dersen and Hsiao, 1981). В этом примере есть и другие инстру ментальные переменные, например, уи-2—Уи-з- И вообще можно
382
Гл. 13. Панельные данные
предложить довольно много комбинаций лагированных значений зависимой переменной у, которые подходят на роль инструментов.
Всвязи с этим возникают два естественных вопроса: что же лучше выбрать в качестве инструментов и нельзя ли использовать
вкаком-то смысле все доступные инструментальные переменные? Ответ заключается в применении обобщенного метода моментов (GMM), краткое описание которого приводится далее в разделе 13.9.
Основой этого метода являются моментные тождества, или условия ортогональности. Особенность описываемого здесь под хода, который был предложен в работе (Arellano and Bond, 1991), состоит в том, что число моментных тождеств меняется с изме нением t. Наше изложение следует, в основном, книге (Verbeek,
2000) .
Вмодели (13.37) при t = 2 выполняется моментное тождество
Е((е<2 - £ц)ум)= 0.
При t = 3 выполняются уже два тождества:
E ((e i3 - ел)ую) = 0,
Е ((е*з - £i2)yn) = 0.
В общем случае для каждого t
можно написать (t —1) равенство
E((£it —£it-i)yno)—0) Е((еи —Sa-i)m)—0,...,
(13.40)
E((e»t - e»t-i)y»t-2) —0-
Таким образом, имеется всего 1 + 2 Ч------ Ь (Г —1) = Т (Т - 1)/2 моментных тождеств. Чтобы более компактно закисать соотно шения (13.40), введем (Т —1) х 1 вектор
Де» =
E i T — E i T - 1 .
13.7. Динамические модели
383
и (Т —1) х Т (Т —1)/2 матрицу
(ую)
о
...
О
о
[ую.Уп]
•••
о
Zi =
О
[ую, •••, У.Т-2].
Тогда тождества (13.40) равносильны равенству
E(Z{ Д*) = 0,
которое можно переписать в следующем виде:
E(Z,i(Ayi -7A yi(-l)))=0
(13.41)
(мы воспользовались
стандартным
обозначением:
если
а
=
(00,01, . . . , ^ ) ' , то о(-1 ) = (ЬиЬ2 ,...,Ь г)', где bt =
at_i).
В
со
ответствии с обобщенным методом моментов оценка параметра 7 строится путем решения следующей задачи (см. (13.55)):
* ( ± £ Z',(A y, - y A y ^ - l ) ) j -» min, (13.42)
где S — некоторая весовая матрица. Левая часть (13.42) — квад ратичная функция 7 , поэтому ее минимум легко находится:
-1
7СММ
X ( ( g A . K - D Z ^ d ^ , . ) )
(13.43)
384
Гл. 13. Панельные данные
В соответствии с теорией обобщенного метода моментов для получения асимптотически оптимальной оценки (т. е. с минималь ной дисперсией) в качестве весовой матрицы следует взять мат рицу (см. (13.56)):
5°р‘ = (E(Z,iAe,iAeiZ i))- 1 .
(13.44)
Опять же в соответствии с теорией обобщенного метода моментов оценкой этой матрицы является матрица
' isrl
'
*■
(1345)
где A t i — остатки, построенные в модели (13.37) при использо вании какой-либо состоятельной оценки параметра 7 , например, оценки, полученной решением задачи (13.42) с единичной весовой матрицей S = I.
Заметим, что этот способ оценивания явно не накладывает ограничений на ошибки ец. Однако, чтобы гарантировать аде кватность использования обобщенного метода моментов в таком виде, требуется, чтобы ошибки были некоррелпровалы и имели одинаковую дисперсию <т^. Нетрудно проверить, что при этих ограничениях
' 2 -1 Е(Де<Де<) = a\W = а\ 0
о •
-1 0 ... 0'
2-1 ... 0
-1 2 ... 0
о •
0 ... 2
Поэтому можно взять оптимальную весовую матрицу в виде
Заметим, что эта матрица не зависит от 7 , и, следовательно, оценка обобщенного метода моментов может быть получена за один шаг без начального оценивания неизвестного параметра.
13.7. Динамические модели
385
Модель с экзогенными переменными
Вернемся теперь к более общей динамической модели (13.33)
Уи = <*» + х'й/3 + 73/tt-i + ««,
содержащей экзогенные переменные хц. Переходя к первым раз ностям
Уи ~ Уи- 1 = (*« -
+ у(уи- 1 - Уи-2) + (ей ~ е й - 1 ), (13.46)
видим, что получается модель, аналогичная (13.37). Экзогенность регрессоров хц означает, что
Е(х,,Де,ч) = О
при всех s, t. Эти равенства можно рассматривать как моментные тождества, которые аналогичны тождествам (13.40), и использо вать в обобщенном методе моментов. Иными словами, в каждый момент времени t переменные х * ь ...,х ,т можно использовать в качестве инструментов в дополнение к инструментальным пере менным, построенным в предыдущем разделе.
Вдинамических моделях с панельными данными так же, как
ив обычных моделях временных рядов, возникают проблемы еди ничных корней, коинтеграции и т. п., но рассмотрение этих вопро сов выходит за рамки нашей книги. Более подробное описание этой темы можно прочесть, например, в книгах (Greene, 1907), (Verbeek, 2000).
Подведем кратко итоги.
1.В динамических моделях с панельными данными регрессо ры коррелироваиы с индивидуальными эффектами независимо от того, являются ли эти эффекты фиксированными или случайны ми.
2.Внутригрупповая регрессия в отличие от статических моде лей не позволяет получить состоятельные (при фиксированном Т
ипри п —» оо) оценки параметров.
3.Состоятельные оценки в динамических моделях можно по строить с помощью обобщенного метода моментов.
386
Гл. 13. Панельные данные
13.8.Модели бинарного выбора с панельными данными
Вэтом разделе мы кратко рассмотрим модели с панельными дан ными, п которых зависимая переменная является бинарной, т. е. принимающей значения 0 или 1. Модель бинарного выбора в слу чае; панельных может быть описана аналогично тому, как это де лается для пространственных данных (см. (12.4) и (12.5)):
Уи = х п0 + оч+£ц,
(13.47)
и
Уit = 1,
если > О,
(13.48)
Ун = 0,
если y*it < О,
где ошибки £ц независимы по г, t и одинаково распределены, а величины а,-, как и раньше, отражают индивидуальные разли чия между объектами. Будем считать оц неизвестными параметр рами (модель с фиксированным эффектом). Тогда можно точ но так же, как и для обычных моделей, рассмотренных в гла ве 12, построить оценки максимального правдоподобия парамет ров Oi, г = 1 ,...,п , /3 (оставляем в качестве упражнения наг писать выражение для функции правдоподобия). Эти оценки бу дут состоятельными лишь при фиксированном п и при Т —*оо. Этот факт, конечно же, связан с тем, что с увеличением п рас тет число оцениваемых параметров а<, г = 1 ,...,п , поэтому ес ли п —» оо, а Т фиксировано, то оценки максимального прав доподобия как параметров а<, г = 1,... ,п, так и параметров /3 будут несостоятельными. Эта проблема возникает и в линейных моделях, но там с помощью внутригруппового преобразования удается исключить оц и получить состоятельные оценки векто ра парамегров /3. В моделях бинарного выбора формально тоже можно сделать внутригрупповое преобразование (или взять пер вые разности) для латентной переменной y*t, что позволит ис ключить Qi в уравнении (13.47). Однако не существует простого способа, позволяющего связать наблюдаемую бинарную перемен ную уи с преобразованной латентной переменной y*t —у? (или Уи ~ Уи-1)- Одно из возможных решений этой проблемы состоит
13.8. Модели бинарного выбора с панельными дапными
387
в максимизации не исходной функции правдоподобия, а некото рой специально подобранной условной функции правдоподобия (Andersen, 1970), (Chamberlain, 1980). Пусть /(y»i,... ,у»т I <*,-,/3)
— совместное распределение величин уп,- ■. ,1Лг. зависящее от параметров сц,/3. Предположим, что существует такая стати стика Si (т.е. функция, зависящая только от наблюдений), что
/(Уп, • • • ,У»г I <*,р) =
/(у ц ,... ,У»Г I S../3). Тогда, максимизируя
условную функцию правдоподобия
«
Lc =
Ц /(У<ь • • • ,У»т I SiJ3),
»=i
можно получить состоятельные оценки параметров /3. Более то го, эти оценки обладают практически теми же свойствами, что и обычные оценки максимального правдоподобия.
Проблема, однако, состоит в том, что далеко не всегда такая статистика а,- существует. Так, например, можно показать, что для probit-модели (когда ошибки £ц имеют нормальное распре деление) такой статистики построить нельзя. Но если ошибки в (13.47) имеют логистическое распределение (logit-модаль),такая статистика существует, а именно, а,- = уц. Мы не будем до казывать это в общем случае, а ограничимся иллюстрацией для простейшего случая Т = 2.
Заметим вначале, что
Р(у»1 = 0,yi2 = О I Si = 0) = 1,Р(у,1 = 1,Уг2 = 1 | Si = 2) = 1.
Это означает, что объекты, у которых бинарная переменная не менялась в течение всего периода времени, не дают «вклада» в условную функцию правдоподобия. Далее, обозначим для крат кости (у*1 = 0,у\2 = 1) = (0,1), (y»i = 1,уа = 0) = (1,0). Тогда
n
Р((0, l),aj = 1)
P((0,D)
Л '
'
Р(5< = 1)
Р((0,1))+Р((1,0))-
В силу независимости наблюдений имеем
1
е«<+*;3/з
Р((0*!)) - ! + ео^+а^/З'1 +еа,+®;20 ’
388
Гл. 13. Панельные данные
г,,,,
е0,<+*п/3
1
Р((1.0)) -
l +
1 _^eei+*,i3^’
Следовательно,
Р ( ( 0 , 1 ) I
я» = 1 ) =
Р ( ( 1 > 0 ) |
Si = 1 ) =
е<з0
ех'и&+ е * ^ ’
ex*i^ + ех'л@
Мы видим, что эти условные вероятности не зависят от а*.
В случае произвольного Т доказательство независимости условных распределений от а< проводится аналогично, но требует более громоздких вычислений (см. (Chamberlain, 1980), (Maddala, 1987)). Таким образом, для logit-иоделис фиксированным эффек том удается устранить переменные ctj и получить состоятельные оценки параметров /3.
Рассмотрим теперь модели со случайным эффектом. Бели в уравнении (13.47) обозначить щг — а* + £ц, то внешне модель (13.47), (13.48) будет выглядеть так же, как модель бинарного выбора для пространственных данных (12.4), (12.5). Однако есть существенное отличие: в данном случае ошибки «а, t = 1 ,..., Т, а следовательно, и наблюдения уи, t = 1,... ,Т, уже не являются независимыми по t для каждого объекта г (между объектами эти ошибки, конечно же, независимы). Это означает, что распределе ние f ( y n , у& | х а , . . . , XiT,0) не распадается в произведение одномерных распределений, а следовательно, и функция правдо подобия для этой модели не представима в виде произведения одномерных распределений, как это было для моделей бинарного выбора с пространственными данными. В общем случае постро ение функции правдоподобия требует вычисления многомерных интегралов, что делает практически нереализуемым метод мак симального правдоподобия.
Однако можно заметить, что поскольку ошибки £ « , ... ,е,т независимы как по г, так и по t, то наблюдения уц, t = 1 ,... ,Т
13.9. Обобщенный метод моментов
389
условно независимы при фиксированном оц. Поэтому
/(Уи< •••>!№ I '00
/ ( № • • • • >1№Г I х ц ,. .. , x tT,f3,ai)f(ai)doii
(13.49)
Эта формула позволяет эффективно вычислять функцию прав доподобия и строить оценки максимального правдоподобия па раметров /3. Заметим, что этот метод может быть реализован для произвольных распределений ошибок а,-, £ц. Но на практике обычно считают, что эти ошибки имеют нормальное распределе ние, т. е. рассматривают probit-модель со случайным эффектом.
Итак, пусть Qi ~ JV(0,<T£), eit ~ N (0,oj), случайные величины £ц независимы по t и aj и ец также независимы. Будем предпола гать, что выполнено условие нормировки V ( u « ) = V ( a i +£ц) = 1 , следовательно, <т%= 1 —сг£. Тогда нетрудно проверить, что в фор муле (13.49) одномерные условные распределения имеют следую щий вид:
(13.50)
/(Уге = 0 |х « ,/3 ,^ ) = 1 - Ф ( s't/3 + а Л
\ V ^ J
Наконец, /(ск*) в (13.49) — это обычная плотность нормального распределения:
1 3 .9 . О бобщ ен н ы й м е т о д м ом ен тов
В этом разделе кратко описывается обобщенный метод моментов, который в настоящее время является одним из наиболее распро
390
Гл. 13. Панельные данные
страненных методов оценивания. Этот метод является достаточно общим и применяется не только в эконометрике, однако наше из ложение ориентировано в первую очередь на его применение к моделям регрессии.
Исходным пунктом обобщенного метода моментов являются некоторые теоретические соотношения между переменными и па раметрами модели. Идея метода заключается в том, что надо так выбирать параметры, чтобы, говори нестрого, эти соотношения для заданных наблюдений выполнялись как можно «более точно».
Предположим, что модель включает переменные уи *», г», г = 1 ,... ,п, и пусть выполнены следующие равенства:
^iXnj{yiyx itz it^)) = 0, J = l,...,f ,
(13.51)
где rrij(yi,Xi, Zi, в) — некоторые известные скалярные функции, а В — fc-мерный вектор параметров. (В применении к моделям регрессии можно считать зависимой переменной, sc* — набором peipeccopOB, Zi — инструментальными переменными.)
Равенства (13.51) называют моментными тождествами или условиями ортогональности. Если ввести вектор-функцию
™-{уи*», *», б) = (Ш! (t/i, x i} Zi, 0 ),..., TU|(yf, Xi, z u В))',
то соотношения (13.51) можно записать в векторном виде
Е(тп(у{, х,', Zj, д)) = 0.
(13.52)
Определим вектор-функцию
1 п
g (y ,X ,Z ,B ) = - ^ m ( y i , X i , z u e)
»=1
и запишем выборочный аналог равенства (13.52):
g ( y ,X ,Z ,B ) = 0.
(13.53)
Обозначим для краткости д(у, X , Z , B ) = g(0). Если к > I (число уравнений в (13.53) меньше числа оцениваемых параметров), то модель не идентифицируема. Если размерности д(В) и В совпада ют (т е. число уравнений в (13.53) равно числу параметров), то
