книги / Проблемы теории пластичности и ползучести

имеют поперечные деформации. Остаточные деформации имеют большое значение в случае малоцикловой усталости. Одной из причин помещения здесь данного рисунка является

в квазистатических температурных условиях. Он разработал также конечно-разностный алгоритм для определения напря­ жений и толщин [265]. Р. Г. Терехов [277] описал эксперимен­ ты, проведенные на дисках с целью получения данных, под­ тверждающих деформационную теорию. Наблюдались замет­ ные отклонения от требования пропорционального нагруже­ ния. Различия между теорией и экспериментом увеличивались с возрастанием пластической деформации. М. Г. Кабелевский [109, ПО] отметил большие различия между расчетными и экс­ периментально определенными величинами деформаций. Экс­ перименты проводились на дисках, вращающихся со скоро­

тально исследовал пластические зоны в лопастях газовых тур­ бин. Эксперименты, проведенные по термопластичности, отно­ сятся преимущественно к частным приложениям, а не к про­ верке определенной концепции.

Характерной для вращающихся дисков задачей является задача оптимального проектирования. При пластическом про­ ектировании требуется, чтобы материал всей конструкции ос­ тавался пластическим. Мэнсон [161] определил профиль сплошного диска, подвергающегося воздействию неоднород­ ного температурного поля методом проб и ошибок.

Капковский и Лукашевич [115] определили форму диска, переходящего в пластическое состояние одновременно во всех точках. Такая форма рассматривалась как оптимальная. Предполагалось, что температура изменяется вдоль радиуса по закону квадратической параболы, а не согласно решению уравнения (4.55). На рис. 32 показана оптимальная толщина круглого диска из материала, подчиняющегося критерию Гу­ бера— Мизеса. При принятых предположениях можно отме­ тить существенное различие между термопластическим и пластическим решениями. Остается еще найти форму, удовле­ творяющую принципам оптимального пластического проекти­ рования.

Мало внимания уделялось большим упругопластическим деформациям при наличии градиентов температур. В. Н. Альперт [2] рассмотрел деформации нагретого вращающегося ди­ ска, использовав логарифмические деформации. Соотношения

смещение — угловая скорость оказались не непрерывно воз­ растающими. Численные расчеты, проведенные для критериев текучести Треска и максимального приведенного напряжения, показывают заметную неустойчивость смещений.

Во многих технических приложениях тонкие пластины и оболочки подвергаются нагреву до высоких температур. Со­ отношения упругопластической теории для тонкостенных кон­ струкций должны быть соответствующим образом модифици­ рованы, а тепловые воздействия выражены через результи-

рующие напряжения, моменты напряжений, скорости кривиз­ ны и т. д. В несвязанной теории важными являются два эф­ фекта нагрева, а именно уменьшение сопротивления текучести при повышении температуры и тепловые деформации.

Первый из них влияет на поверхность текучести. Область пространства результирующих напряжений, ограниченная по­ верхностью текучести, при повышении температуры сокра­ щается, тогда как геометрия геометрического места точек те­ кучести сама по себе остается неизменной. Таким образом, температурная зависимость предела текучести приводит к не­ однородности некоторого вида. Геометрическое место точек те­ кучести (4.4), выраженное через обобщенный вектор напря­

жения Q, используемый в пластической теории конструкций [236, 98], принимает, таким образом, вид

Закон течения пластического потенциала остается неизмен­ ным.

Соотношение (4.56) показывает, что в статически опреде­ лимых задачах неоднородность, вносимая температурой, не приводит к существенным осложнениям. Более сложным, од­ нако, является вопрос об определении смещений. Аддитивность упругих, тепловых и пластических деформаций в теории ма­ лых деформаций не обязательно приводит к аддитивности об­ общенных упругих, тепловых и пластических деформаций. Уд­ линения срединной поверхности и изменения кривизны в общем случае нельзя разбить на упомянутые выше части.

Что касается тепловой части, то ее можно легко определить для трехслойных конструкций при линейном изменении тем­ пературы по толщине стенки.

Для неоднородно нагретой трехслойной стенки толщиной 2Н тепловое удлинение и изменение кривизны серединной поверхности Иав определяются следующими выражениями:

ЯаР = '/2а(е+ + е-),

вого расширения. Вектор скорости обобщенной деформации для трехслойной конструкции имеет вид q = qe + Цр + причем каждый член в этом выражении подчиняется соответ­ ствующему определяющему закону.

Термомеханический анализ, использующий жесткоидеаль­ нопластическую модель, может дать только асимптотические решения. Это очевидно уже из примера, обсужденного в разд. 4.4. Поэтому термопластический анализ конструкций сводится к решению задачи в скоростях для упругопластиче­ ского поведения материала. Данная ситуация усложняет вы­ числения в такой мере, что возможно получение только немно­ гих решений.

Термопластические оболочки впервые были рассмотрены Онатом и Яманторком [199]. Полубесконечная цилиндрическая трехслойная оболочка, защемленная на одном конце и свобод­ ная на бесконечности, считалась подверженной только нагре­ ву до температуры 0 ( 0 , монотонно возрастающей R O времени, цо постоянной в пространстве,.

На рис. 33 показано характерное распределение безраз­ мерного изгибающего момента и окружного усилия при опре­ деленной температуре. Мы обсудим здесь эти результаты по двум причинам. Первая из них — показать протяженность пла­ стической зоны при однородном нагреве. Вторая связана с жесткопластическим поведением материала.

Рис. 33. Окружные усилия и изгибающие моменты в нагретой идеальнопластической оболочке [199]; р = д/з”/2; %== x/*j2RH.

Соответствующий профиль напряжений на фактически ис­ пользуемой поверхности текучести изображен сплошной ли­ нией. После того как выбран профиль напряжений для жест­ копластической цилиндрической оболочки, можно легко про­ интегрировать уравнение равновесия, а также уравнение для скоростей прогибов, содержащее скорости величин, опреде­ ляемых согласно (4.57). В результате было установлено, что рцутри пластической зоны

тх= 1— 2 л /Т I + I 2,

(4.58)

ф= аб| ViT,

где £0 = У 2 > остальные величины указаны на рисунке. Сле­ дует заметить, что в соотношения (4.58), относящиеся к же­ сткопластическому поведению материала, не входит темпера­ тура. Эти результаты относятся, очевидно, к асимптотическо­ му состоянию, достигаемому при неограниченном значении температуры. Чтобы получить решение для конечного момента времени, надо рассмотреть задачу для упругопластических скоростей.

Несущая способность круглых пластин, находящихся под действием давления и подверженных нагреву с неоднородным распределением температуры, рассматривалась Л. И. Поля­ ковым и М. А. Рудисом [232]. Когда предел текучести убывает с температурой, изгибающий момент текучести также умень­ шается. Таким образом, получается неоднородная пластина, и определение разрушающей нагрузки не представляет трудно­ стей. Ю. П. Листрова и М. А. Рудис [150] рассмотрели аналологичную задачу для сферического колпака в предположении линейного падения температуры по толщине стенки оболочки. Аналогичные вопросы обсуждались в работе [151] с учетом упрочнения и умеренно больших прогибов. В. В. Пискун [227] численно проанализировал упругопластическую цилиндриче­ скую оболочку, учитывая переходное тепловое состояние.

4.10. Другие задачи

Взаимодействие теплового и неупругого поведений мате­ риалов проявляется также в технологических процессах обра­ ботки металлов. В первую очередь надо отметить эффект сверхпластичности.

Оказалось, что в определенной области изменения скоро­ стей деформации и температуры некоторые металлы обнару­ живают крайне развитую способность к высоким удлинениям. Некоторые материалы в довольно узкой температурной обла­ сти обнаруживают заметное размягчение. Их сопротивление 'текучести уменьшается, тогда как скорость упрочнения остает­ ся низкой; в то же время деформационный процесс является стабильным, т. е. наблюдается высокое сопротивление образо­ ванию шейки при растяжении. В результате можно получить удлинение в несколько сот процентов.

Сверхпластическое поведение при одноосном напряженном состоянии обычно описывается при помощи нелинейного за­ кона ползучести, связывающего напряжение и скорость лога­ рифмической деформации соотношением

где функции материала k и т меняются с температурой и де­ формацией. Металлургические аспекты сверхпластичности об­ суждались в работе [3]. Дальнейшие исследования как в тео­ рии, так и в области приложений проводились в [237].

Сверхпластичность является областью, в которой геоме­ трическая нелинейность взаимодействует с термовязкопласти­ ческим поведением материалов. Поэтому она предоставляет интересное поле для механических исследований. Следует най­ ти вид выражения (4.59), соответствующий случаю сложного напряженного состояния и больших вращений. Требует изуче­ ния проблема устойчивости деформационного процесса.

Впроцессе быстрой пластической деформации, например

ввысокоскоростных механизмах, на поведение материала влияет внутреннее выделение тепла. В^воне пластической де­ формации происходит локальное изменение температуры. По­ вышение температуры отрицательно действует на предел теку­ чести. Поэтому, если скорость уменьшения сопротивления пре­ вышает скорость упрочнения, то материал будет продолжать локально деформироваться с увеличивающейся скоростью. Далее последует состояние неустойчивости, известное как ка­ тастрофический сдвиг. Теорию катастрофического сдвига рас­ смотрел Рехт [245]; он привел некоторые экспериментальные данные.

Термопластическая устойчивость имеет большое значение при обработке металлов, когда образуются локальные пла­ стические выемки и морщины. Для объяснения данного про­ цесса, по-видимому, еще нет подходящей теории. Олесяк [194] исследовал ширину пластической зоны на конце трещины для

случая, когда напряжения создаются благодаря притоку тепла к поверхности дискообразной трещины. Лин и Лэкман [145] рас­ сматривали напряжения в сварном шве. Когда шов остывает, образуются остаточные напряжения, которые являются причи­ ной коробления места соединения. Термопластическая теория элементов конструкций была сформулирована Прагером [233].

б.ЦИКЛИЧЕСКАЯ ТЕРМОПЛАСТИЧНОСТЬ

5.1.Введение

Некоторые явления, которые отсутствуют при монотонном нагружении, в условиях циклических нагрузок становятся зна­ чительными. Эффекты повторных деформаций имеют особое значение для неупругих материалов. Такие явления, как мало­ цикловая усталость, разрыхление и приспособляемость, кото­ рые в идеально упругих телах не возникают, определяют рас­ чет пластических конструкций, подвергаемых циклическим и непропорциональным нагружением.

в теле изменяются в заданных пределах, может возникнуть одна из трех ситуаций.

В первом случае происходит накопление приращений пла­ стических деформаций, в конце концов смещения неограничен­ но возрастают и конструкция выходит из строя.

Другая возможность состоит в том, что пластические де­ формации остаются ограниченными, но являются циклически­ ми. В конечном счете это приводит к малоцикловой усталости.

Третий случай заключается в том, что с течением времени в теле развивается некоторая система остаточных напряже­ ний, контролирующая пластические деформации. Отправляясь от такого состояния остаточных напряжений, конструкция за­ тем будет вести себя в дальнейшем при заданной программе нагружения чисто упругим образом. Говорят, что конструкция приспособляется к границе программы нагружения.

Вопрос можно разрешить при помощи пошагового интегри­ рования упругопластических уравнений, т. е. следуя истории напряжений. Однако эту операцию на практике трудно осу­ ществить, особенно если известна только граница программы нагружения. Существуют соответствующие теоремы, позво­ ляющие установить, будет или не будет рассматриваемая кон­ струкция приспосабливаться к данной программе нагружения. Теорема Мелана устанавливает необходимые и достаточные условия приспособляемости конструкции, а теорема Койтера определяет условия неприспособляемости. Теоремы и их до­ казательства для случая механических нагрузок можно найти в работе Койтера [120].

Приспособляемость в условиях комбинированного нагру­ жения и нагрева рассматривалась Прагером [234] и В. И. Розенблюмом [250]. В указанных работах дана соответствующая формулировка теоремы Мелана. В то время как на несущую способность конструкции, подвергающейся однопараметриче­ скому нагружению, не влияет любая система самоуравновешенных напряжений, на циклическое сопротивление эти на­ пряжения влияют существенно.

Приложение теоремы Мелана состоит в нахождении не за­ висящего от времени поля самоуравновешенных напряжений, такого, что при наложении его на чисто упругое поведение рас­ сматриваемой конструкции, находящейся под действием пере­ менных нагрузок, это поле ни в одной частице в любой мо­ мент времени не нарушит условия текучести. При наличии тепловых полей единственная модификация этой теоремы со­ стоит в том, что самоуравновешенные состояния должны учи­ тывать термоупругое решение рассматриваемой задачи. Тео­ рема справедлива также для материалов с упругими констан­ тами, зависящими от температуры. Соответствующее доказа­