книги / Проблемы теории пластичности и ползучести

и его сотрудниками [1], подтверждают справедливость гипо­ тезы Харта. Этот подход находится, однако, в начальной ста­ дии исследования, и его реализация требует еще большего объема экспериментальных работ.

2. Оказалось [3], что в физической химии существуют при­ меры термодинамических систем, не удовлетворяющих ис­ пользованному в разд. 4 ч. I нашей работы принципу ортого­ нальности Циглера. В настоящее время часто [4, 5] пользуют­ ся постулатом Дьярмати [6] или его обобщениями. В своей первоначальной форме этот постулат формулируется так: су­

ществует функция ф(*) скорости термодинамических обоб­

щенных перемещений х [см. (27), ч. I] класса С2, которую на­ зывают диссипативным потенциалом. Необратимые термоди­

(з.п)

д х

Вид потенциала tp может в общем случае зависеть от термо­ динамического состояния. Чтобы этот постулат относился так­ же к практическим материалам, не чувствительным к скоро­ сти деформаций, его следует понимать в более общем смысле, а именно потенциал <р можно дифференцировать всюду, кроме

точки х = 0. При такой трактовке постулаты Циглера и Дьяр­ мати совпадают в случае выпуклых и однородных диссипатив­ ных потенциалов (что имеет место в термопластичности).

Как показал в последнее время Эделен [7, 8], постулат Дьярмати отбрасывает возможность существования недисси­ пативных сил, не имеющих влияния на производство энтро­ пии. Дальнейшие обобщения постулата Дьярмати дал в последнее время Немат-Нассер [9]. В ч. I нашей работы мы от­ метили трудности, связанные с экспериментальным определе­ нием соответствующих уравнений состояния для энтропии в случае пластических тел. Эта тема обсуждается в другой ра­ боте [10] Немат-Нассера. В ней модифицируется классическая формулировка Каратеодори второго закона термодинамики и делается вывод, что энтропия упругопластического тела не может быть определена однозначным способом.

Халфен и Нгуен Кок Сон [11] развивают теорию, которая в принципе представляет собой частный случай теории, обсу­ ждаемой нами в ч. I. Они принимают следующие дополни­ тельные предположения: а) функция Gp(Tt х), а также диссипа­

тивный потенциал cp(jc) должны быть выпуклыми функциями; б) диссипативный потенциал ф не зависит от термодина­ мического состояния. В [11] используется теория выпуклых

функций, причем рассуждения авторов ограничиваются слу­ чаем изотермических процессов. Принятые дополнительные допущения относительно математических свойств функции свободной энергии и ее диссипативного потенциала дали ав­ торам возможность доказать теорему об единственности ре­ шения краевой задачи теории пластичности. Из работ, касаю­ щихся теоретических и экспериментальных основ термопла­ стичности, внимание заслуживает работа Айзенберга и др. [12]. В ней обобщается теория термопластичности, обсуждав­ шаяся ранее [13], и дается сравнение этой теории с экспери­ ментальными результатами, полученными в [14].

В [15] при помощи [16] дана модификация неизотермиче­ ских законов пластического течения Прагера, которая дала возможность провести анализ напряжений в процессе закал­ ки для некоторых сталей.

3. В области фундаментальных теорем термопластичности следует отметить работу Халфена [17], в которой дано инте­ гральное условие однозначности краевой задачи несвязанной термопластичности для случая конечных деформаций. Анало­ гичное условие получено также и для связанной термопла­ стичности. Эти условия могут быть использованы при анализе бифуркации состояний равновесия конструкций под влиянием термомеханических полей. Таким образом, в [17] получены обобщения известных условий Хилла [18, 19] в теории пла­ стичности. Вариационные принципы в связанной термопла­ стичности предложены в [20]. Эти принципы относятся к крае­ вой задаче и упрощенным уравнениям, обсужденным в ч. II работы. В [20] показано, что в локально адиабатических про­ цессах мощность поверхностных сил не меньше мощности по­

3.Ziegler H. Warszawa, 1976 (личное сообщение).

4.Mandel J. Plasticite classique et viscoplasticite. — Cours CISM. — Udine, Italia: Springer-Verlag, 1971.

5.Mandel J. Tnermodynamique et plasticite.— Int. Symposium of the Con­ tinuum Thermodynamics. — Lisbonne, 1973.

6.Gyarmati I. Non-equilibrium thermodynamics, Field theory and varia­ tional principles. — Springer-Verlag, 1970.

7.Edelen D. G. В. A thermodynamic derivation of non-history dependent constitutive relations for elastic, viscoelastic, fluid, and perfectly plastic

bodies. — Arch. Mech. Stos., 26 (1974), 251—261.

8.Edelen D. G. B. On the characterization of fluxes in nonlinear irrevers­ ible thermodynamics. — Intemat. J. Engng. Sci., 12 (1974), 397—411.

9.Nemat-Nasser O. On nonequilibrium thermodynamics of viscoplasticity: Inelastic potentials and normality conditions. — IUTAM Symposium

«Mechanics of Visco-Elastic Media and Bodies». — Gothenburg, 1974.

10.Nemat-Nasser S. On nonequilibrium thermodynamics of continua. — Me­ chanics Today, Vol. 2, 1974.

11.Halphen B., Nguyen Quoc Son. Sur les materiaux standards gen6ralises.— J. Mecanique, 14 (1975), No. 1, 39—63.

12.Eisenberg M., Chong-Won Lee, Phillips A. Observations on the theore­

Устойчивость системы из материала с ограниченной пол­ зучестью оказывается возможным рассматривать на беско­ нечном интервале времени. Для стержня из упруговязкого материала постановка задачи устойчивости была предложена А Р. Ржаницыным в 1946 г. [140, 141]. Закон ползучести для такого материала имеет вид

где е — деформация, а — напряжение, Е — модуль упругости, £д— так называемый длительный модуль, точка означает дифференцирование по времени. При растяжении образца из такого материала при постоянном напряжении деформация стремится к значению е = о/Ел.

Для пояснения сути дела рассмотрим шарнирно опертый прямоугольный стержень, сжатый постоянной силой Г, в ус­ ловиях ползучести. Основное движение, устойчивость кото­ рого исследуется, есть состояние сжатого стержня, при котором ось сохраняется прямолинейной. В качестве возмуще­ ния рассматриваем начальный прогиб стержня w0(x), возму­ щенное движение — прогиб, w (хуt) .

В соответствии с принятыми представлениями для дефор­ маций бруса имеем

е = — 2 (wxx — w0 хх).

Из уравнения (1) получаем

В случае когда Т < Тл, малое возмущение в виде начального прогиба приводит к возмущенному движению, в котором про^

гиб f при t-> оо асимптотически стремится к некоторому оп­ ределенному значению. Прямолинейное состояние стержня в этом случае оказывается устойчивым по отношению к рас­ сматриваемому типу возмущения на бесконечном интервале времени. Иначе ведет себя возмущенное движение при Т > > Гд. Неограниченное возрастание / при / —> оо означает, что стержень в этом случае неустойчив. Таким образом, для стер­ жня из упруговязкого материала значение Т = Тд является критическим.

Как видим, за счет того, что для материала с ограничен­ ной ползучестью скорость деформирования при постоянном напряжении с возрастанием времени затухает и асимптоти­ чески стремится к нулю, оказалось возможным установить такое максимальное значение нагрузки для стержня (дли­ тельная критическая нагрузка), при котором возмущение, вызванное некоторым воздействием на систему, затухает во времени.

Следует заметить, что в первоначальном варианте этой постановки [140] возмущенное движение описывалось одно­ родным уравнением

интеграл которого имеет вид

При t = О имеем f = f0 и в то же время в уравнении возму­ щенных движений начальный прогиб не учитывается. Вве­ дение в уравнение начального прогиба и уточнение поста­ новки задачи устойчивости упруговязкой системы было про­ ведено С. А. Шестериковым [169] и Ю. Н. Работновым [135].

Для геометрически линейных систем при линейной ползу­ чести, когда возмущенное движение описывается линейными дифференциальными уравнениями, устойчивость на бесконеч­ ном интервале времени вполне определяется спектром соот­ ветствующего оператора. Обращение к начальным условиям имеет значение в связи с анализом возмущенных движений геометрически нелинейных систем (типа оболочек). Здесь даже при линейной ползучести необходим учет начальных ус­ ловий при исследовании ползучести.

В случае упруговязкого материала, скорость деформирова­ ния которого при постоянном напряжении не затухает (модель Максвелла), закон ползучести имеет вид

Амплитуда прогиба сжатого шарнирно опертого стержня с на­ чальным синусоидальным прогибом выражается в виде

и при любом значении сжимающей силы Т < Те прогиб со временем возрастает. Как видим, для материалов с незату­ хающей скоростью деформирования нет возможности сфор­ мулировать задачу устойчивости на бесконечном интервале времени. При любом Т <.Те и любом /0 система при t-+ оо неустойчива.

Фрейденталь [219, 220] отнес этот результат за счет разде­ ления переменных и обратился к задаче для сжатого стержня с начальным эксцентриситетом. При использовании метода последовательных приближений было получено представле­ ние для прогиба в виде ряда, который был оценен Фрейденталем как расходящийся при конечном значении времени. Это позволило ему установить такое конечное значение времени (критическое время), при котором прогиб (или изгибающий момент) стержня в условиях ползучести неограниченно воз­ растает. Ошибочность утверждения о существовании конеч­ ного критического времени для стержня из линейного упруго­ вязкого материала была показана Кемпнером и Полем [257]. Ряд, полученный Фрейденталем для изгибающего момента в середине стержня, оказывается сходящимся для любых ко­ нечных значений времени t. Сходимость ряда для прогиба сжатого первоначально искривленного стержня из обобщен­ ного линейного упруговязкого материала с неограниченной ползучестью при конечном значении времени (несуществова­ ние конечного критического времени) была показана также Хилтоном [232, 233].

Для линейных вязкоупругих моделей общего вида суще­ ствование конечной сжимающей силы, при которой стержень устойчив на бесконечном интервале времени в случае ограни­ ченной ползучести (модели типа Кельвина) и неустойчив на бесконечном интервале в случае неограниченной ползучести (модели типа Максвелла), было показано также в работе Ро­ зенталя и Бэра [287].

Для конструкций из материала с ограниченной ползу­ честью (модели упруговязкие и упруговязкопластические, мо­ дели наследственного типа с учетом старения), для которых правомерна постановка вопроса об устойчивости на беско­ нечном интервале времени, получено значительное число ре­ зультатов, как в направлении разработки общей теории и ме­ тодов решения задач, так и по отдельным конкретным зада­ чам. В предположении, что об устойчивости можно судить, полагая возмущения малыми, уравнения возмущенного дви­

ственным формам упругой задачи сводят.ся к системе

Z = D(t, P)Z,

где Z — вектор и D — некоторый оператор. В задачах этого типа \\D(tf р) — С(Р) || 0 при t оо (р — параметр на­ грузки), и исследование устойчивости оказывается возмож­ ным вести по предельной системе уравнений, так как реше­ ния уравнений с С(Р) ведут себя почти так же, как с D(t, р). Рассмотрены задачи устойчивости полосы при сжатии, тол­ стой трубы при внутреннем давлении, толстой плиты при сжа­ тии в двух направлениях.

Постановка задач устойчивости в условиях ограниченной ползучести нашла применение в связи с определением дли­ тельной критической нагрузки для тонкостенных конструкций из композитных материалов. У таких материалов проявляют­ ся вязкие свойства связующего, которые необходимо учиты­ вать в расчетах устойчивости. Г. И. Брызгалин [18] при опре­ делении длительной критической нагрузки для пластинки из стеклопластика учитывал упруговязкий характер деформаций сдвига в плоскости пластинки. Более общая задача длитель­ ной устойчивости сжатой прямоугольной пластинки из ортотропного материала (ползучесть учитывается во всех направ­ лениях) с линейной ползучестью, описываемой операторами Ю Н. Работнова, рассмотрена в [73].

Длительная устойчивость свободно опертой сжатой прямо­ угольной пластины из ортотропного линейного вязкоупругого материала рассматривалась в работах [70, 165]. Форма про­ гиба в задачах этого типа определяется соотношениями ме­ жду длительными модулями.

Длительная устойчивость цилиндрических и сферических оболочек из композитного материала при сжатии и давлении рассматривалась в серии работ Г. А. Тетерса, Б. Л * Пелеха, Р. Б. Рикардса и А. Ф. Крегерса [146]. Характерной особен­ ностью расчета таких конструкций является необходимость учета упруговязкого поведения материала при межслойном сдвиге. Длительная устойчивость продольно сжатой много­ слойной цилиндрической оболочки из армирующих и связую­ щих слоев, причем линейная вязкоупругость учитывается при работе на сдвиг связующих слоев, рассмотрена в [151].

Определение длительных критических нагрузок для ци­ линдрических оболочек с вязкоупругим заполнителем при сжатии и внешнем давлении проводилось в работах [24, 119, 208]. Трехслойные пологие оболочки с упругими внешними слоями с упруговязким заполнителем рассмотрели X. М. Муштари и А. Г. Терегулов [117]. Длительные критические на­ грузки здесь получены для цилиндрической оболочки при

сжатии и давлении и для сферической оболочки под давле­ нием. Трехслойные пластины с упруговязким заполнителем рассматривал А. Г. Терегулов [158]. Трехслойные пластины и оболочки с упруговязкими слоями рассматривали также В. Г. Попов и В. А. Телегин [121—123]. Общим для всех этих работ является исследование устойчивости на бесконечном ин­ тервале времени на основе линеаризованных уравнений для возмущенных решений.

Длительную устойчивость шарнирно опертого упруговяз­ кого стержня при продольном сжатии рассмотрели В. Г. Гро­ мов и Г. Н. Раецк-ий [46]. Устойчивость упруговязкого стерж­ ня в вязкой среде при неконсервативном нагружении рассмо­ трена в работе [3]. В работе [284] дано решение для консоли из упруговязкого материала при нагружении следящей силой.

Длительная устойчивость сжатых стержней из упруговяз­ кого материала исследовалась в [260]. Учет переменности се­ чения стержня .в этих задачах проводился в [111, 186], пла­ стинка переменной жесткости рассматривалась в [166], сжа­ тый стержень в упруговязкой среде, реакция которой связана с прогибом зависимостью с ядром ползучести в виде линейной комбинации экспоненциальных функций (применительно к бетону), рассмотрен в [104].

Длительная устойчивость при изгибно-крутильных дефор­ мациях балки рассматривалась в [270]. Решение для сжатой круглой пластины дано в [261], для прямоугольной пластин­ ки — в [51].

Ряд исследований длительной устойчивости был выполнен в связи с расчетомэлементов бетонных конструкций И. Е. Про­ коповичем с соавторами [130—133]. Ползучесть описывается линейной теорией наследственности с учетом старения. Сжа­ тый шарнирно опертый стержень с начальным прогибом рас­ смотрен в [130]. Из условия ограниченности прогибов на бесконечном интервале времени для длительной критической нагрузки получено Гд = Те/(\ + с ) , где Те — эйлерова крити­ ческая сила, 1 + с = Е/Ел. Значение ТА оказывается не за­ висящим от старения. Аналогичный результат получен для задачи об устойчивости плоской формы изгиба тонкостенного стержня [131]. Учет нелинейной зависимости скоростей дефор­ мации от напряжений в схеме ограниченной ползучести пока­

специфику вносит учет нелинейных слагаемых в выражениях