книги / Проблемы теории пластичности и ползучести

Таким образом, в теории термоупругопластической деформа­ ции частного вида предполагается, что тепло, выделяемое в процессе деформирования, изменяет тепловое поле, но это изменение пренебрежимо мало (несвязанная термопластич­ ность). Вводится важное предположение о пропорциональном нагружении: тепловые поля и механические нагрузки изме­ няются так, что компоненты девиаторов напряжений и дефор­ маций увеличиваются в постоянном отношении. Решение за­ дачи заключается в нахождении величин а//, гц и смещения ии причем

Необходимые и достаточные условия для теплового и ме­ ханического нагружений подробно изучались советскими уче­ ными. П. М. Огибалов [1950 г.] установил, что условие про­ порционального нагружения внутри тела удовлетворяется, если температура его поверхности увеличивается пропорцио­ нально одному параметру. При квазистационарном состоянии теплопроводности температура поверхности может изменяться следующим образом: 0(л:, /) = р(/)0°(л;), причем 0°(я) — ис­ ходная температура. При нестационарном состоянии темпера­ тура поверхности ограничена законом 0 = 0°еа'.

Д л я с в о й с т в материала, зависящих от температуры, воп­ рос о пропорциональном нагружении рассматривался А. Г. Жу­ равлевым [304]. Дальнейшие исследования, касающиеся сов­ местных тепловых и механических воздействий, проводились А. А. Ильюшиным и П. М. Огибаловым [105]. В. В. Москвитин

установлено, что соответствующее соотношение между р и К гарантирует выполнение требования пропорционального на­ гружения.

ной деформацией е,- и температурой 0; Ю. Н. Шевченко [264, 266, 267] рассмотрел циклическое нагружение со знакопере­ менной пластичностью и кинематическое упрочнение.

Если, например, заданные на поверхности внешняя нагруз­ ка pi и температура 0 увеличиваются следующим образом [143]:

те решение для пропорционального нагружения имеет вид

Оно будет справедливо, если

где A, N, R — постоянные. Следовательно, в этом случае соот­ ношение (4.11) между напряжениями и деформациями выра­ жается в частном виде, и материал одновременно является упруго и пластически несжимаемым, так как в выражение (4.16) входит только тепловое расширение. Вопросы, касаю­ щиеся пропорционального нагружения в деформационной тео­ рии термопластичности, рассматривались Ю. Н. Шевченко [265].

Деформационная теория термопластичности имеет опреде­ ленные преимущества при решении технических задач, а имен­ но наличие прямой зависимости напряжения от деформации и возможности развивать общие методы решения для произ­ вольного упрочнения. Однако при решении задач и обсужде­ нии полученных результатов необходимо учитывать неспособ­ ность этой теории описывать непропорциональное нагружение, т. е. случай, когда компоненты напряжения не подчиняются условию (4.16), а также свойственные этой теории ограниче­ ния, касающиеся малости перемещения. При циклических теп­ ловых полях и неизменных механических нагрузках требова­ ния (4.16), по-видимому, редко удовлетворяются.

На основе теории малых упругопластических деформаций А. А. Ильюшин и П. М. Огибалов [106] учли изменения струк­ туры материалов, подвергавшихся облучению нейтронами. Этот вопрос подробно рассмотрен в работе В, С. Ленского [142]. Если через N{x,t) обозначить дозу облучения, то соот­ ношения (4.8) и (4.11) соответственно примут вид

уравнений термопластичности, между ними существует важ­ ное различие, заключающееся в том, что изменения объема ф(АО за счет облучения являются необратимыми (распуха­ ние). Условие текучести (4.4) зависит в данном случае от об­ лучения. Следствием этого являются эффекты, аналогичные изотропному деформационному упрочнению. По данному воп­ росу имеются обзоры [142, 195]. В [44] опубликованы экспери­ ментальные результаты по текучести облученных материалов,

4.3. Методы решения

Квазистатический анализ напряжений в несвязанной тео­ рии термопластичности сводится по существу к решению за­ дач для неоднородных тел с фиктивными массовыми силами. Определяющие соотношения приводят к системе нелинейных дифференциальных уравнений, поэтому ниже уделяется вни­ мание технике вычислений. Хотя соответствующие процедуры обычно разрабатываются для решения отдельных частных за­ дач, тем не менее можно наметить некоторые общие схемы вычислений.

В деформационной теории пластичности для анализа на­ пряжений широко используется метод упругих решений, раз­ работанный А. А. Ильюшиным [103]. Названный метод в ка­ ждом приближении состоит в решении задачи неоднородной теории упругости. С этой целью уравнения поля для процесса нагружения выражаются «в перемещениях». В нулевом при­ ближении принимается решение линейной термоупругой за­ дачи для неоднородного тела с заданными граничными усло­ виями при данной интенсивности поверхностной нагрузки. Если известны деформации, согласно (4.12) можно вычислить эквивалентные деформации. Далее, когда в какой-либо точке возникает текучесть, секущий модуль в (4.9) ф-1 Ф 2р при о = со (ёу, 0)=т^ 0. Соотношение напряжения — деформации для рассматриваемого материала дается, например, выраже­ нием (4.16), следовательно, можно определить секущий мо­ дуль. Это позволяет найти из закона Гука соответствующее напряжение, скажем Ч1*//. Если нулевое приближение является точным, будет справедливо равенство оц = ЧО/. Если же это приближение не является точным, то ищется следующее при­ ближение, при котором значение Чг,*/ рассматривается как ис­ точник фиктивных массовых сил ггц и поверхностных нагрузок qly определяемых как pm* з= Чr//,/, qi = Чг///г/, где rij — внеш­ няя нормаль к граничной поверхности тела.

Для п-го шага получено следующее уравнение:

(Я + р) u ^ kl + рУ2ы("> — (ЗЯ + 2р) (х0 t = рmjn" 1)> (4.18)

оно отличается от соотношения термоупругости членом, содер­ жащим фиктивные массовые силы. Это уравнение нужно ре­ шить, чтобы определить модифицированные краевые условия:

[2це<"> + №$ои — (ЗА + 2ц) абсг,,] /г, = р, + qf-'K (4.19)

Модификация состоит в введении соответствующих qi, вы­ званных фиктивными массовыми силами, полученными, из пре­ дыдущего приближения. На каждом последующем шаге иепользуются методы линейной термоупругости. Предполагается,

что эта процедура является сходящейся, т. е. Чnt?~*air Если в некоторой точке происходит разгрузка, т. е. dei < 0, то ис­ пользуется соотношение (4.10).

Эта пошаговая процедура была вкратце представлена в [143]. Изложение, учитывающее зоны разгрузки, и примеры, показывающие сходимость метода, содержатся в [265]. При­ меры рассматривались в [263]. Приближенные методы для случая повторных нагружений обсуждались Ю. Н. Шевченко [268].

Известно несколько модификаций метода упругих решений. Этот метод можно сформулировать «в напряжениях». Тогда в (4.10) со = со (су//, 0). Процедура, относящаяся к такому под­ ходу, была разработана Шорром [269].

В теории малых упруготермопластических деформаций ис­ пользуется и другой метод последовательных приближений — метод переменных упругих модулей. Упругие константы ме­ няются на каждом этапе в соответствии с принятым соотноше­ нием ф(е/) в (4.11). Метод, первоначально предложенный Бир­ гером [10], легко распространяется на случай учета тепло­ вого расширения. Используя на каждом этапе соотношение е/7 = I*ijklokl + а06/у, можно решить линейную термоупругую

задачу для данных граничных условий. Изотропный тензор упругих констант находится для деформаций, определяемых из предыдущего приближения, причем считается, что значе­ ние ф(е,) справедливо для рассматриваемого материала. При нагружении актуальный секущий модуль Юнга и коэффи­ циент Пуассона выражаются, например, в виде

Решив термоупругую задачу при значениях (4.20) и установив для полученного решения ф(е/), определяют новые «постоян­ ные», затем процедуру повторяют до тех пор, пока разность между двумя последовательными решениями становится столь мала, сколь это требуется.

Так как деформация редко бывает однородной, аналитиче­ ские решения виртуально невозможны. При анализе напряже­ ний элементы машины или конструкции разбиваются на ко­ нечное число элементов, и история деформирования каждого из них учитывается надлежащим образом. Этот метод требует значительного машинного времени, однако он прямо ведет к цели. Примеры применения этого метода даны в работах [265, 159, 4, 125].

Метод последовательных приближений для решения задач деформационной теории пластичности был разработан Мен­ дельсоном и Мэнсоиом [171]. Уравнения равновесия и совмест­

ности и нелинейное соотношение между напряжениями и де­ формациями (4.9) приводят к нелинейному дифференциально­ му уравнению, для которого можно получить прямое решение. Вместо того чтобы решать последовательно фиктивные упру­ гие задачи, можно свести задачу к нелинейным интегральным уравнениям и решать их методом последовательных прибли­ жений. Однако этот метод является менее общим, так как ма­ тематически он подходит для одномерных задач. Для компо­ нент деформации можно затем записать явные интегральные уравнения, и задача сведется к разработке соответствующего метода интегрирования. Для малых пластических деформаций сходимость является относительно быстрой. Этот метод объяс­ нен в [170]. Примеры приведены в [172].

Некоторые из рассмотренных выше методов можно рас­ пространить на случай инкрементальных теорий. Например, можно применить метод Мендельсона, если (4.9) -заменить со­ ответствующим соотношением Прандтля — Рейсса.

Метод переменных упругих модулей был применен для тео­ рии скоростей неизотермической пластичности, предложенной Биргером [10, И] и разработанной Биргером и Демьянушко [12] как развитие теории Прагера [235]. В этой теории закон течения применяется в следующем виде:

экспериментально; Т а означает изменение пластической де­ формации при изменении эквивалентного напряжения о,- при постоянной температуре, а 4х0 — изменение деформации, вы­ званное изменением температуры при постоянном эквивалент­ ном напряжении. Так как о,-= oi(oki), то, заменяя в (4.21) соответствующим образом дифференциалы, получим иную за­ висимость:

где компоненты Ацм и Вц — соответственно переменные «уп­ ругие» модули и температурные модули, которые зависят от фактических значений at и 0.

Записав остальные уравнения поля в скоростях, можно решить систему определяющих соотношений относительно приращения нагрузки и затем вычислить значения Ацм, кото­ рые используются на следующем шаге вычислений. Следова­ тельно, на каждом этапе, как при нагрузке, так и при раз­ грузке, решается краевая задача анизотропной упругости, учитывающая предварительно накопленную пластическую де­ формацию. Детали процедуры вычисления и алгоритмы для модулей даны в [265]. Примеры рассматривались в [122]

При т > Ti пластическая зона будет распространяться на­ ружу от внутренней поверхности. В пластической зоне задача определения напряжений является статической, так как урав­ нения (4.24) и (4.27) дают возможность найти ог и atp, под­ чиняющиеся требованию непрерывности ог на упругопласти­ ческой границе г = рь В упругой зоне Pi ^ г ^ 1 напряжения даются упругим решением.

Дальнейшее повышение температуры внутренней поверх­ ности приводит к появлению другой пластической зоны. При Р < 2е,/з эта зона возникает на внешней поверхности, так как левая часть (4.27) достигает максимума при температуре

Соответствующее сочетание пластического и упругого реше­ ний с увеличением г для р = 2 приводит к распределению на­ пряжений, показанному на рис. 13.

Следовательно, она уменьшается до нуля прит->оо, р, = р2=

Этот простой пример приведен для того, чтобы показать, как один лишь нагрев может привести к текучести и каковы особенности этого случая. Детали такого решения даны Коупером [34]. Решение относится к очень медленному нагреву,

т->0, и не зависит от типа применяемой теории пластичности,

азависит лишь от наличия необратимой деформации (см. так­ же [107]). Снятие внутреннего нагрева создает переходное по­ ле напряжений и в конечном счете приводит к возникновению остаточных напряжений. Переходим к анализу более реали­ стичных ситуаций переходных состояний свойств текучести, зависящих от температуры и остаточных напряжений.

Схема анализа переходных напряжений будет представ­ лена на примере задачи об упругопластической сфере радиуса

В.Сфера первоначально нагрета до температуры 0О, а затем охлаждается. Поле температуры определяется уравнением теплопроводности (4.1). Поэтому поле напряжений будет за­ висеть от времени. Напряженное состояние зависит от гранич­ ных и начальных условий, налагаемых на уравнение теплопро­ водности. Так как сфера была нагрета так, что развивались

Его интеграл зависит от среднего значения температуры 0 сферы текущего радиуса R и имеет вид

U(R, t) — aR{Q — 0О),

справедливо условие текучести (4.27); тогда (4.24) можно проинтегрировать. Учитывая, что к сфере не приложены меха­ нические нагрузки, разность напряжений, входящая в (4.27), равна

Если для заданной сферы радиуса R правая часть приведен­ ного выше равенства с течением времени возрастает, то на этой сфере имеет место процесс нагружения. В некоторый момент времени t = t\ возникает текучесть, причем

Частицы, расположенные на этой сфере, становятся вновь уп­

можно провести два семейства кривых, изображающих поло­ жения упругопластических границ, соответствующих возник­ новению текучести и упругого разгружения соответственно. Таким образом, с течением времени пластический фронт про­ ходит через частицу в одном направлении, а затем возвра­ щается в обратном направлении. На рис. 14, согласно Пар-

больше, чем выше начальная температура 0Оперед охлажде­ нием. Остаточные напряжения возникают вследствие прохо­ ждения пластического фронта.

Из рис. 14 видно, что разгрузка у поверхности начинается в тот момент, когда через нее проходит фронт текучести, т. е. при / = 0. В этом состоит особенность рассматриваемого гра­ ничного условия для уравнения теплопроводности: перенос теп­ ла через поверхность не допускается, поэтому температура по­ верхности равна температуре окружающей среды. В против­ ном случае кривая разгрузки, обозначенная на рисунке через т], проходила бы при R = В через t > 0. Форма и глубина