книги / Проблемы теории пластичности и ползучести

реально существующих возмущений (неидеальность условий опирания, эксцентриситет приложения нагрузки, случайные технологические отклонения, неоднородность материала) че­ рез некоторое конечное время все равно выпучится. Здесь речь идет уже об устойчивости прямолинейной формы равно­ весия стержня в условиях ползучести. Определение критиче­ ского времени для прямого стержня в условиях ползучести является задачей устойчивости (creep stability). Хотя техника решения этой задачи для стержней та же, что и для задачи выпучивания, так как для расчета критического времени вво­ дится некоторое начальное возмущение (обычно это началь­ ный прогиб) и решается задача о выпучивании, но результа­ том является оценка временного интервала устойчивости пря­ молинейного стержня.

Для пояснения этой трактовки рассмотрим пример [120]. Пусть ось сжатого шарнирно-опертого стержня имеет поло­ гую S-образную форму. В процессе ползучести развитие этой формы, которую можно назвать основной формой движения, завершится выпучиванием, и можно определить соответствую­ щее критическое время. Но в реальных условиях такой стер­ жень может выпучиться и по синусоидальной форме с одной полуволной. Если специально ввести в расчет некоторые на­ чальные возмущения этого типа, то критическое время за счет развития возмущенного движения может оказаться меньшим. Основная форма движения оказывается неустойчивой по от­ ношению к рассматриваемому возмущению на меньшем ин­ тервале времени.

Таким образом, различаются две принципиально разные постановки вопроса. В первой исследуется ползучесть основ­ ного состояния, развитие которой может завершиться выпу­ чиванием. Во второй исследуется устойчивость основного со­ стояния по отношению к некоторым возмущениям. Отличие второй постановки от первой состоит в специальном введе­ нии в расчет возмущений.

Исследование устойчивости равновесия при неограничен­ ной ползучести сводится к исследованию свойств возмущен­ ных движений на конечном интервале времени. При этом интервал, в котором состояние равновесия можно считать ус­ тойчивым, зависит от характера и величины вводимых в рас­ чет возмущений. Рассматриваемые возмущения должны быть ограничены. Практически задача при этом сводится к рас­ чету зависимости от времени перемещений системы, имеющей некоторые детерминированные начальные отклонения от идеальной формы или от формы, соответствующей основному движению, и определению значения времени, при котором достигаются относительно большие перемещения или скорости

перемещений системы. Это значение времени и считается кри­ тическим для исходной основной формы движения.

В задаче устойчивости прямолинейной формы равновесия сжатого стержня в условиях ползучести рассматриваются возмущенные движения стержня при действии возмущений, в качестве которых обычно принимают начальные искривления стержня. В возмущенных движениях (зависимостях прогиба от времени) (рис. 1) каждому из значений амплитуды началь­ ного прогиба Wi соответствует конечное значение времени //, при котором скорость роста прогиба становится сколь угодно большой (или значение прогиба превосходит заданное значе­ ние, или достигается некоторое предельное значение напряже­ ний, или выполняется некоторый иной критерий). Существует

такое значение времени /*, что при возмущениях, удовлетво­ ряющих условию w < w*, состояния стержня для любого из вынужденных движений достаточно мало отличаются от не­ возмущенного прямолинейного состояния стержня. Это время t* и есть критическое время, определяющее интервал устойчи­ вого равновесия сжатого прямолинейного стержня в условиях ползучести.

Следует заметить, что значение критического времени ока­ зывается существенно зависящим от величин, вводимых в

расчет возмущений. Такой путь решения задачи устойчивости в условиях ползучести является следствием необходимости учитывать физическую, а в ряде случаев и геометрическую нелинейность задачи. Известное упрощение достигается бла­ годаря тому, что практически оказывается возможным рас­ сматривать достаточно узкий класс возмущений — возмуще­ ния наиболее правдоподобного и в известном смысле наихуд­ шего класса. Это означает, что сами возмущенные решения должны быть устойчивы по отношению к малым возмуще­

ниям иного типа. Для сжатых стержней в большинстве слу­ чаев можно рассматривать возмущения в виде начального прогиба, форма которого соответствует форме выпучивания упругого стержня при наименьшем значении эйлеровой силы. Так, для сжатого шарнирно-опертого стержня значение кри­ тического времени при задании начального прогиба в виде одной полуволны синусоиды мало отличается от критического времени, получаемого при удержании высоких гармоник в- выражении начального прогиба [280].

Характерный пример, когда приходится рассматривать бо­ лее широкий класс возмущений, — это случай сжатия цилин­ дрической оболочки. Исследование устойчивости безмоментного состояния в условиях ползучести по отношению к воз­ мущениям различного вида показывает, что критическое время, получаемое при введении в расчет осесимметричного начального прогиба, может заметно отличаться от критиче­ ского времени при удержании в выражении для начальногопрогиба некоторой несимметричной составляющей [90].

ВЫПУЧИВАНИЕ СТЕРЖНЕЙ И ПЛАСТИН

Для сжатых стержней критическое время определяется ре­ шением задачи о продольно-поперечном изгибе стержня с на­ чальным прогибом при нелинейной ползучести. Техника реше­ ния таких задач, рассматриваемых в большом числе работ,,

кнастоящему времени разработана достаточно хорошо.

Вранних работах исследования проводились на модели стержня в виде идеализированного двутавра с жесткой на сдвиг стенкой. Такую модель при степенном законе ползуче­

сти р = Аоп (п = 3) рассматривали Кемпнер и Хофф в 1952 г. [234], Либов [266] учел в выражении скоростей дефор­ маций ползучести упругую деформацию и упрочнение. Реше­ ние Хоффа уточнил Одквист [274], который на той же модели приближенно учел вклад от неустановившейся ползучести. Критическое время при этом уменьшилось. Халт [252] допол­ нил схему Хоффа — Одквиста учетом упругой деформации.

При продольно-поперечном изгибе двутавровой модели стержня в одной из полок с некоторого момента времени на­ чинается разгрузка. Определение критического времени с уче­ том разных скоростей ползучести в полках при а > 0 и <т < 0 провел Хофф [235]. Вёбеке [301], анализируя решения [274, 235], обнаружил, что используемые соотношения учитывают как мгновенную упругопластическую деформацию, так и де­ формацию установившейся ползучести. Учет мгновенной пла­ стической деформации при росте напряжения в одной из полок в процессе выпучивания приводит к уменьшению.

эффективной жесткости стержня (определяемой приведенным модулем Кармана), и при определенном значении прогиба скорость его неограниченно возрастает, так что происходит выпучивание.

В связи с тем что величина прогиба стержня к критиче­ скому моменту времени зависит только от мгновенных упруго­ пластических характеристик, Хофф [237] предложил при его •определении исходить из расчетов времени, необходимого для накопления такого прогиба при данном законе ползучести. Критическое значение прогиба рассчитывается на основе кри­ вых мгновенного упругопластического деформирования дан­ ного материала при данной температуре. Та же идея крити­ ческой амплитуды прогиба, накапливаемого к моменту выпучивания сжатого стержня в условиях ползучести, выска­ зывалась А. В. Геммерлингом [36]. Сопоставление этой теории с данными эксперимента проводилось в [205, 203].

Следует отметить, что для стержней сплошного сечения, в которых, в отличие от идеализированного двутавра, в про­ цессе ползучести вследствие статической неопределимости происходит перераспределение напряжений по сечению, эта схема оказывается неприемлемой. Этот вопрос явился пред­ метом специального обсуждения в работе С. А. Шестерикова [174] на примере стержневой модели с сечением из трех по­ лок. Заметим, что учет мгновенной пластической деформации при определении критического времени не получил заметного распространения. По-видимому, это объясняется тем, что этот учет не так уж существенно сказывается на значении крити­ ческого времени, и результаты на основе соотношений, учиты­ вающих линейную упругость и нелинейную установившуюся ползучесть, получаются приемлемыми.

Этот вопрос специально обсуждался в работе Г. С. Глуш­

было показано существование критического прогиба, при ко­ тором скорость поперечных перемещений стремится к беско­ нечности. Значение критического прогиба зависит от среднего напряжения и гибкости. Критический момент времени и здесь можно определять моментом, когда прогиб достигает некото­ рой заданной величины [135]. Теоретическому и эксперимен­ тальному обоснованию возможности пренебрежения мгно­ венной пластической деформацией посвящена также ра­ бота [262].

Решения Кемпнера и Хоффа [234, 235], Либова [266], Вёбеке [301] рассмотрены в книге Боли и Уэйнера [196]. Отме­ тим обзорную работу Хоффа [237], в которой нашли отраже­ ние эти вопросы.

Вбольшинстве работ задачи выпучивания стержней в ус­ ловиях ползучести при заданном начальном прогибе реша­ лись при тех или иных упрощающих предположениях. Как правило, несмотря на заметные прогибы стержня, исполь­ зуется приближенное выражение для кривизны. Жичковский, рассмотревший ряд задач продольного изгиба стержней с на­ чальным прогибом из материала с неограниченной, но линей­ ной ползучестью (материал типа Максвелла) [311], исследовал вопрос о погрешности, вносимой приближенным выражением для кривизны [312]. Для стержня с шарнирным опиранием концов приближенное выражение оказывается приемлемым до прогибов, составляющих 16% длины стержня.

Вряде работ при решении задачи выпучивания стержня задается вид функции прогибов (для шарнирно-опертого стер­ жня это обычно полуволна синусоидй), и уравнение выпол­ няется только в одной средней точке (метод коллокации), или

куравнению применяется процедура Бубнова — Галеркина.

Для стержней реального поперечного сечения расчет кри­ тического времени в условиях ползучести становится сложнее. Верхняя и нижняя оценки критического времени для стерж­ ней прямоугольного сечения были даны в [195]. Численные методы расчета развивали Либов, В. И. Ванько и С. А. Ше­ стериков [22], И. И. Поспелов [124]. Различные варианты реше­ ния задач ползучести стержней с начальным прогибом рас: смотрены в работах С. А. Шестерикова [170] (здесь для стер­ жня идеализированного двутаврового сечения обсуждаются особенности, вносимые учетом упрочнения), Стоуэлла и Уэя [298] (здесь использовался для ползучести закон гиперболи­ ческого синуса).

Исследование влияния формы поперечного сечения на пол­ зучесть продольно сжатого стержня проводил Келедайн [201].

В работе Пателя [279] проводились исследования при раз­ личных значениях показателя ползучести.

Продольный изгиб сжатого трехслойного стержня с на­ чальным прогибом с учетом нелинейной ползучести внешних слоев и ползучести заполнителя при сдвиге рассматривался в [259]. Критическое время здесь предлагается определять как резким возрастанием скорости прогиба, так и достижением уровня заданных напряжений или деформаций.

Ряд работ [147, 292, 34] по исследованию продольного из­ гиба стержней в условиях ползучести был выполнен с приме­ нением вариационных методов, допускающих независимое за­ дание характера распределения напряжений и смещений по

толщине температуры проводилось в [210]. Переменность тем­ пературы по длине учитывалась в [258]. Влияние на критиче­ ское время случайных колебаний температуры стержня иссле­ довалось в [309].

Решения задач выпучивания сжатых стержней с заданным начальным прогибом и расчет критического времени проводи­ лись в значительном числе работ. С учетом мгновенной пла­ стической деформации получил решение В. С. Наместников [118]. Разные законы ползучести в зоне догружения и раз­ грузки вводил И. И. Музафаров [115]. Стержни из материала, не сопротивляющегося растяжению, рассматривали И. М. Ба­ гиров и С. А. Шестериков [6], Р. С. Санжаровский [150]. Сжа­ тие стержня на упругом основании исследовал В. Ф. Во­ робьев [33]. Составной стержень из упругого элемента и эле­ мента с ползучестью исследовал В. Л. Благонадежин [10]. Гипотеза о критическом прогибе для стержня прямоуголь­ ного сечения рассматривалась Е. Л. Левитасом [102]. Метод последовательных приближений типа метода упругих реше­ ний применялся И. И. Поспеловым и Н. И. Сидоровой [125]. Смешанный вариационный метод использовал М. А. Задоян [52]. Стержень прямоугольного сечения рассмотрен А. М. Локощенко и С. А. Шестериковым [108]. Отметим обзор тех же авторов [107], в котором было рассмотрено большинство работ

сжатого стержня с начальным прогибом в условиях ползуче­ сти применялась к расчету стержня, заключенного с некото­ рым зазором в трубку. Эта задача имеет значение для рас­ чета стержней реакторов. Решение такой задачи с учетом пе­ рераспределения сжимающего усилия между стержнем и трубкой в процессе ползучести было дано в [179], составной сжатый стержень в трубке рассматривался в [194], ползу­ честь сжатого стержня с учетом прилегания стержня к труб­ ке исследована в [217].

Та же схема расчета с заданием начальных отклонений от идеальной формы распространяется и на задачи определе­ ния критического времени для сжатых и изгибаемых элемен­ тов, у которых в процессе ползучести развиваются изгибнокрутильные деформированные формы. Такая задача для сжатой трубы с открытым контуром поперечного сечения, имеющим одну ось симметрии, рассматривалась в [265]. Для решения используется вариационный метод [292]. Крутильная форма выпучивания сжатой пластинки исследовалась на стержневой модели в [206]. Здесь же получено решение для бокового выпучивания балки с высокой стенкой при чистом изгибе в условиях ползучести.

Решения задач выпучивания сжатых пластин с начальным прогибом в условиях ползучести [264, 242] при наличии за­ крепления по контуру не приводит к неограниченному росту скорости прогиба. Жесткость пластины в процессе ползуче­ сти начинает возрастать. Для определения критического вре­ мени здесь необходимо задавать предельные уровни прогибов или напряжений.

Определяющее значение в расчете устойчивости прямоли­ нейного сжатого стержня в условиях ползучести имеет вводи­ мое в расчет возмущение: начальный прогиб той или иной формы и его амплитуда. Если вопрос о форме начального прогиба более или менее ясен, то вопрос о величине ампли­ туды, зависимость критического времени от которой носит логарифмический характер, сложнее. Никаких теоретических соображений для этого пока нет. Представляется, что этот па­ раметр носит некоторый обобщенный характер. Фактически с его помощью должны учитываться возможные отличия реального стержня, о которых говорилось выше, от идеализи­ рованной расчетной схемы прямолинейного стержня. Такой условный детерминистский учет возмущений, носящих стати­ стический характер, исключает, вообще говоря, определение этого возмущения — начального прогиба — простым измере­ нием. В настоящее время обычный путь определения допу­ скаемых значений этого параметра состоит в проведении экс­ периментального определения критического времени и нахо­ ждении эффективных значений этого параметра путем срав­ нения данных эксперимента и результатов расчета.

ВЫПУЧИВАНИЕ ОБОЛОЧЕК

Концепция расчета устойчивости в условиях ползучести на основе анализа процесса ползучести конструкции с началь­ ными возмущениями (отклонениями от идеальной формы) естественным образом распространяется на задачи устойчиво­ сти оболочек. Отличие состоит в том, что в возмущенном дви­ жении достижение предельного состояния (выпучивания) мо­ жет быть обусловлено учетом как физической, так и геоме­ трической нелинейности задачи.

Обсудим сначала технику решения задач по определению критического времени для оболочек в условиях ползучести, когда начальные прогибы считаются заданными. Во многих работах решения задач выпучивания цилиндрических оболо­ чек как задач о ползучести оболочек с начальными возмуще­ ниями получены без учета геометрически нелинейных сла­ гаемых в выражениях для деформаций и без учета упругих составляющих в деформациях. С этой точки зрения Хофф

[236, 246] рассмотрел задачу об изгибе оболочки моментами. Критическое время здесь определялось резким возрастанием скорости сплющивания оболочки (эффект Бразье).

Задача о выпучивании цилиндрической оболочки или коль­ ца под действием внешнего давления рассматривалась в ра­

дится начальное отклонение формы поперечного сечения обо­ лочки от круговой. В работах [21, 23] принят степенной закон установившейся ползучести. Поперечное сечение аппроксими­ руется дугами окружностей, радиусы которых меняются в процессе сплющивания. Критическое время выпучивания, как и для стержней, зависит от начального эксцентриситета логарифмически. В работе [23] учитываются, в отличие от [21], не только деформации изгиба, но и деформации периметра кольца, что имеет значение при задании малых начальных эксцентриситетов. В [182, 184] учитывается переменность дав­ ления. В [244] при степенном законе ползучести рассматри­ вается оболочка в виде двухслойной модели. В [23] сравни­ ваются значения критического времени, ^определяемого по различным схемам [21, 23, 244]. Начальные отклонения в этих сравнительных расчетах считаются заданными.

С учетом упругих деформаций задача о выпучивании обо­ лочки под действием внешнего давления рассматривалась в работах Уэя [302], Уэя и Грегори [303], Серпико [294], Барг­ мана [183]. В [303, 183] была принята двухслойная модель. В [294] использовался вариационный метод и принималось до­ пущение о линейном распределении напряжений по толщине оболочки. Вариационный метод в той же задаче применялся Малмбергом [268]. В [183] показано, что критическое время существенно зависит от переменной составляющей внешнего давления. Критическое время выпучивания цилиндрической оболочки с начальной эллиптичностью под действием внеш­ него давления при учете неравномерного нагрева рассчитывал Пэн [275]. Здесь использовался шаговый метод по времени в сочетании с методом сеток.

Экспериментальные результаты по выпучиванию цилин­ дрических оболочек из стали под действием внешнего давле­ ния и осевого сжатия в условиях ползучести имеются в [188], цилиндрические и конические оболочки на внешнее давление испытывались в [297].

Большое число исследований задачи выпучивания цилин­ дрической оболочки с начальным отклонением от идеальной формы под действием внешнего давления в условиях ползу­ чести было проведено С. А Шестериковым, А М. Локощеико и В. В. Кашелкиным [63, 64, 105, 106]. Рассмотрены различ­

ные варианты задания начальных неправильностей, учета ко­ нечной длины, разного закона ползучести, продольных ребер. Задачи решались как с учетом, так и без учета упругих де­ формаций. Приводятся данные эксперимента. Обзор этих ис­ следований был дан в [106].

Оболочка с начальными неправильностями при продоль­ ном сжатии с давлением рассматривалась Сундстремом [299].

Ряд задач выпучивания оболочек при ползучести был рас­ смотрен в работах Ю. М. Волчкова и Ю. В. Немировского [27—30]. В этих исследованиях критическое время опреде­ ляется бесконечным возрастанием прогиба. Геометрическая нелинейность и упругие деформации в выражениях для ско­ ростей деформаций не учитываются. Основным является учет физической нелинейности в варианте степенного закона пол­ зучести. Осесимметричное выпучивание цилиндрической обо­ лочки при продольном сжатии (двухслойная модель) рассма­ тривалось в [27]. Искривления образующих оболочки появ­ ляются здесь за счет стеснения окружных деформаций в торцевых сечениях.

Оболочка, подкрепленная продольными и поперечными ребрами, рассматривается как многослойная в работе [28]. В осесимметричной задаче ползучести эффект выпучивания достигается за счет учета физической нелинейности в выра­ жениях для скоростей ползучести. Здесь отклонение от идеальной формы появляется за счет ползучести в окружном направлении под действием внутреннего давления, которая приводит к некоторой бочкообразности формы из-за стесне­ ния на торцах. Решение задачи строится с помощью вариа­ ционного уравнения [137].

Двухслойная модель цилиндрической оболочки при дей­ ствии внешнего давления и продольного сжатия рассматрива­ лась в [29]. В задаче о выпучивании вводятся некоторые начальные отклонения формы от идеальной. Используется ва­ риационное уравнение [138]. Результаты расчетов критиче­ ского времени при заданных начальных отклонениях сравни­ ваются с результатами из [21] и [244].

Трехслойная цилиндрическая оболочка с податливым на сдвиг заполнителем при продольном сжатии и внешнем дав­

линдрической оболочки при продольном сжатии. Выпучива-- ние оболочки в этих работах обусловлено учетом физической нелинейности. Оболочку с периодическим симметричным на­ чальным прогибом при осесимметричном деформировании рассматривал Хофф [240]. Симметричное деформирование обо­ лочки с начальным прогибом, обусловленным стеснением

торцевых сечений оболочки опорами, изучали ПиттнериХофф [283], Дайамант [209], Самуэлсон [290], Мураками и Танака [272]. В трех последних работах учитывались упругие дефор­ мации. Двухслойная модель цилиндрической оболочки со стеснением торцов при сжатии и внутреннем давлении рас­ сматривались у Самуэлсона [289], при осевом сжатии задача для такой модели с учетом упругих деформаций решалась в [218].

Экспериментальная оценка результатов работы [240] была дана в работе Иваты [254]. Испытывались на сжатие цилин­ дрические оболочки из дюралюмина. Расчет критического вре­ мени по [240] дает завышенные значения.

При исследовании ползучести тонких оболочек и решении вопросов устойчивости может иметь значение учет нелиней­ ных слагаемых (квадратов углов поворота) в выражениях для деформаций. Одна из первых работ в-этом направлении была выполнена А. С. Вольмиром и П. Г. Зыкиным [31, 32]. Здесь рассматривалась квадратная цилиндрическая панель с начальным прогибом при продольном сжатии. Для решения задачи о прощелкивании панели в условиях ползучести ис­ пользуется приближенное решение нелинейной упругой за­ дачи для панели с начальным прогибом. В процессе ползуче­ сти этот начальный прогиб растет и рассчитывается с по­ мощью некоторого приближенного приема, не учитывающего перераспределения напряжений в процессе ползучести. За счет переменного начального прогиба меняется значение верх­ ней критической нагрузки, определяемой уравнениями упру­ гой задачи, соответствующее ее прощелкиванию. Когда ве­ личина прогиба достигает значения, при котором соответ­ ствующая верхняя критическая нагрузка для упругой панели станет равной действующей нагрузке, произойдет прощелкивание панели. Существенным результатом этой работы яви­ лось определение критического времени, по истечении кото­ рого оболочка скачком перейдет в новое состояние. Учет пе­ рераспределения напряжений в процессе ползучести в этой схеме при использовании, как и в [32], теории старения про­ водился в работе [79]. Аналогнчныезадачи для сжатой цилин­ дрической панели при нелинейной ползучести рассматрива­ лись в [60, 95].

Для тонких ортотропных весьма пологих оболочек из ма­ териала с линейной наследственностью система уравнений с учетом геометрической нелинейности была получена в рабо­ тах [69, 72]. Применением преобразования Лапласа повремени система из двух уравнений относительно функции напряже­ ний и прогибов приводится к компактному виду. Для квад­ ратной свободно опертой цилиндрической панели при дей-