книги / Проблемы теории пластичности и ползучести
..pdf195.Ponter A. R. S. — Trans. ASME, J. Appl. Mech., 1971, No. 2; русский перевод: Прикл. механ. — М.: Мир 1971, № 2, 145— 149.
196.Ponter A. R. S. — Trans. ASME, J. Appl. Mech., 1972, No. 4; русский перевод: Прикл. механ. — М.: Мир, 1972, № 4, 98— 104.
197.Ponter A. R. S. — Trans. ASME, J. Appl. Mech., E40 (1973), No. 2,
589—594; русский перевод: Прикл. механ., М.: Мир, 1973, № 2.
198.Ponter A. R. S .— Internat. J. Solids and Structures, 11 (1975), 1203—
1210.
199.Ponter A. R. S. — In: 3rd Int. Conf. Struct. Mech.-React. Technol.,
200. |
London, 1975. V. 5. Part L, Amsterdam e. a., 1975, |
L 5.2/1—L5.2/8. |
||
Ponter |
A. R. S., Leckie F. A. — Trans. ASME, E41 |
(1974), |
No. 4 941— |
|
201. |
946. |
W. Problem types in the theory of perfectly |
plastic |
materials.— |
Prager |
||||
J.Aero. Sci., 15 (1948), 337—341.
202.Prager W. — Britisch Welding J., 3 (1956), No. 8, 355—359; русский
203. |
перевод: сб. Механика, |
1957, № 3, (43), |
104— 111. |
delle |
costrutioni |
||||||||
Prager |
W. — In: Symp. |
su |
la |
plasticita |
nella |
scienza |
|||||||
|
in onore de |
Arturo Danusso, |
Varenna, |
Set. |
(Bologna, |
1956).— 1957/ |
|||||||
|
p. 239—244; русский перевод: сб. Механика, |
1958, № |
5 (51), 121— 125. |
||||||||||
204. |
Prager |
W. — J. Optimiz |
Theory |
and Appl., |
6 |
(1970), |
No. |
1, |
1—21. |
||||
205. |
Prager |
W. |
Einfunrung |
in |
die |
Mechanik |
ideal plastischer |
Stoffe.— |
|||||
|
ISD-Ber., 1976, No. 196, |
77 |
S. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
206.Procter E., Flinders R. F. — Nucl. Engng. and Design, 7 (1968), No. 1, 73—83.
207.Sampayo V. M., Turner С. E. — In: 2nd International Conference on Pressure Vessel Technology. — San Antonio, 1973, p. 1—24.
208.Save M. — Rev. M., 20 (1974), No. 1, 37-42 .
209.Save M. A., Massonnet С. E. Plastic analysis and design of plates,
shells |
and disks. — Amsterdam — London: |
North-Holland Publ, |
Co.. |
||
1972, |
478 |
pp. |
Copenhagen, 1967. Theory of |
thin |
|
210. Sawczuk |
A. — In: IUTAM Symp. |
||||
shells. — Berlin — Heidelberg — New |
York: |
Springer-Verlag, |
1969, |
||
p.328—340.
211.Sawczuk A. — J. Mech. and Phys. Solids, 17 (1969), 291—301.
212. Sawczuk A. — Nuclear Engng. and Design, 28 (1974), 121— 136.
213.Sawczuk A., Janas M., Konig J. A. — Analiza plastyczna konstrukcji.— Warszawa: Zakl. nar. im Ossolinskich. Polsk. Akad. Nauk, 1972.
214.Shibata M., Nakamura T., Yoshida N., Morino S., Nonaka T., Wakabayashi M. — In: 5th World Conference on Earthquake Engineering. — Roma, 1973.
215.Stentz R. N. — In: Cyclic Stress — Strain Behaviour — Analysis, Expe rimentation and Failure Prediction. Symposium ASTM (Bal Harbour, Fla., Dec., 1971). — ASTM, May, 1973.
216.Swaroop A. V. A., McEvily A. J. Jr. — In: Fatigue at Elevated Tem peratures, ASTM Special Technical Publication 520, Philadelphia, Pa. — ASTM, 1973, p. 563—572.
217.Symonds P. S., Neal B. G. — J. Franklin Inst., 252 (1951), 383—407, 469—492.
218.Thierauf G. — Bautechn., 49 (1972), No. 6 , 210—213.
219.Vechet J. — Strojirenstvi, 26 (1976), No. 10, 607—611.
220.Vejvoda S. — Strojirenstvi, 23 (1973), No. 7, 395—400.
221.Vitiello E. — Meccanica, 7 (1972), No. 3, 205—213.
222. |
Waszczyszvn |
Z .— In. |
Trans of the |
3rd |
Intern. |
Conf. |
on Structural |
|||
|
Mech. in |
Reactor Technology. — London, |
1975, |
V. |
5, part L, L 5/11. |
|||||
223. |
Williams |
J. |
J., Leckie |
F A. — Trans. |
ASME, |
J. |
Appl. |
Mech., |
Ser. E, |
|
|
1973, No. |
4; |
русский перевод: Прикл. |
механ., |
М.: |
Мир, |
1973, № |
4. |
||
ПРИНЦИП ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ГРАНИЦ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В УСЛОВИЯХ ПРИСПОСОБЛЯЕМОСТИ КОНСТРУКЦИЙ,
ПОДВЕРЖЕННЫХ ЦИКЛИЧЕСКИМ НАГРУЗКАМ')
М. Капурсо
Рассматриваются континуумы или конструкции из упругоидеалыюпластического материала, подверженные циклическим нагрузкам, изме няющимся в пределах, при которых обеспечивается приспособляемость. Предлагается теорема для определения границ остаточных перемещении в любой точке. Обсуждаются некоторые числовые примеры.
1. ВВЕДЕНИЕ
Проблема анализа упругопластических конструкций, под верженных действию нескольких статических нагрузок, каж дая из которых может независимо изменяться в определенных пределах, впервые изучалась Меланом [1].
В статье Мелана было доказано, что полные деформации конструкции могут неограниченно возрастать даже при таких условиях нагружения, когда ни одна комбинация нагрузок не вызывает мгновенного пластического разрушения. Такой характерный эффект исключается, если и только если пла стические деформации не повторяются после начальных эта пов программы нагружения. Следовательно, поведение кон струкции после достижения некоторых конечных пластиче
ских деформаций может быть чисто |
упругим благодаря |
распределению остаточных напряжений, |
соответствующему |
упомянутым постоянным деформациям. |
Такая конструкция |
называется далее приспособившейся, а наибольшая нагрузка, при которой конструкция может приспособиться, называется «приспособляющей нагрузкой».
В последние годы основное внимание было сосредоточено на определении приспособляющих нагрузок для упругопла
стических конструкций. |
|
||
|
Состояние дел в этом вопросе к 1960 г. охарактеризовано |
||
в превосходном обзоре |
Койтера [2] по теории упругопласти |
||
ческих тел. |
|
|
|
of |
') Capurso Michele. |
A |
displacement bounding principle in shakedown |
structures subjected |
to |
cyclic loads. — International Journal of Solids |
|
and |
Structures, 10 (1974), No. 1, 77—92. |
||
©Pergamon Press, 1974.
©Перевод на русский язык, «Мир», 1979.
Значительный прогресс в практическом применении тео рии приспособляемости был достигнут в последние годы при помощи концепций математического программирования. В этом смысле теория линейного программирования обеспе чила одновременно и эффективный инструмент для числен ных решений, и новую математическую структуру для описа
ния |
некоторых |
особенностей теории приспособляемости |
(см., |
например, |
[3, 4]). |
В |
данный момент единственным важным ограничением |
|
практического применения этой теории является отсутствие общих предельных процедур, которые позволили бы оценить локальные пластические деформации в условиях приспособ ляемости.
Действительно, когда нагрузки, действующие на конструк цию, изменяются в пределах, при которых конструкция при спосабливается, но вне пределов ее упругой работы в началь ных циклах, накопленная деформация, вызванная началь ными циклами пластического деформирования, может оказаться недопустимой.
Таким образом, для реалистической оценки прочности конструкции требуется заранее определить порядок величин таких локальных характеристик, как перемещения или пла стические деформации. К сожалению, эти величины зависят от истории нагружения, которая, как правило, неизвестна. Поэтому мы вынуждены прибегать к процедурам получения предельных оценок.
Некоторые методы получения таких оценок развиты не давно [5, 6] для дискретных моделей конструкций с кусочно линейными поверхностями текучести. В соответствии с ними верхние границы требуемых локальных характеристик могут быть получены путем решения задач математического про граммирования, применение которого может рассматриваться в качестве общей процедуры получения соответствующих оценок для дискретных моделей сплошных сред или кон струкций.
Совсем недавно Понтер [7] установил общий принцип, позволяющий определять верхние оценки для локальных пе ремещений упругопластических конструкций, подверженных переменному нагружению1). В этой работе указанная оценка выражена в виде суммы перемещений, которые имели бы ме сто, если бы конструкция была идеальноупругой, и добавоч ных перемещений, которые могут быть выведены из энергии упругой деформации остаточных напряжений.)•
•) Работа Понтера привлекла внимание автора уже после завершения первого варианта данной статьи.
В данной статье предлагается совершенно иной вывод нового принципа для определения оценок остаточных локаль ных смещений в упругопластической конструкции, подвер женной переменному нагружению. Результат получен с ис пользованием двух вспомогательных утверждений (см.разд. 3
и4), ограничивающих дополнительную пластическую работу
иработу пластического деформирования конструкции при произвольной истории нагружения, начиная от ненапряжен ного состояния и до момента времени т, для которого яв ляется желательным получение соответствующих оценок. Об щий принцип для получения оценок (см. разд. 5) получается при использовании этих результатов для частной программы нагружения, включающей действительную программу нагру жения до момента t = % и последующее «фиктивное нагру жение» от t = т до t = Т
Оценка перемещения выражается, таким образом, в виде суммы двух перемещений, получаемых из энергии упругой деформации двух остаточных напряженных состояний: первое
из них соответствует «фиктивным |
условиям нагружения» |
|
в момент t = T , |
а второе — действительному нагружению от |
|
ненапряженного |
состояния при t = |
0 до момента / = т, для |
которого требуется оценить перемещение.
В разд. 6 обсуждаются два простых примера; как и из вышеупомянутой работы Понтера, из них следует, что полу чаемые оценки вообще не очень точны, но их получение сво дится к простому подсчету, который может дать полезную дополнительную информацию для оценки прочности кон струкции.
Возможные связи с другими более ранними и недавно опубликованными работами в близких областях указываются в тексте и в заключительных замечаниях.
2. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
Рассмотрим континуум объема V с площадью поверхно сти S, подверженный в произвольный момент времени t дей ствию поверхностных сил 7\- на произвольной части S T по верхности 5 и объемных сил Xt повсюду в объеме V.
Предположим, что поведение материала является упру гоидеальнопластическим обычного типа (т. е. справедлив по стулат устойчивости Друккера [8]) и что зависимость между напряжениями и деформациями в упругой области является линейной (т. е. справедлив закон Гука).
Врамках этих допущений действительное перемещение ui
влюбой момент t может рассматриваться как сумма переме щений и*, определенных в предположении идеальной упру
гости при той же нагрузке и зависящих от истории нагруже ния остаточных перемещений uf, вызванных пластическими
деформациями, которые конструкция испытала ранее. Таким образом, имеем
Щ(0 = и? (0 + «?(0- |
(О |
Аналогично действительные напряжения oij(t) и действи тельные полные деформации Sij(t) можно расчленить на сле дующие слагаемые:
° и (0 = |
°Ь (0 + |
аи (0> |
|
e,/ (0 = |
ef/ (0 + |
e?/ (0 + ef/ (0, |
(2) |
где ofj и tfj — чисто упругие напряжения и деформации кон струкции при той же нагрузке, a ofjt ef{ — упругие напряже
ния и деформации, вызванные несовместными пластическими деформациями е^. Тогда очевидно, что для произвольного
момента t должны удовлетворяться следующие условия:
(а) Уравнения равновесия
|
of, |
. + |
l |
X, — 0, |
of, |
. — 0 |
в объеме |
V, |
,о\ |
|
|
Ч |
t |
|
|
tl.l |
|
|
|||
|
|
ofjnl = |
Tjt |
оfin, = 0 |
на ST. |
|
' ' |
|||
(б) |
Условия совместности |
|
|
|
|
|||||
efj = '/2 К / + |
и1 г)’ ги + еГ/= |
V2(«£ ,+u f t) в объеме V, |
(4) |
|||||||
|
|
uf = О, |
uf = О на S — ST. |
|
||||||
|
|
|
|
|||||||
(в) |
Уравнения упругости |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
*и = А,ilhk |
hk* |
eR = |
А |
|
(5) |
||
|
|
|
Ъц — л ijhk^hk’ |
|
||||||
где тензор упругих коэффициентов Ации обладает обычными свойствами симметрии:
A i i h k — A j i h k — A j k n — A h k n - |
(6) |
Как известно, теорема Мелаиа утверждает, что если мо жет быть найдено какое-либо не зависящее от времени распре деление остаточных напряжений ofjy такое, что напряжения
oll{t) = ofl {l) + ofi |
(7) |
в любой момент времени t образуют безопасное напряженное состояние, то конструкция после начального упругопластиче ского деформирования приспособится и при последующих из менениях нагрузки ее поведение будет чисто упругим.
На основе предположения, что конструкция приспособится, можно теперь перейти к доказательству некоторых общих тео рем, которые дадут возможность в дальнейшем установить принцип для оценки перемещений.
3.ТЕОРЕМА О ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ПЛАСТИЧЕСКОЙ РАБОТЕ
Обозначим через Up(т) величину |
|
|
|
|
|
X |
|
X |
|
и р(т) = \ d S ^ t ( (0 и* (/) dt + |
5 dV 5 Xt (/) uf (() dt, |
(8) |
||
S T |
0 |
V |
0 |
|
которая может быть названа «полной дополнительной пласти ческой работой», совершенной на траектории нагружения, на
чинающейся от ненапряженного состояния при t = |
0 и дохо |
||||||||
дящей вплоть до t = т. |
|
|
правую часть |
равенства |
|||||
С помощью уравнений (2) —(4) |
|||||||||
(8) можно переписать в виде |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
X |
|
|
|
X |
|
|
|
ир (т) = \dV |
5 ди (/) е* (/) dt + |
\ d v |
5 ди (/) ef, (/) dt = |
|
|||||
|
V |
О |
|
V |
O |
X |
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
= \ d v \ d* (0 e« (0 d t + \ d v \ au (t) ef, (/) dt |
(9) |
|||||||
|
V |
O |
|
|
V |
O |
|
|
|
после использования условия |
|
|
|
|
|
|
|||
|
J dfy (0 efj ( t) d V = \ of, (0 ef, (t)dV = |
0. |
|
(10) |
|||||
|
V |
|
V |
|
|
|
|
|
|
С учетом уравнений (5) |
равенство |
(9) |
можно записать в фор |
||||||
ме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
UP(т) = -i- |
$ Aim °u to < |
to dV + |
S |
|
to ef/ W d V - |
|
|
||
|
V |
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
- ^ d V ^ a ^ O ^ i O d t , |
(11) |
||||
|
|
|
|
|
V |
0 |
|
|
|
где ou (x), |
of, (T ) , |
ef, ( T ) — компоненты |
полных |
напряжений, |
|||||
остаточных напряжений и пластических деформаций в конеч ной стадии назначенной траектории нагружения.
Теперь можно доказать следующий принцип для оценки величины Up(т);
Теорема I. Если of* представляет некоторое распределе
ние остаточных напряжений, такое, что напряженное состоя ние
о*) (*) = of/ (т) + o f f |
( 1 2 ) |
является безопасным, то дополнительная пластическая работа UP{т) может быть ограничена сверху в соответствии с усло вием
03)
V
Для доказательства этого принципа выразим некоторое до пустимое распределение остаточных напряжений в виде суммы
= ° f/ М + Л а?/ |
( 14) |
и обозначим через R{т) разность |
|
|
|||
|
в д |
= т SА, |
d v ~ v p м - |
<15> |
|
|
|
V |
|
|
|
|
Из уравнений (11) и (15) можно тогда записать |
|
|||
m |
- \ |
b ) d v + \ |
5 |
|
|
|
V |
|
V |
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
5 ои (Т) ef, (т) d V + \ d v \ аи (() ё?, (/) dt. |
(16) |
||
|
|
V |
V |
0 |
|
|
С другой стороны, первый интеграл в правой части равен |
||||
ства (16) можно записать в форме |
|
|
|||
|
\ Да* в* (т) dV = - |
\ Да* в?, (т) dV. |
(17) |
||
|
v |
|
и |
|
|
Соотношение (17) при использовании условия |
|
||||
|
|
Ьа?1= °и(х) — ац(х) |
(18) |
||
преобразуется к ви;Гу |
|
|
|
||
— |
5 К / (т) — otl (т)} ef, (x)dV= |
|
|
(19) |
|
|
V |
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= - |
J dV [о*, (т) ef, (/) dt + |
5 ot] ( T ) ef, ( T ) rfK. |
(20) |
|
V O V
Таким образом, равенство (16) можно окончательно преобра |
||||
зовать к виду |
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
R (т) = 4- S |
А< |
|
к |
(0 - <, (*)} ef/ (0 dt. |
V |
|
V |
о |
<21) |
Поскольку а*у(т) являются, согласно предположению, бе
зопасными напряжениями, то из постулата устойчивости Друккера следует, что второй интеграл в равенстве (21) все гда неотрицателен. Тогда очевидно, что
R(т )> 0 |
(22) |
и, следовательно, теорема I доказана.
Следует заметить, что при кусочно-линейной поверхности текучести теорему I можно непосредственно получить из тео рем Майера [9] об ограниченности дополнительной пластиче ской работы простым отбрасыванием членов, зависящих от упрочнения материала (см. неравенство (14)). Однако в част ном случае идеальной пластичности приведенный вывод яв ляется более общим, поскольку не требует каких-либо особых допущений относительно поверхности текучести, исключая те, которые накладываются постулатом устойчивости Друккера.
В этом смысле интересно отметить, что отыскание наилуч^.
шей верхней границы Up посредством теоремы I, очевидно, сводится к минимизации правой части соотношения (13) при сг^у, подчиняющихся условию, согласно которому напряжен
ное состояние (12) находится внутри поверхности текучести. Указанная выпуклая задача оптимизации имеет близкое сходство с принципом Хаара — Кармана [10] и отличается от последнего только использованием вместо суммарных напря
жений самоуравновешенного напряженного состояния.
Далее, теорема I может рассматриваться как эквивалент ная другому ограничивающему принципу, установленному Ходжем [11]; она также может быть включена как частный случай в контекст недавней работы Понтера и Мартина [12] о связях между деформационной теорией и теорией пласти ческого течения.
4. ТЕОРЕМА О РАБОТЕ ПЛАСТИЧЕСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ
Обозначим через WP(т) величину |
|
X |
X |
Wp (т) = 5 dS \ Tt W й1 (0 d l+ |
\ d v \ x i w (0 dt, (23) |
S T |
о |
v o |
которая может быть названа «работой пластической деформа ции», совершенной на траектории нагружения, начинающейся
от ненапряженного состояния при t = |
0 и заканчивающейся |
|||||
при t = |
т. |
|
|
(2) —(4) правую часть (23) можно |
||
С помощью равенств |
||||||
переписать в виде |
|
|
|
|||
|
|
X |
|
|
|
|
Wp (т) = \ d v \ |
о„ (t) {ef, (0 + ef, (/)} dt = |
|
|
|||
|
V |
о |
|
|
х |
|
|
|
х |
|
|
|
|
= $ dV J of, (t) {ef, (/) + |
ef, (t)} d t = \ d v \ of, (t) ef, (/) dt (24) |
|||||
V |
|
о |
|
у |
0 |
|
после использования зависимостей |
|
|
||||
|
|
|
$of,(/){ef,(0 + ef,(/)}dl/ = |
0, |
||
|
|
f |
V |
r |
|
(25) |
|
|
J of, {t) в* (t) dV = J of, (t) ef, (0 dV = |
0. |
|||
|
|
V |
|
V |
|
|
Теперь можно сформулировать следующий принцип для оцен ки величины Wp (т):
Теорема II. Если можно найти какое-либо не зависящее от
времени распределение остаточных напряжений of,, |
такое, что |
|
напряжения |
of/, |
(26) |
ди (t) = maft (t) + |
||
соответствующие коэффициенту m > |
Г, образуют безопасное |
|
напряженное состояние в любой момент времени t в интервале
0 < / < т , |
(27) |
то работа пластической деформации WP(т) |
может быть огра |
ничена сверху условием |
|
Wр (т) ^ гп — \ 2" \ |
|
г |
|
Для доказательства этого принципа заметим, что из посту
лата устойчивости Друккера вытекает неравенство |
|
{<yiJ( t ) - d ij(t)}efl (t)> 0f |
(29) |
которое при помощи равенств (2) и (26) можно переписать в форме
Интегрируя (30) по всему объему тела и используя ре зультаты равенства (24), приходим ^неравенству
( \ - m ) W p ( 0 + 5 |
{<т« (0 - |
a?,} if, (t)dV > 0, |
(31) |
|
V |
|
|
|
|
которое при помощи очевидного условия |
|
|
||
\{o f,(t)-d f,}if,(t)d V = - |
|
|
(32) |
|
V |
|
V |
|
|
можно переписать в виде |
|
|
|
|
WP Q) < - |
$ К |
W ~ of,} if, (t) dV. |
(33) |
|
|
V |
|
|
|
Интегрируя это неравенство по времени от / = |
0 до t = т, по |
|||
лучим |
|
|
|
|
V , « « т г !г г { ? ) |
t v - |
|
|
|
- ? ) А » ,К |
/ W - |
® ? ,]К ,w - |
®Ь]t v \ . |
(34) |
Соотношение (28) следует непосредственно из (34). Таким образом, теорема доказана.
Здесь интересно отметить, что существование коэффициен та запаса 5 > 1 по приспособляемости равносильно гарантии существования границы для Wp(т) при любом времени т.
Определение посредством теоремы II наилучшей верхней
оценки Wp сводится к минимизации правой части неравен ства (28) при напряжениях of,, ограниченных условием, со
гласно которому для любого t напряженное состояние (26) находится внутри поверхности текучести, а т удовлетворяет очевидному условию
1 < т < 5. |
(35) |
Легко видеть, что существование коэффициента т > 1, та кого, что напряженное состояние mof,(t) лежит внутри по
верхности текучести, равносильно утверждению, что наилуч
шая верхняя граница W% равна нулю. |
которого в любой |
|
Тогда, если а > 1 — коэффициент, для |
||
момент времени t |
нагружение осуществляется в пределах уп |
|
ругости, интервал |
(35) можно заменить неравенством |
|
|
а ^ т < S. |
(36) |
Наконец, можно отметить, что условие (28) имеет тесную связь с неравенством Койтера (см. [2, стр. 59]), гарантирую