книги / Проблемы теории пластичности и ползучести

Неравенство (1) представляет собой ограничение, нала­ гаемое на широкий класс определяющих соотношений, допу­ скаемых (I. 19), (1.21) и (1.42).

Аналогично при f = 0 величины е и 0 определяются одно­ значно, когда

где Л определено выражением (1.45). Для изотропных ме­ таллов выполнение условия h \ > 0 обычно приводит к Я > 0.

Можно сделать вывод, что поле а, полученное в резуль­ тате решения краевой задачи, может быть единственным, если Н ^ 0, тогда как поле скоростей деформаций будет единственным, если h\ ^ 0. Таким образом, при выборе част­ ной модели упругопластического поведения тел необходимо обратить внимание на удовлетворение требования (1).

Состояния, при которых

могут оказаться критическими в том смысле, что при них мо­ жет возникнуть неустойчивый процесс, называемый «адиаба­ тическим сдвигом» [26]. Действительно, когда достигается состояние (4), тело, подвергающееся локальному адиабатиче­ скому процессу (<7/, i = 0) пропорционального нагружения, начинает течь подобно идеальнопластическому телу. На адиа­ батических кривых напряжения — пластические деформации экстремум достигается при h = mfe.

Чтобы оценить члены, входящие в неравенство (3), рас­ смотрим это условие для случая критерия текучести Губера—

В области малых деформаций третьим членом можно прене­ бречь по сравнению со вторым членом.

располагается в пределах 0 ^ гр ^ 2 -10“2; в таблице содер­ жатся также значения средних углов наклона изотермической кривой напряжения — деформации.

Можно заключить, что для некоторых областей изменения температуры величина второго члена в выражении (6) дости­ гает примерно 22% величины первого члена. Адиабатическая

Рис. 1. Адиабатическая и изотермические кривые (истинные) напряжения — (истинные) деформации; 1 — адиабатическая кривая.

кривая, изображенная на рис. 1, достигает максимума при ве­ личине ер, при которой модуль изотермического упрочнения составляет приблизительно половину величины мгновенного предела текучести (дF/dep)/F « 0,5 (рис. 1, точка М).

Ниже будет показано, что определяемая выражением (4) точка «неустойчивости» на адиабатической кривой напряже­ ния— деформации возникает в практических ситуациях.

Остановимся теперь на случае h\ > 0. Определяющие со­ отношения, содержащие скорости изменения напряжений, ско­ рости деформаций и скорости изменения температуры, можно

где

Скорости пластической деформации определяются вторым членом в (15), а именно

Это выражение имеет тот же вид, что и неизотермический за­

кон течения Прагера [21], если в нем заменить 0 на q, а изо­ термическую функцию упрочнения h — на адиабатическое уп­ рочнение h\.

При принятых предположениях нет разницы между адиа­ батической и изотермической податливостями. Следователь­ но, са = сг, и поэтому р = 1 При иной формулировке опре­ деляющих соотношений мы можем, таким образом, положить

vl2= YMYI = Y21Y3 = 0. Поэтому

Равенства (15), (16) содержат наиболее существенные термомеханические взаимосвязи и могут быть использованы при анализе термических напряжений, а также при изучении бифуркаций за счет нагрева, являющегося результатом дисси­ пации энергии.

4. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. ЕДИНСТВЕННОСТЬ

Предположим, что в момент времени t = t0 тело занимает область D\ для замыкания введем обозначение D. Граница замыкания В есть S; она состоит из S v и S T- В этот момент времени заданы:

а) напряженное состояние а, температура 0 и внутрен­

4.В рамках приближенной теории, обсуждаемой вразд. 2, не существует различия между требованиями (3) и (23).Та­ ким образом, различие между требованиями (3) и (23) об­ условливается только пьезокалорическим эффектом и тепло­ вым расширением, вызванным увеличением температуры за счет диссипации энергии.

5.Рассматривая 9? как функцию от р = сг/са и разлагая

венными являются только два первых члена.

Рис. 2. Область бифуркации при термопластических взаимодействиях (по осям — истинные напряжения и деформации). Пунктирной линией обо­ значено образование шейки; заштрихованная область — новая область бифуркации.

где X (г — постоянные Ламе, а — коэффициент теплового рас­ ширения для изотропных материалов. В широкой области из­ менения температуры последний член в (25), как правило, пренебрежимо мал, и поэтому локальную единственность оп­ ределяет первый член.

На рис. 2 изображена область возможного неустойчи­ вого поведения применительно к изотермическим кривым

напряжения — деформации для одноосного случая. Пунктир­ ная линия относится к точкам, в которых неизбежно образо­ вание шейки.

Б.ТЕХНИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ ЭФФЕКТОВ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

Втелах, подвергающихся быстрой деформации, локаль­ ный нагрев, вызванный термомеханическими взаимодействия­ ми, приводит к образованию неоднородного температурного

т,кг/ммг

Рис. 3. Адиабатическая кривая зависимости касательных напряжений от деформаций сдвига [13].

поля. Максимум температуры имеет место в точках макси­ мального нагрева, т. е. в точках больших пластических де­ формаций. В конечном счете пластические деформации лока­ лизуются в зонах, в которых скорость понижения предела те­ кучести, связанного с локальным повышением температуры, равна или превышает скорость, при которой предел текучести увеличивается за счет упрочнения.

Если пластическая деформация локализуется в наиболее нагретых областях, возникает неустойчивый процесс концен­ трированного деформирования. Такую интерпретацию можно дать, например, катастрофическому сдвигу, наблюдаемому при резании [23].

Чтобы проиллюстрировать это замечание, рассмотрим в качестве примера задачу о кручении тонкого кругового ци­ линдра, при котором наблюдается такой неустойчивый про­ цесс. Впервые эта задача была исследована Литоньским [13],

Для локализации пластической деформации цилиндр был снабжен «несовершенством» в виде утонения (рис. 3):

Предполагается, что части А и В цилиндра адиабатически изолированы.

Обозначим через <р меру деформации сдвига:

где у — угол сдвига. Деформация сдвига ср, касательное на­ пряжение т и температура Т однородны в каждой части ци­ линдра:

Определяющее соотношение для обеих частей цилиндра при­ нимается в следующем виде:

T = Cj(l — а 1Г)(ф + 0| 01)0-2, С[ = 66 кг/мм2,

(28)

а , = 1,4- 10_3°С~1.

Таким образом, используется механическое уравнение состоя­ ния. Уравнение (28) выражает в аналитической форме дан­ ные Менджойна [16] для мягкой стали в области изменения температур 400 °С ^ Т ^ 650 °С [13, 17]. Эти эксперимен­ тальные данные были обработаны таким образом, чтобы по­ лучить соотношение между истинным напряжением и лога­ рифмической деформацией.

Вычисления проводились в предположении, что пластиче­ ская работа полностью диссипируется в тепло, следовательно я = 0, и, кроме того, что термоупругим взаимодействием ме­ жду упругой деформацией и теплотой пластической деформа­ ции можно пренебречь. Начальная температура составляла 400 °С. Результаты вычислений показаны на рис. 3—5. Вели­ чина ф, фигурирующая на рисунках, выражается через угол закручивания Фа свободного конца следующим образом:

При вычислениях эта величина считалась переменной. Из тре­ бования непрерывности угла закручивания у скачка в тол­ щине стенки следует, что

поэтому ф можно рассматривать как среднее значение дефор­ мации сдвига в цилиндре.

9

V

Рис. 4. Сравнение адиабатических и изотермических кривых зависимости деформаций сдвига от угла закручивания для обеих частей надрезанного цилиндра; 1 — адиабатические кривые, 2 — изотермические кривые [13].

Рис. 5. Адиабатическая и изотермическая кривые зависимости крутящего момента от угла закручивания. Изменение температуры при изменении угла закручивания в обеих частях надрезанного цилиндра; 1 — адиабати­ ческая кривая, 2 — изотермическая кривая; хв = M0/(2ngBr2)-

На рис. 3 представлена адиабатическая кривая т(ф), по­ лученная согласно (28). Когда в ослабленной части цилиндра величина касательного напряжения достигает максимума (точка /'), в остальной его части начинается разгрузка (точ­