книги / Проблемы теории пластичности и ползучести
..pdfили с вязкими свойствами, второй — со структурными изме нениями, вызванными пластическими деформациями. Чтобы описать оба эти эффекта одновременно, введем следующее предложение.
Предложение 2. Метод создания актуальной деформа ционно-температурной конфигурации для реологического ма териала с внутренними изменениями можно определить при помощи двух групп внутренних параметров a(Xt t) и со(Х, t).
Первая группа, а именно <х(Х /), предназначена для опи сания реологических эффектов, а вторая, о(Х, /), ответственна за внутренние изменения, вызванные пластическими деформа циями.
Мы постулируем, что для реологического материала с вну тренними изменениями термомеханическое состояние частицы X в момент времени t описывается при помощи значения функ
ции при t е (tp, tk) : |
|
g(X,t) = {A(Xt iy, а(* ,/),ю (* ,0 } |
(2.17) |
и задач с начальными условиями для дифференциальных ура
внений |
A(g {X, t)), |
|
|
а(Х, t) = |
|
||
a(X,t0) = a0(X), |
(2.18) |
||
© (X, t) = |
Q(g(X, /)), |
||
|
|||
© (X, t0) = |
©о (X), |
|
|
где t0 также принадлежит интервалу (tp, tk), причем t0 < t. |
|||
Структура материала ^ л а |
В определяется соотношениями |
||
(2.15) и |
(2.16). |
|
|
Чтобы быть уверенными в том, что мы имеем совокупность |
|||
функций |
Рх для каждого |
{tp,tk)> |
которая описывает ло |
кальный термодинамический процесс в материальной точке X, |
|||
достаточно предположить, что интегральные уравнения |
|||
|
<х(Х,0 = а о Ш + |
J A(g(X,z))dz, |
|
|
|
to |
(2.19) |
|
|
t |
|
|
«>(Х t) = <i>o(X)+\Q(g(Xt z))dz |
||
|
|
to |
|
имеют единственные решения при t е |
(t0i tk). Это условие на |
||
лагает определенные ограничения на функции А и Й. А имен но функции Л и й должны быть непрерывными в смысле Лип шица функциями относительно а и со и непрерывными функ циями относительно А.
Проанализируем ограничения, налагаемые на определяю щие уравнения термодинамическими постулатами (2.10). С этой целью предположим, что функция Т кусочно-непрерыв но дифференцируема (совместно) по g(X,t), т. е.
тф (t) = tr (дсЧС) + деЧ'ё + <3veW • VQ+ |
daW • а + d^V • cb |
(2.20) |
|
Термодинамический постулат (2.10) |
принимает вид |
|
|
- tr [(Г* - 29ядсЧ) С] - (de'F + г,) 9 - |
• V9 - |
|
|
- а ат - а - а вч г - й - - Л - 4гя .У0 > о . |
(2.21) |
||
Выбирая произвольные значения для С |
0 и V0, можно оп |
||
ределить допустимый локальный термодинамический процесс в материальной точке X тела В. Таким образом, неравенство (2.21) дает
|
д ^ |
= 0, |
|
(2.22) |
|
TR = 2pRdc4'(g'(X, /)), |
(2.23) |
||
|
4 = - d 6W(g*(X,t)), |
(2.24) |
||
да* (£*)•« + д„ЧГ (g*) • <Ь+ |
qR • V0 < 0, |
(2.25) |
||
g'(X,t) = |
{C(X,l), |
B(X,t); |
a(X,t), со (*,/)}■ |
(2.26) |
Внутренняя диссипация материала определяется функцией |
||||
<7 (g (х, 0) = - |
0 '1№ |
(g*) • A (g) + d j v (g*). Q (g)}. |
(2.27) |
|
2.5. Описание упруговязкопластического материала
Упруговязкопластическим материалом мы будем называть материал, который до течения имеет вязкоупругие свойства, а после течения приобретает дополнительно пластические свой ства, чувствительные к изменению скорости.
Применим теперь результаты, полученные ранее для рео логических материалов с внутренними изменениями, к описа нию поведения упруговязкопластических материалов.
Определим обе группы переменных внутреннего состоя ния 1). Положим
а = ail), i — 1, 2, |
m, |
(2.28) |
e ‘) См. работы Колемана и Гуртина [28], Валаниса [285]. Пэжина и Вонно [225] сформулировали термодинамическую теорию пластических материалов, чувствительных к скорости, с позиции термодинамики мате риалов с переменными внутреннего состояния. Дальнейшее развитие этих идей см. в работах [132, 133, 117, 217—222, 247].
где а(/), i = 1, 2, |
пг — скаляры, и |
постулируем, |
что |
а = |
{х,Р,Г«}, / = 1 , 2 , |
о, |
(2.29) |
где скаляр х — параметр упрочнения; тензор второго порядка Р есть тензор неупругой деформации, а симметричные тен зоры второго порядка Г(/), / = 1, 2, .. . . п, являются тензо рами распределения дислокаций. Пусть через А обозначены
функции Л<‘>, а через £2'— функции |
К, G и Z(/), где функции |
||
Л(/) описывают скорость |
изменения параметров а (1), функция |
||
К описывает скорость изменения параметра |
упрочнения х, |
||
функция G определяет скорость изменения тензора неупругих |
|||
деформаций Р, а функции Z(/) — скорость изменения тензоров |
|||
распределения дислокаций Г(/), т. е. |
|
|
|
Л = {Л«>), |
/ = 1 , 2 , |
т; |
|
Q = {K, G,Z<'>}, i = |
1,2, |
п. |
|
Предположим, что внутренние изменения происходят толь ко во время пластической деформации. Это означает, что ког да тензор скорости изменения неупругих деформаций исчезает, отсутствуют изменения параметра упрочнения и тензоров рас пределения дислокаций. Чтобы удовлетворить этому требова нию, мы дополнительно постулируем для функций К и Z^">ли нейные соотношения для тензора Р неупругих деформаций, т. е.
K = tT{N(g)P}, |
(2.30) |
ZW> = SM (£)[/>]. |
(2.31) |
Благодаря этому предположению функцию внутренней дис сипации (2.27) можно записать в виде
+ tr [ ( d ^ N + дРЧ + £ |
Gj J. (2.32) |
Второй член в выражении для внутренней диссипации исче зает, когда отсутствует приращение пластической деформации.
До начала течения реологический материал с внутренними изменениями имеет вязкоупругие свойства, поэтому для та кого материала условие начальной текучести, которое мы на зовем квазистатическим условием текучести, должно зависеть от вязких эффектов. Эти вязкие эффекты описываются с по мощью внутренних параметров а (/). Таким образом, условие
квазистатической текучести для упруговязкопластического ма териала можно записать следующим образом !):
F (g) = K~{f (TR, е, ve, а»), Р, т - 1. |
(2.33) |
Постулируется, что следующее дифференциальное уравне ние определяет тензор Р внутреннего состояния для упруго вязкопластического материала:
P = Y(e)(0(F))M(g)f |
(2.34) |
где у(0) — зависящий от температуры коэффициент вязкости; символ (Ф(Р)) означает следующее:
0 при Р < 0.
(2.35)
Ф (F) при F > 0,
Безразмерную функцию Ф(Р) можно подобрать таким обра зом, чтобы она представляла результаты испытаний по дина мическому поведению материалов.
Уравнение (2.34) постулирует, что скорость изменения тен зора неупругой деформации является функцией превышения напряжением квазистатического условия текучести. В вязкопластичности это предположение было впервые выдвинуто Гогенемзером и Прагером [99] и в дальнейшем развито в работах [209—225]. Чтобы обеспечить инвариантность тензора Р вну треннего состояния относительно системы отсчета, достаточно предположить, что инвариантен симметричный тензор М вто рого порядка.
Для F > 0 дифференциальное уравнение (2.34) дает сле дующую динамическую функцию текучести:
f(TR, В V0, а(<), Р, Г(/)) = и (1 + Ф~1[•( "^9у~2 (tr M Y 112 )• 2.36)
Соотношение (2.36) интерпретируется как описание ак туального изменения поверхности текучести при термодинами ческом процессе. Это изменение обусловлено эффектами уп рочнения, влиянием скорости изменения тензора неупругих де формаций и температуры на предел текучести материала и вязкими эффектами. Следует заметить, что соотношение (2.36) может служить основой для экспериментальных исследований.
На основании предыдущих результатов для реологического материала с внутренними изменениями и введенных предполо жений имеем:
!) Квазистатическая функция текучести по существу определяет вяз коупругую область для рассматриваемого материала. Другой подход, свя занный с определением упругой области материала, был предложен Оуэ ном [202], а также Пипкином и Ривлином [226].
(i) Термомеханическое состояние частицы X в момент вре мени t для упруговязкопластического материала описывается при помощи функции
g(X,l) = {A(X,l)] |
а«ЦХ,(), |
*(*./), |
Р(Х,0, |
Г<«(Х,/)}( |
||||
|
/ = |
1, 2, |
|
т, |
/ = |
1, 2, |
|
(2.37) |
|
|
|
|
|||||
и задачи с начальными условиями |
для |
дифференциальных |
||||||
уравнений |
&<‘>(Х, t) = AW(g(X,t)), |
|
||||||
|
|
(2.38) |
||||||
|
|
а(<) (X, |
to) = a<0i) (X), |
|
||||
|
|
|
|
|||||
|
Р(Х, /) = |
V (0) <«HF(g)))M(g), |
||||||
|
Р(Х, t0) = Po(X), |
|
|
(2.39) |
||||
|
|
|
|
|||||
|
* (X, 0 = Y (9) <Ф (F (йГ))> tr [ЛГ (g) М (g)], |
|||||||
|
х ( 1 , / о ) = Х о ( Д |
|
|
|
|
(2.40) |
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
f (/) (X, |
t) = у (9) (Ф (F (g))> |
(g) [ЛГ (g)], |
|||||
|
Г(/) (X, h) = |
(X), |
|
|
|
(2.41) |
||
|
|
|
|
|
||||
где |
принадлежит интервалу (tp, tk) |
и io < |
t. |
|||||
(И) Система определяющих уравнений для упруговязко |
||||||||
пластического материала имеет вид |
|
|
|
|||||
|
|
i|> = |
W |
) , |
|
|
(2.42) |
|
|
|
TR = 2pRdc4f(g*), |
|
(2.43) |
||||
|
|
Л = |
- № |
£ * ) , |
|
(2-44) |
||
где |
|
qR = Q(g), |
|
|
(2.45) |
|||
|
в*={С,0,а«>| х,Р,Г<Л}. |
(2.46) |
||||||
|
|
|||||||
(Ш) В настоящей теории неравенство для общей диссипа |
||||||||
ции принимает вид |
|
|
|
|
|
|
||
£ d a ( 0 4 U « ’ + Y ( e ) ( Ф ( ^ ) ) х |
|
|
|
|
||||
i = l |
|
|
|
|
|
|
|
|
X tr | |
[dxWN + < V P + £ dvu)xVS(l) |
|
|
Q Q- V6<0 (2.47) |
||||
|
|
/ - 1 |
|
|
|
|
|
|
(iv) Для упруговязкопластического материала внутренняя диссипация определяется уравнением
тп
<Ф (F))X |
|
draffs® ЛО |
(2.48) |
В этой теории свойства упруговязкопластического |
мате |
риала описываются при помощи функций отклика Т, Q, Л(<), |
|
Ф(Р), М, N, S(/> и коэффициента у (6)- |
описы |
Все дифференциальные уравнения (2.38) —(2.41), |
|
вающие переменные внутреннего состояния а (0, к, Р, |
Г(/\ за |
висят от изменения масштаба времени. Дифференциальные |
|
уравнения для переменных внутреннего состояния a (i) учиты вают вязкие эффекты, а дифференциальные уравнения для х, Р и Г(/) учитывают вязкопластические эффекты.
Эти уравнения показывают, что данная теория упруговяз копластического материала учитывает историю изменения тен зора деформации С, температуры 0 и градиента температуры V0. Это следует из того факта, что для интегрирования диф ференциальных уравнений (2.38) —(2.41) и определения ак туальных значений переменных внутреннего состояния a (i)(f), х(/), P(t), T(/)(i) для X в В необходимо знать начальные зна чения с$\ х0, Р0, для X и полную историю изменения С,
0 и V0.
Так как функция отклика для вектора Q теплового потока зависит от истории изменения градиента температуры V0, дан ная теория может описывать теплопроводность упруговязко пластического материала с бесконечными волновыми скоро стями тепловых возмущений *).
В данной теории тензор деформации, температура и гра диент температуры рассматриваются как переменные термоди намического состояния, тогда как компоненты тензора иеупругой деформации входят как параметры внутреннего состояния (скрытые параметры). Связь между тензором деформации и тензором неупругой деформации не постулировалась. Тензор деформации определяется кинематикой заданного движения тела В; тензор неупругой деформации находится из решения задачи с начальными значениями для обыкновенного диффе-
') Это можно сопоставить с общей теорией теплопроводности нелиней ных материалов, обладающих конечной волновой скоростью [92].
ренциального уравнения первого порядка. Обсуждение раз личных концепций для конечных пластических деформаций можно найти в работах [6, 83, 84, 87, 141].
2.6. Упругопластический материал
Предположим, что
<хе= 0, сЬ=^0 |
(2.49) |
и, кроме того, что со определяется из уравнений, не зависящих от скорости.
Из динамического критерия текучести (2.36) следует, что упруговязкопластический материал теряет чувствительность к скорости деформации тогда и только тогда, когда коэффи циент вязкости у (9) -*■ оо. В этом случае удовлетворяется ста тическое условие текучести
Р = 0, |
(2.50) |
и свойства материала становятся упругопластическими. Из определения (2.35) символа (Ф (F)) следует, что дифферен циальное уравнение, определяющее тензор Р пластической де формации, принимает вид
P = zM(g(X,Q), |
(2.51) |
где параметр г = у(0)(Ф (F)) можно найти |
из условия, что |
точка, представляющая в пространстве температура — напря жение актуальное состояние температуры и напряжения, ле жит на поверхности текучести (2.50).
Из условия текучести |
|
/ (TR>9> V0, Р, Г(Л) — к |
(2.52) |
и общего предположения, что скорости изменения переменных
внутреннего состояния к и Г(/) исчезают при Р = 0, можно вы вести следующий критерий нагружения:
tr (дтJ T R) + <5е/ё + 5v0f . V0 > 0. |
(2.53) |
Аналогично, критерий
f = к,
tr(dTRftR) + defQ + d w f ‘i Q < 0 |
(2.54) |
определяют разгрузку и нейтральное состояние соответственно.
Чтобы точка, представляющая актуальное состояние на гружения и температуры, лежала на поверхности текучести, достаточно, чтобы выполнялось условие / = й, т. е.
tr (дтRfTR) + ае/0 + dvef • V0 + tr (dpfP) +
|
+ |
tr {drU)fSV> [P]} = tr (NP). |
(2.55) |
|||||
Используя (2.51), из (2.55) получаем |
|
|
|
|
||||
z = X[tr (drRfTR) + |
defQ + dv0f • V0], |
(2.56) |
||||||
где |
|
|
|
|
|
|
^ |
|
X = {tr [ ( M - |
dPf - |
t |
djtnf&njM ] } |
> 0 . |
(2.57) |
|||
Введем обозначение |
|
|
|
|
|
|
|
|
< [tr (,дт/Тр) + defQ + |
av0f • V0] > = |
|
|
|
|
|
||
|
|
[ ], |
если |
f = |
x |
и |
[ ] > 0; |
|
|
= ^ |
0, |
если |
f = |
x |
и |
[ ] ^ 0 |
(2.58) |
|
|
|
или |
если |
f < x. |
|
||
Мы приходим к следующим результатам:
(i) Термомеханическое состояние частицы X в момент вре мени t для упругопластического материала описывается вы ражением
g(X,t) = {A(X,i), |
n(X,f), Р (X, t), Г</> (*,/)} (2.59) |
и задачей с начальными |
условиями для дифференциальных |
уравнений: |
] > tr {NM), |
|
|
*(*. 0 = |
(2.60) |
||
%(X, to) — х0 (X), |
|||
|
|||
Р ( х , о = М [ ]>м , |
(2.61) |
||
Р(Х,/о) = |
Ро(Ю, |
||
|
|||
Г^(Х,() = Х{[ ]>S</>[M], |
(2.62) |
||
Г (/) (X , to) = i |
f (X), |
||
|
|||
где t0заключено в интервале (tPt tk) и t0 < t.
(П) Система определяющих уравнений для упругопласти ческого материала имеет вид
V = 4f(C, 0, к, Р, Г</>),
TR = 2pRdcW(-),
(2.63)
ч = - aev ( •),
QR — Q (§)•
(iii) Общее неравенство для диссипации принимает фор-
му
Ч N > tr | UJTN+ дч+ £ ar(/)'FS<« IМj + JL - Q • V0 < 0.
|
/=1 |
} |
(2.64) |
|
|
||
(iv) Внутренняя диссипация для упругопластического ма |
|||
териала определяется следующим образом: |
|
||
* (g) = ~ 1- < [ ] > tr | |
+ dPW + £ drU)WS<f>j M J (2.65) |
||
Если в (1.53) положить V0 = 0, то получим критерий на |
|||
гружения Прагера [235] |
|
|
|
[tr(dTRfTR) + dBfb]>0. |
|
(2.66) |
|
При этом предположении результаты (2.59) —(2.65) можно сравнить с определяющими уравнениями, данными Грином и Нахди [83, 84, 86].
2.7. Шизическое и экспериментальное обоснование
Современная теория пластического течения должна осно вываться на микроскопических исследованиях, так как дефор мация изменяет не только внешнюю форму тела, но и его вну треннюю структуру. Другой существенной особенностью тео рии пластичности должна быть присущая ей динамичность.
Пластические деформации в металлах обусловлены в ос новном движением кристаллических дефектов (дислокаций). Расположение дислокаций в теле, которое подвергается пла стическим деформациям, является характеристикой его вну треннего механического состояния. При построении макроско пической теории, основанной на информации о микроскопиче ском состоянии тела, необходимо рассмотреть возможность описания внутреннего состояния тела при помощи некоторых усредненных величин, которые характеризуют распределение дислокаций макроскопическим образом.
В данной теории в качестве таких величин выбраны пара метр упрочнения х, тензор Р неупругой деформации и тен зоры Г(/) распределения дислокаций.
Обсудим сперва физические основы определения тензора Р неупругой деформации и параметра упрочнения %.
Общепринято считать, что конечное напряжение, необхо димое для возникновения пластического течения, обусловлено препятствиями, задерживающими движение дислокаций сквозь кристалл. Удобно разделить эти препятствия на две группы в зависимости от расстояния, на котором препятствие взаимо действует со скользящей дислокацией: поля напряжений даль него действия и поля напряжений ближнего действия.
При преодолении дальнодействующих препятствий не играет роли термическая активация, и они называются атермическими препятствиями. Преодолению препятствий ближнего действия могут способствовать тепловые флуктуации, соответ ственно эти препятствия называются термическими. Именно термические препятствия ответственны за динамические ас пекты пластических деформаций.
В чистых металлах обычными термическими препятствия ми являются напряжения Пайерлса — Набарро, лес дислока ций, движение скачков в винтовых дислокациях, поперечное скольжение винтовых дислокаций, подъем краевых дислока ций.
Механизмы преодоления леса дислокаций, которые могут проявляться в металлах с объемноцентрированной кубической, гранецентрированной кубической и гексагональной плотноупа-
кованной решетками в различных температурных |
областях, |
|
теоретически исследовались в работах |
[260, 60, 61, 257, 33, |
|
49]. |
|
|
Если деформация определяется одним термически активи |
||
руемым процессом, то |
|
|
P = vexp(— U/kQ), |
|
(2.67) |
где U — энергия, которая должна быть |
сообщена |
тепловой |
флуктуацией для каждой успешной активации, k — постоян ная Больцмана, v — коэффициент частоты.
Чтобы получить согласие с экспериментальными данными, обычно предполагают, что энергия активации U является не линейной функцией от превышения напряжениями предела те
кучести, т. е. |
(2.68) |
и = у[а (Г —У)], |
где а — структурная постоянная, У — атермическое напряже ние или предел текучести материала.