книги / Проблемы теории пластичности и ползучести

ведется численно. При этом могут использоваться различные критерии выпучивания (резкое возрастание скорости роста прогиба и т. п.).

Имеет значение решение задач определения критического времени на основе уравнений, более точно учитывающих фи­ зическую нелинейность задачи, чем уравнения, полученные на основе линеаризации физических соотношений с использова­ нием варьированного уравнения состояния. Нелинейный ха­ рактер соотношений между скоростями деформаций ползу­ чести и напряжениями приводит к нелинейному распределе­ нию напряжений по толщине оболочки. Возникающие в связи с этим трудности можно преодолеть приближенными приема­ ми расчета, анализ которых проводился в [88]. Эффективный вариационный метод был предложен Сандерсом, Мак-Комбом и Шлехте [292]. Законы распределения напряжений и смеще­ ний по толщине могут задаваться независимо, варьируются скорости напряжений и смещений. Ту же вариационную тео­ рему рассматривал Пиан [281] для закона установившейся ползучести. На основе вариационного уравнения при задании того или иного закона распределения напряжений и смещений по толщине легко «выводятся уравнения неустановившейся ползучести оболочек [59, 60, 90].

В [292] вариационная теорема использовалась для расчета критического времени сжатого стержня с начальным проги­ бом при задании линейного закона изменения напряжений по высоте стержня. В [34] для той же задачи распределение на­ пряжений по высоте стержня задавалось по закону ломаной линии. Пиан [282] с помощью вариационного уравнения рас­ смотрел задачу о симметричном прощелкивании пологой арки под действием поперечной нагрузки в условиях ползучести. В случае стационарной ползучести смешанный вариационный метод в приложении к осесимметричной задаче ползучести оболочки был сформулирован Ю. Н. Работновым [137].

Обобщенный смешанный метод, предложенный И. Г. Терегуловым [161, 160], позволяет независимо варьировать не толь­ ко скорости напряжений и смещений, но и их интенсивности, что может упростить технику приближенного решения задач. На основе вариационного уравнения, полученного методом, изложенным в [292], выпучивание продольно сжатой цилин­ дрической панели с начальным прогибом исследовалось в работе [60]. Сравнение результатов расчета деформаций пол­ зучести цилиндрической оболочки, рассчитанных на основе уравнений [292] при задании линейного закона распределения напряжений по толщине, с деформациями ползучести, рассчи­ танными на основе линеаризованных уравнений [87], прово­ дились для оболочки с симметричным начальным прогибом в

[40], для оболочки с начальным прогибом более общего вида в [90]. Можно заключить, что при умеренных начальных про­ гибах (порядка толщины оболочки) допущение о возможно­ сти применения уравнения состояния в вариациях [135], на ос­ нове которого получены уравнения [87], приемлемо, хотя и нуждается в уточнении.

В работах [244, 303, 28, 283, 137] и многих других для пре­ одоления трудностей, связанных с нелинейным распределе­ нием напряжений по толщине оболочки при ползучести, обо­ лочка заменяется моделью в виде двух мембран, соединенных жестким на сдвиг заполнителем (развитие известной модели Шэнли). По толщине мембран напряжения распределены рав­ номерно. Заполнитель обеспечивает совместную работу внеш­ них слоев и не воспринимает усилий растяжения — сжатия или изгиба. При выборе параметров модели для соответствия ее реальной однородной оболочке суммарная толщина внеш­ них слоев принимается равной толщине моделируемой обо­ лочки. Расстояние между слоями может устанавливаться, ис­ ходя из равенства упругих жесткостей изгиба трехслойной и сплошной оболочки или из равенства скоростей деформаций изгиба при установившейся ползучести [135]. В первом случае толщина получается несколько большей, чем во втором. На­ пример, при показателе ползучести п = 5,8 толщина модели в первом случае равна 0,578ft, во втором 0,527ft [290]. При осесимметричной деформации ползучести продольно сжатой цилиндрической оболочки со стесненными торцами выбор тол­ щины по упругому соответствию оказался более предпочти­ тельным [290].

УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК

Техника решения задач выпучивания оболочек в условиях ползучести при задании начальных отклонений от идеальной формы достаточно хорошо разработана. При задании началь­ ного прогиба достаточно произвольного вида и достаточно сложном законе ползучести расчет возмущенного движения оболочки с учетом физической и геометрической нелинейности и определение момента времени, когда будут достигнуты не­ которые предельные условия, т. е. определение критического времени, не составляет, вообще говоря, принципиальных труд­ ностей. Основная трудность расчета устойчивости оболочки в условиях ползучести состоит в задании величины и характера начального прогиба, целиком определяющих результаты рас­ чета. Важно при этом учитывать саму постановку вопроса об устойчивости в условиях ползучести — устойчив ли основной йроцесс ползучести оболочки на конечном интервале времени по отношению к некоторым возмущениям? Исследование

самого возмущенного движения сводится к решению задачи Коши, но оценивается при этом устойчивость основного про­ цесса ползучести невозмущенной оболочки. Такая постановка вопроса означает, что начальные прогибы, вводимые в расчет на устойчивость, — это не результат измерений, а возмущения, которые задаются и подчиняются некоторым весьма общим требованиям.

В задаче устойчивости круговой замкнутой цилиндриче­ ской оболочки в условиях ползучести при действии продоль­ ной сжимающей нагрузки для расчета критического времени необходимо задать некоторый начальный прогиб. В работах Френча и Пателя, Самуэлсона, Хоффа [240] задается осесим­ метричный периодический по длине оболочки начальный про­ гиб. В течение всего процесса ползучести в возмущенном дви­ жении оболочка остается осесимметричной, и критическое время (в геометрически линейной постановке) определяется обращением прогиба в бесконечность. В уравнениях, описы­ вающих ползучесть, Хофф в работе [240], как и в большинстве своих работ, не учитывал упругих деформаций. Зависимость критического времени от амплитуды начального прогиба для двухслойной модели оболочки, как и в задачах выпучивания стержней, носит логарифмический характер. В работах по­ следнего времени [242] Хофф предложил учитывать влияние упругой деформации на критическое время с помощью при­ ближенной формулы:

Лф = (1 - о ° )Л 0Г° = о/ве.

Здесь t* — критическое время, полученное в расчете без учета упругих деформаций, ае— эйлерово критическое напряжение, а — действующее осевое напряжение в оболочке. Сравнение результатов расчета по приближенной формуле с данными численного анализа [247] позволило Хоффу сделать вывод о приемлемости приближенной формулы для показателя ползу­ чести п = 3. Для больших значений п в формулу приходится вводить вычисленные в [247] поправочные коэффициенты.

В целом ряде работ при исследовании выпучивания сжа­ той цилиндрической оболочки в условиях ползучести началь­ ный осесимметричный прогиб не задается, а вводится более естественным путем. Учитывается, что в результате стеснения торцов оболочки на опорах и учета краевого эффекта возни­ кает некоторое искривление образующих, которое нарастает в процессе ползучести, пока прогибы или скорости роста про­ гибов не достигнут предельных значений. В этой постановке в течение всего процесса ползучести деформирование носит осесимметричный характер. Заметим, что здесь (в нашей трактовке) речь идет о развитии основного процесса ползуче­

сти вплоть до выпучивания, а не о задаче устойчивости, в ко­ торой должны рассматриваться возмущенные по отношению к основному процессу движения. Конечно, этот основной про­ цесс осесимметричного деформирования может (для относи­ тельно толстых оболочек) оказаться устойчивым по отноше­ нию к возмущениям более общего вида, и определенное таким образом критическое время выпучивания окажется в соответ­ ствии с данными испытаний.

В этой постановке без учета упругих деформаций рассма­ тривали задачу Ю. М. Волчков и Ю. В. Немировский [27, 28]. Дайамант [209] получил решение в этой постановке и сравнил его с экспериментом для двух коротких оболочек из меди (L/R = 2, R/h = 100). Соответствия результатов эксперимен­ та и теории в [209] добиться не удалось, хотя характер выпу­ чивания оболочки вследствие роста радиальных перемещений вблизи опор (кольцевая складка) и соответствует принятой в расчетах форме. Самуэлсон [290] рассматривал осесимметрич­ ную деформацию при продольном сжатии оболочкисо стес­ ненными торцами, но в качестве критерия, определяющего критическое время, предлагал рассматривать не только стремление прогиба к бесконечности, но и возможность упру­ гого выпучивания из-за появления окружных сжимающих на­ пряжений вследствие возмущений от торцов. Критерием, со­ гласно Самуэлсону, будет достижение некоторого критическо­ го значения прогиба, на методике определения которого Са­ муэлсон не останавливается. Ссылаясь на результаты своих более ранних экспериментальных исследований для оболочек из алюминиевого сплава с R/h от 30 до 120, он приводит таб­ лицу из И удовлетворительно друг другу соответствующих данных расчета и эксперимента.

Питтнер и Хофф [283] также рассмотрели процесс осесим­ метричной ползучести сжатой оболочки с шарнирным опиранием торцов и начальным искривлением образующих вслед­ ствие стеснения на опорах. Критическое время определяется неограниченным возрастанием прогиба. Сравнения с резуль­ татами испытаний здесь нет. Задачу осесимметричного де­ формирования оболочки со стесненными торцами при сжатии Самуэлсон исследовал также в работе [291], где учтены упру­ гие деформации и нелинейности в деформациях, связанные с квадратами углов поворота. Критическое время определяет­ ся моментом неограниченного возрастания скорости роста про­ гибов вблизи опор. Расчет времени выпучивания продольно сжатой оболочки с внутренним давлением при осесимметрич­ ной деформации проводился в [94]. Из-за неравномерного распределения температуры вдоль образующей оболочки скорость окружных деформаций ползучести, обусловленных

внутренним давлением, различна, и развивающееся отклоне­ ние формы оболочки от цилиндрической при осевом сжатии приводит к выпучиванию с образованием складки. Результаты расчета удовлетворительно согласуются с данными экспери­ ментальных исследований [93].

Удовлетворительного соответствия расчета данным экспе­ римента при осесимметричном выпучивании удалось добиться Мураками и Танаке [272] за счет уточнения численной мето­ дики расчета. В [272] рассматривалась задача ползучести цилиндрической оболочки под действием продольной постоян­ ной сжимающей силы и внутреннего давления. Оболочка за­ щемлена на торцевых шпангоутах, которые препятствуют уве­

личению диаметра оболочки на торцах, так что в начальный момент времени при упругой деформации образующие обо­ лочки искривлены. В процессе ползучести эта начальная фор­ ма развивается так, что искривленная поверхность оболочки сохраняет осесимметричный характер. Критическое время оп­ ределяется бесконечными скоростями деформирования.

На рис. 2 даны кривые, иллюстрирующие развитие проги­ бов оболочки вдоль образующей со временем. Авторы [272] провели расчеты для оболочек из меди, испытанных в работе

= 1,016 мм, Т = 482,2 °С, причем кривые 1—3 соответствуют

рочнению со временем (теория течения), кривая 3 — закону установившейся ползучести). Здесь же штриховой линией по­ казан экспериментальный результат из [209].

Прежде чем останавливаться на некоторых наших реше­ ниях задач устойчивости цилиндрической оболочки при сжа­ тии и при совместном действии сжатия и внутреннего давле­ ния, рассмотрим некоторые особенности расчета устойчивости упругой оболочки. Чтобы правильно понять поведение цилин­ дрической оболочки под действием сжимающей нагрузки, не­ обходимо учитывать в исходной ее форме отклонения от ци­ линдрической поверхности. В связи с этим необходимо опре­ делять прогибы оболочки с начальными неправильностями с

учетом геометрической нелинейности и разыскивать предель­ ные точки на кривых равновесных состояний. Если подходить к этой задаче как к задаче устойчивости процесса деформи­ рования идеальной оболочки при возрастании нагрузки, то критическая нагрузка — это граница интервала устойчивости, т. е. такого интервала нагружения, в котором прогибы обо­ лочки в возмущенном состоянии мало отличаются от прогибов основного невозмущенного состояния равновесия. Как и в пол­ зучести, задача сводится к исследованию возмущенных со­ стояний, т. е. к задаче для оболочки с начальными неправиль­ ностями. Интервал устойчивости основной формы равновесия оболочки определяется предельными точками на кривых воз­ мущенных равновесных состояний, соответствующих оболочке с начальными прогибами.

Существенное упрощение техники решения задачи о пове­ дении цилиндрической оболочки с начальным прогибом было предложено Койтером в известных работах 40-х и 60-х годов.

Задается симметричный относительно оси оболочки началь­ ный прогиб

и далее исследуется устойчивость этой формы равновесия на основе линейных уравнений устойчивости, учитывающих докритическое моментное состояние равновесия, т. е. разыски­ вается значение нагрузки, при которой будет иметь место

Рис. 4.

бифуркация, соответствующая появлению некоторой несимме­ тричной формы равновесия

Смена форм равновесия здесь обусловлена появлением ок­ ружных сжимающих напряжений в зонах, где прогиб направ­ лен внутрь оболочки. На рис. 4 кривой £ок = 0 представлены результаты расчета критической нагрузки для упругой обо­ лочки по Койтеру в зависимости от амплитуды начального симметричного прогиба £0- Здесь

а° = а/ае, £0 = 2Xf0/h, ae = Eh/(RX), Я = д/З (1 - v 2),

Л, R — толщина и радиус оболочки, Е, v — модуль упругости и коэффициент Пуассона, о — действующее напряжение, ае — эйлерово критическое напряжение. Кривая рассчитана при за*

устойчивости гладкой оболочки, то начальный осесимметрич­

процессе развития этого возмущения с ростом нагрузки насту­ пает бифуркация, когда симметричная форма равновесия пере­ ходит в несимметричную, есть всего лишь обстоятельство, уп­ рощающее исследование возмущенного (осесимметричного) решения, так как осесимметричное решение описывается ли­ нейными уравнениями, а бифуркация — линеаризованными уравнениями нейтрального равновесия.

Естественно обратиться к расчету сжатой упругой цилин­ дрической оболочки при учете начального прогиба более об­

■с симметричным начальным прогибом (26) рассматривался в качестве смежной формы равновесия (27). Выполненное ис­ следование показало, что точка бифуркации у оболочки с сим­ метричным начальным прогибом относится к неустойчивому типу (как и у гладкой оболочки), и критическая нагрузка от несимметричной составляющей начального прогиба £ок зави­ сит столь же существенно, как и от симметричной. На рис. 4 показаны зависимости критического напряжения а0 от на­ чального симметричного прогиба £0 при фиксированном не­ симметричном £ок = 2XfoK/h и аналогично в зависимости от £ок при фиксированных £0 (рис. 5). Существенно отметить, что критические нагрузки здесь определяются как предельные точки на кривых прогиб — нагрузка, получаемых решением нелинейных уравнений, и линеаризация уравнений здесь не­ допустима [96, 92]. Основной вывод состоит в том, что для правильного суждения об устойчивости замкнутой цилиндри­ ческой оболочки при сжатии необходимо рассматривать бо­ лее широкий класс возмущений, чем симметричный началь­ ный прогиб.

Д ля сжатой оболочки в условиях ползучести введение в

расчет возмущения вида (28) приводит в случае тонких обо­ лочек к значительному уменьшению интервала устойчивости по отношению к решению, учитывающему только симметрич­ ный начальный прогиб. Такие расчеты выпучивания оболочки

при сжатии в условиях ползучести на основе уравнений [87] выполнены в работе [90].

Поскольку ответственными за поведение оболочки при пол­ зучести являются те же начальные прогибы, что и в задаче упругой устойчивости оболочки, то для выбора начальных прогибов можно использовать результаты упругого расчета и эксперимента. Для выбора начальных прогибов, вводимых в

расчет устойчивости в условиях ползучести, из семейства кри-

0

Рис. б.

экспериментальные данные снизу, iia рис. о и / показаны ре­ зультаты расчета безразмерной критической деформации е°> выполненного в [97, 98], и сравнение их с данными экспери­ мента из работы [80]. Рисунки соответствуют двум партиям оболочек из Д-16Т, испытывавшимся на сжатие при 225 °С. Кривые построены при £0 = 0,09, £ок == 1,4 (для оболочек обеих партий в расчет вводились одинаковые начальные про­ гибы). Существенно, что для удовлетворительного соответ­ ствия расчета и эксперимента значение начального несимме­

тричного прогиба выбиралось заметно ббльшее, чем симме­ тричного.