книги из ГПНТБ / Определенные и неопределенные интегралы учебное пособие для студентов Н. А. Фролов Министерство высшего и среднего специального образования РСФСР, Московский ордена Ленина энергетический институт. 1960- 4 Мб
.pdf
МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РСФСР
МОСКОВСКИЙ ордена ЛЕНИНА ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
Н. А. ФРОЛОВ
Утверждено Учебным управлением МЭИ в качестве учебного пособия
для студентов
ОПРЕДЕЛЕННЫЕ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Москва |
1959 |
ГОС. ПУБЛИЧНАЯ чип НАУЧН-ТЕХНИЧЕСКАЯ
БИБЛИОТЕКА СССР
6°
Д|
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящее пособие, написанное для студентов МЭИ, охва тывает те разделы курса высшей математики, которые состав
ляют интегральное исчисление функции одной переменной. Кроме изложения теоретических вопросов и решения ти
пичных примеров и задач, пособие содержит также небольшое количество упражнений, необходимых для усвоения основных способов вычисления неопределенных и определенных интег ралов и получения навыков в решении задач при помощи ин тегрирования.
Пользуюсь случаем, чтобы выразить глубокую благодар ность А. Ф. Леонтьеву, Г. В. Корицкому и М. Л. Краснову за весьма ценные замечания по рукописи этой книги.
н. ФРОЛОВ.
ГЛАВА I
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла
Рассмотрим на плоскости |
ноу |
фигуру |
аАВЬ |
(черт. 1), |
||||
ограниченную |
снизу ч отрезком |
[а, |
Ь] оси |
ох, по |
бокам — |
|||
перпендикулярами к оси ох в точках а и Ь, а |
сверху — |
|||||||
кривой |
АВ, |
представляющей |
|
|
|
|
||
график некоторой положитель |
|
|
|
|
||||
ной |
и непрерывной на |
[а, Ь] |
|
|
|
|
||
функции y=f(x). Фигуру аАВЬ |
|
|
|
|
||||
будем называть криволинейной |
|
|
|
|
||||
трапецией. |
площади |
такой |
|
|
|
|
||
|
Вопрос о |
|
|
|
|
|||
фигуры, если только кривая АВ |
|
|
|
|
||||
не |
есть |
дуга |
окружности, не |
|
|
|
|
|
рассматривается в элементар |
|
|
|
|
||||
ной геометрии. Поэтому здесь прежде всего надо установить, что понимать под площадью криволинейной трапеции, а за тем уже найти способ вычисления этой площади.
Вполне естественное определение площади криволинейной трапеции мы получим следующим путем.
Разобьем отрезок [а, |
на п частей точками: |
а = х0 < Xj < . . . < хп = Ь. |
|
На частичном отрезке |
\xk, *x +i] возьмем какую-нибудь |
точку. Обозначим ее |
через 1К. Образуем прямоугольник с |
|
основанием [xft, xft+i] |
и с высотой |
/" (£Д Площадь этого |
прямоугольника равна f (£ft) ДхА, где |
— Xk+i — xk. Сде |
|
лав такое построение для всех частичных отрезков, мы
получим ступенчатую фигуру, состоящую из пря моугольников. Площадь этой ступенчатой фигуры равна
/ (So) Д* о + f (^) + • • • + f (^л-1) |
л—1 |
= £ f (h) ^k. |
|
|
А-0 |
5
Будем делить отрезок [а, 6] на все более и более мелкие части, то есть число частичных отрезков будем неограниченно
увеличивать так, |
чтобы длина |
Ах наибольшего из |
отрезков |
|||
|л\, |
стремилась к нулю. Тогда |
ломаная, |
ограничи |
|||
вающая |
ступенчатую |
фигуру, |
будет |
все меньше и мень |
||
ше отклоняться |
от |
кривой |
АВ, ограничивающей |
криволи |
||
нейную трапецию аАВЬ. Поэтому, если при Ах -* 0 площадь ступенчатой фигуры стремится к некоторому пределу S, то этот предел и естественно принять за площадь криволи нейной трапеции аАВЬ.
Таким образом, вычисление площади криволинейной трапе ции аАВЬ сводится к вычислению
л—1
S = lim V Шд-*л-
Ах—О
Л-0
Не только вопрос о площади криволинейной трапеции, но и решение целого ряда других задач, в частности многих задач
техники, сводится к вычислению пределов сумм вида л—1
° = S /и)Дх*
Л-0
при Ах -> 0. К числу таких задач относится, например, опре деление работы, произведенной переменной силой.
Если величина силы, действующей на материальную точку
по направлению движения, постоянна, то работой, произве
денной силой, называется произведение силы на путь, пройден ный материальной точкой.
Если же материальная точка движется под действием пе ременной силы f(s), направление которой совпадает с направ лением движения, то работу W, произведенную силой f(s) на отрезке пути [$0, •$], можно определить следующим образом.
Разобьем отрезок [s0, S] на части точками
< • • • < = S,
и величину силы на элементарном отрезке пути [$ъ$л+1]
примем за постоянную и равную значению */(?) |
силы f (s) |
|
в произвольной точке s = |
отрезка [sA, s* +i]- |
Тогда под |
работой W, пр шзведенной силой f (s) на отрезке пути [s0, 5],
естественно понимать предел |
суммы |
л-1 |
|
J HU As* |
(4sft = +!s* -sk) |
Л-0 |
|
6
при стремлении к нулю длины As наибольшего из отрез
ков [sbs4+i]:
л—1
U7 = lim £ Ш .*s,
As-О
Л «О
Многочисленные задачи, которые решаются таким же пу тем, как и рассмотренные здесь задачи о площади криволи
нейной трапеции и о работе, произведенной силой при движе
нии материальной точки, требуют изучения |
пределов |
вида |
||||
|
|
л-1 |
(^) ДхА. |
|
|
|
|
|
Нт £ f |
|
|
||
|
|
к-0 |
|
|
|
|
Это достигается введением в математическом анализе по |
||||||
нятия определенного |
интеграла. |
|
|
|
|
|
2. |
Понятие определенного интеграла |
|
||||
Пусть на отрезке [а, Ь] задана функция /(х). Точками |
||||||
а = о* < 1*- |
< 2* < • • • < < хп ~ ь |
|
||||
отрезок [а, &] |
разобьем на части. |
Положим |
|
|
||
|
|
= Xft+i |
xk |
|
|
|
и обозначим |
через |
Дх длину |
наибольшего из |
отрезков |
||
[хА, х* +1 ]. Затем в |
каждом |
частичном |
отрезке |
[хА, *x +i] |
||
возьмем какую-нибудь точку t.k |
и составим сумму |
|
||||
|
|
л-1 |
|
|
|
|
k-0
которую будем называть интегральной суммой.
Для каждого разбиения отрезка [а, 6] соответствует зна чение суммы о, зависящее от выбора точек ik.
Пусть |
при одном разбиении [а, Ь], при котором |
Ax=6i, |
сумма о, |
соответствующая некоторому выбору точек |
равна |
di, при другом разбиении, когда Ах=б2, и определенном выбо
ре точек , пусть ст=о2 и т. д. Если для каждой последова
тельности разбиений отрезка [а, 6], для которой
°i> > • •, |
О, |
соответствующая последовательность
Зь а2, . . . , з/; . . .
сходится к некоторому пределу Л одному и тому же, как бы точки ни были выбраны, то число I называют пределом ин тегральной суммы ст при Дх -+ 0 и пишут
/ = Нт а.
Дх-»0
Если для функции /(х) на отрезке [а, Ь] существует предел I
интегральной суммы о при Дх ->-0, то функция /(х) называет
ся интегрируемой на [а, 6], а число / называется определенным интегралом от f(x) в пределах от а до b и обозначается
ь
символом f (х) dx.
а
Таким образом, по определению:
Ь л —1
f f (х) dx = lim V f (SJ ДхА.
J |
Дх-0“ |
a |
k~0 |
Определение понятия |
определенного интеграла вовсе не |
требует, чтобы нижний предел интеграла всегда был меньше верхнего предела. Надо только помнить, что нумерация то
чек разбиения отрезка, |
по |
которому интегрируется |
данная |
функция, всегда ведется |
в |
направлении от нижнего |
предела |
к верхнему. Таким образом, если d>b, то, как всегда, |
|||
Ь |
|
п — \ |
|
f f (х) dx = lim 2 /(U |
|
||
J |
|
Дх—0 " |
|
a |
|
ft —0 |
|
но интегральная сумма составляется для разбиения
а = х0 > Xj > . . . > xk > . . . >хи = b.
Поэтому при а > b все ДхА — хЛ+1 — xk < 0.
Наконец, вполне естественно принять по определению
J f (х) dx — 0.
а
3. Существование определенного интеграла
Для того, чтобы функция f(x) на отрезке \а, &] была ин тегрируемой, необходимо, чтобы она на этом отрезке была
ограниченной.
8