книги из ГПНТБ / Определенные и неопределенные интегралы учебное пособие для студентов Н. А. Фролов Министерство высшего и среднего специального образования РСФСР, Московский ордена Ленина энергетический институт. 1960- 4 Мб

идвумя прямыми, исходящими из полюса о, уравнения которых

О= а и 0 = 0.

Данную фигуру оАВо будем называть криволинейным секто­ ром.

Площадь криволинейного сектора оАВо определяется сле­ дующим путем.

Разобьем отрезок [а, 0] на части точками

а = е0 < . < 0А < ... < е„ = 0

ипрямыми

О= 0 = 02) . . . , 0 = 0А, . . . , 0 = 0^,

разобьем сектор оАВо на элементарные секторы.

На отрезке [0ft, +i*0 ] возьмем какую-нибудь точку, которую

обозначим через tk. Затем меж­ ду лучами О=0Л и 0 => 0Й+1 про­ ведем дугу окружности радиуса f с центром в полюсе. В ре­

зультате этого мы получим элементарный круговой сектор с центральным углом

Д 0* = 9л+1 - *.6

площадь которого равна

4 3.= у If (’.) 1" А 6..

Сделав такое построение для всех элементарных отрезков [0й, *04-1 ] , мы получим ступенчатую фигуру, состоящую из п элементарных круговых секторов. Площадь этой ступенчатой

фигуры равна

части, то есть так, чтобы наибольшее из всех ДО* , которое мы

обозначим через ДО, стремилось к нулю. Тогда ступенчатая

граница ступенчатой фигуры будет отклоняться от кривой АВ, ограничивающей криволинейный сектор оАВо, все меньше и меньше. Поэтому площадь S криволинейного сектора оАВо

89

естественно определить как предел площади ступенчатой фигуры при Дб->0:

п—1

S=lim S„ = 4 lira £ [ f (tjp .ДО*

полярных координатах, но данная фигура не является секто­ ром, тогда искомую площадь стараются выразить как ал­ гебраическую сумму площадей некоторых секторов.

Так, например, для площади S фигуры, изображенной на черт. 19, имеем

S = SoABo 4- SoBCo — SoABiCo.

90

то, вычислив полярные углы а, р и Y для точек пересечения этих кривых А, В и С, мы можем написать:

3

s-у- f *[/(»>] d4 +

Пример. Вычислить площадь круга

Р «= 2r sin 6.

Решение. Изобразив окружность по данному уравнению,

мы видим (черт. 20), что для получения искомой площади S достаточно вычислить площадь полукруга справа от верти­ кального диаметра и затем результат удвоить. Полукруг мож­

УПРАЖНЕНИЯ

41.Вычислить площадь одной петли кривой

р= a cos 29.

42. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой р = а (1 sin 9).

43.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

р= 2 — cos 9 и р = cos 9.

3. Вычисление объемов

Если тело представляет прямой цилиндр, основанием кото­ рого является какая угодно плоская фигура, имеющая пло­ щадь S, то объем V данного тела определяется формулой

V=SH,

где Н — высота цилиндра.

91

Это — естественное распространение на более общий слу-

чай определения и формулы объема, которые даются в эле­

ментарной геометрии для прямого круглого цилиндра. Рассмотрим тело, ограниченное произвольной замкнутой

поверхностью.

между плоскостями х=а и х~Ь (черт. 21).

Будем рассекать данное тело плоскостями, перпендику лярными к оси абсцисс.

Площадь сечения плоскостью, проходящей через точку х оси абсцисс, есть функция от х. Обозначим ее через S(x) предположим, что она непрерывна на отрезке [а, Ь].

Разобьем отрезок [а, &] на части точками

а= х0 < Xj < . . . < х!{ < . . . < хп = Ь

иплоскостями

X — Xlf X — Х2, . . . , X — Хл, . . . , X = Хп-1

зующими, параллельными оси ох, так, чтобы сечение ци­

92

Сделав такое построение для всех элементарных отрезков xk , Xk+i ], мы получим ступенчатое тело, состоящее из п элементарных цилиндров. Объем этого ступенчатого тела ра­ вен

Будем делить отрезок [а, Ь] на все более и более мелкие

части, то есть так, чтобы длина Ах наибольшего из отрезков xkf Xk+i ] стремилась к нулю. Тогда ступенчатая поверх­ ность ступенчатого тела будет меньше и меньше отклоняться от криволинейной поверхности данного тела. Поэтому объем

Рассмотрим частный случай. Пусть дана кривая уравнением

у = /(х).

Будем вращать вокруг оси ох криволинейную трапецию

аАВЬ (черт. 22), соответствующую дуге данной кривой, с кон­ цами в точках А[а, f(a)] и B[b, Тогда получим некоторое тело, которое называется телом вращения.

Заметим, что в этом случае сечение тела плоскостью, пер­ пендикулярной к оси ох и соответствующей абсциссе х, будет круг с площадью

$(х) = *)"[/(• Г-

,93

Следовательно, объем V полученного тела вращения вы­ разится формулой

ь

V==n J *dx[f(x)]

а

Если требуется найти объем тела, полученного вращением плоской фигуры, которая не представляет криволинейную

трапецию, то искомый объем стараются выразить как алгеб­

раическую сумму объемов тел, полученных вращением трапе­ ций.

Так, например, для объема V тела, изображенного на черт. 23, имеем:

V = VaABb + VbBCc — VаАСс •

Следовательно, если кривые АВ, ВС и АС даны, соответствен­

но, уравнениями

У = f (*), № <Р (),* У = Ф М,

то, вычислив абсциссы а, b я с точек пересечения этих кри­ вых А, В и С, можем написать:

V = « J [/ (х) ]2 dx я J [ ср (х) ]2 dx\— тс J [ ф (х) ]* dx.

aba

Пример 1. Найти объем V эллипсоида

£+£+£eL

дз 1 1 с»

94

Решение. В сечении эллипсоида плоскостью, перпенди­

Черт. 24. Черт. 25.

Пример 2. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси ох фигуры, ограниченной гипоциклоидой

полученному вращением фигуры оАВ (черт. 25). Поэтому

V = 2к J уа dx.

95

45.Найти объем кольца (тора), производимого враще­ нием вокруг оси ох круга

+(у — Ь)2 = а2 (* > а).

46.Найти объем, полученный вращением вокруг оси оу фи­ гуры, ограниченной линиями:

уа = х3, х у = 2 и х = 0.

4.Спрямление кривых

Вэлементарной математике рассматривается измерение прямых отрезков и дуг окружностей. Для произвольных кри­ вых понятие длины дуги и способ ее вычисления устанавли­ ваются в анализе при помощи перехода к пределу и интегри­ рования.

где <?(£) и ф(/) ■—непрерывные функции на отрезке |/0,

К определению длины кривой мы придем следующим пу­

тем, вполне естественным и исходящим из понятия длины от­ резка прямой.

Пусть нам дана кривая уравнениями (1). Разобьем отрезок [Zo, Т] на п частей точками

вписанную ломаную, вершинами которой будут точки кривой

так, чтобы Д6 а значит, и длины всех звеньев ломаной стре­ мились к нулю.

Если при Д^ 0 периметр рп вписанной в кривую ломаной стремится к определенному пределу, то кривая называется

спрямляемой, а

5 = lim р

— длиной кривой.

Рассмотрим сначала кривую АВ, заданную уравнением

Действительно, разобьем отрезок [а, 6] точками а = х0< х,<. . . <хА< . . . < хп = b

на элементарные отрезки [xft. -vfr+i ]. Затем построим вписан­ ную ломаную, вершинами которой будут точки кривой

Д = х0, f (х0)], Л1, |х1, f (хj)J, . . ., Mk [хк} j • • •

. . . , Мл[хп, f(x„)] = В.

Периметр ломаной равен

Л—1

Рп~ J] ск,

*-о

где ск — длина хорды 7ИЛЛД+1 , причем (черт. 27)

ск =*К(л +1 — *)х 2+[ДхЛ+1 ) — /(*Др .

98