книги из ГПНТБ / Определенные и неопределенные интегралы учебное пособие для студентов Н. А. Фролов Министерство высшего и среднего специального образования РСФСР, Московский ордена Ленина энергетический институт. 1960- 4 Мб

Решение.

Положим

x — 2 = z’.

Тогда

г = Ух — 2,

x = г’ + 2,

dx — 2zdz.

Следовательно,

Г (x +1) dx

*(z

+ 3) 2zdx = 2

dz=

*(

’

+ 2) x

хг+ 2

= 2 I dz

2

dx

2

X

/2

= 2/л-2+/2 arctg

+ C.

УПРАЖНЕНИЯ

23.

24.

dx

/(x — 1)6 + 2x - 2

25.

8. Подстановка Эйлера

Рассмотрим

интегралы

вида

р? (х, Уах2

Ьх + с

) dx,

где Я(х,

Уах' -|- Ьх

с )

— иррациональное выражение,

но такое, что, заменив в

нем

Уах2 -|- bx -f-

с через у, мы

получим функцию /?(х,

у),

рациональную

относительно

обоих аргументов х и у.

4-295

49

функции) при помощи следующих трех

подстановок.

Эйлера.

1-я подстановка Эйлера.

Пусть a^>Q. Положим

фОгх2-)- bx

— z —

х ,

(1)

где z — новая

переменная.

Возведя в

квадрат обе части равенства (1), получим:

ах* -|- bx -ф с = z* — 2

zx *,ах

Дифференцируя, находим:

~ 2

*( 2 — с)

dx = 2г (2

г

л

dz.

Новая подынтегральная

функция Ri(z)—рациональная,

так как для ее получения

мы подставили в рациональную

функцию R(x, у) вместо х и у выражения

z’—с

+ bz+c Уа

l/a г+b

2 Va z + b

2 (Уa z* + bz + с \га )

'

(2/az + Z-)’

Полученный интеграл вычисляется по правилам интегри­

рования рациональных функций.

Пусть

J Rx(z}dz = F(z) ф-

С,

Тогда, выражая z из подстановки

(1) обратно через х:

найдем:

z ■=■ Уа х -|- Уах*

4- Ьх 4- с

,

j R [х, Уах*

4- Ьх 4- с }

dx =

= F (Уа х 4~ Уах2 4~ Ьх 4- с ) 4~

Пример 1.

Найти

Решение. Пользуясь

1-й подстановкой Эйлера, положим

Отсюда

*Ух

4" а*

— z — х.

Л:* 4- *а

= г*

— 2zx 4- х8,

z1 — д’

X = ---- й------ 5

.

+ аг

,

1

—Г

2z

z* — а*

*г +

dx —----- 1-----dz;

2zs

1Г»

Следовательно,

dx

__

F*1

<»• + а,)

21

<fe= f

= 1п|г| +

1

Ухг + д’

1

2z‘ (z« + д’)

J

z

4*

51

Таким же способом

можно убедиться, что

dx

= In | х -J- Yх2 — а* | + С.

Vх1 — аг

Эти результаты позволяют включить в таблицу простей­

ших интегралов формулу

j у= In

+

(XVIII)

2-я

подстановка

Эйлера.

Пусть

корни

трехчлена

ах2-{-Ьх-\-с действительные.

Обозначим

их через аир.

Тогда

Ках2 -f- bx + с = Ya (л — а) (х — ) .

Положим

Va(x — а) (х —

= Ya (х — а) z

(2)

[коэффициент а будем считать

положительным, так как при

а<40

можно написать ах2-}-Ьх-\-с=а'(х—а)(р—х), где

— Cd/ ag, — P

■’

Va (a- )z \ 2(р—а)£

С

J

z»-l

я3-1

/ *(ж -1)3

j Я1(г)^г>

Пусть,

пользуясь

правилами

интегрирования

рациональ­

ных функций, мы нашли:.

J R,[z)dz = F(z) + С.

Тогда, выражая z из

подстановки (2) обратно через х, полу­

чим:

R (х, У*ах + bx с) dx = F

) + С.

Пример 2.

Найти

dx

]

(2х — 1)/х — х2

Решение. Пользуясь 2-й подстановкой Эйлера, положим

Ух (1 — х) — xz.

Отсюда получим:

поэтому

л(1 — x) — x2za,

1—х = хгг;

х =----1

Izdz

’

(я2

+ 1)‘

о

1

1

—

:г-

z

2х —

1 =-------

Следовательно,

(

dx

о

I

dz

.

— 1

+ с.

I

-------------г

=» 2

------ -= In z

1

(2х — 1)

х2

I

z1— 1

2 + 1

Если же а<0, то корни трехчлена ах2-ф&х4-с

должны быть

действительными, так как в

противном случае

ах2-\-Ьх-\-с<Э$)

и значение V ах2 -ф Ьх -ф с

—комплексное

для всех х, а

УПРАЖНЕНИЯ

26.

г

___ .

]

лфх22х ф4

f

.

(I)

I

Уax‘ -ф bx -pc

Такие интегралы вычисляются непосредственно по форму­

ле (ХНЕ) или (XVIII)

таблицы основных интегралов.

dx

d(x-2)

Ух2 — 4х 4- 1

У(х — Ч)2 — 3

1

Х~ 4

г

1

.

„

г

= —т=- arcsin

--------------4- С =

arcsin (4х — 3) 4-

С.

/2

1

у-2

'

1

4

Интегралы вида

Г

(Мх 4- N) rfx_

щ

]

Уах2 + Ьх + с

Такие интегралы приводятся

к интегралам вида

(I)

сле­

дующим путем:

р

/

мь

р

мь \

■ I__ (Мх 4- N) dx_ __

\

[Мх 4----------------— 4-N

в

I

\

2д /

2а

1 Уах2 4- Ьх 4- с

]

Уах2 4- Ьх 4- с

M I

(2ax 4- b) dx

Mb_ \

dx

2a | Уахг + bx4- c

2a / ]

Уax1 + bx -|-c

______ dx_______

a

У ax1 + Z>x + c

Пример 3.

Найти

I

(x— l)rfx

1

У2x* -|- 4x 4- 3

Решение.

1

(x — V)dx

_,(x+_1)_-2_ dr_

/2x2*-+- 4x + 3

1

1

(4x + 4)dx______ g

dx

4

] У2х’+ 4x + 3~

1 /2x2

+ 4x 4- 3

= — ]/2xl 4- чх 4- 3

- 2

-7=^=- ==

2

1

1

_

/2(х+1)2 4- 1

2

d /2 (x + 1)

2

/2

= 4- V2**+

4x-+ 3 - /2 In |]/2 (л 4-1) +l/2x24-4x+3"l4-C.

Интегралы вида

_Pn(x)d^

Уахг -f- bx + c

где Pn (x) —многочлен степени n.

Такие интегралы можно

вычислять методом неопределен­

ных коэффициентов, который заключается в следующем.

Допустим, что

гтаУг *-=(+ЛХ, -+.

. .+л.)х

X *Vax

+ bx +с 4- Лл+1 J Уах~+ bx^T ’

-

-1) Atxn~3 + (я - 2) Д2хл-3 +...-+ Л„_1] X

У ах* + Ьх + с

4" bx -J- с 4~ (AiXn~l 4- А2хп~3 + •

•

• 4~А.) X

ь

л

у

ах + о

— .

(2)

2 _____ I------- я+1

Vах2 4- bx -t с

Vах2 + Ьх + с

Правую часть

равенства (2)

приведем к общему знаме-

нателю, равному знаменателю левой части:

Vах3 4- Ьх 4~с .

После этого и числители обеих частей должны

быть рав­

ными, то есть должно быть справедливо тождество

/>„ (л) = [(/» — 1)Л/-2 + («-2)Л/“34-.

•

•

+ Л-1 1 х

X (ах3 4- Ьх 4- с) 4- (А,хп-Х + Д2х"-2 + .

.

. 4- Д„) X

X (ах 4- -у) 4- Дл+1 ,

(3)

но: сначала Дь затем Д2 и т. д.

Дь Д2...,ДЯ+1В правую

Подставив найденные

значения

часть равенства (1) и вычислив

интеграл

Г

dx

_____

I

Yах* -|- Ьх + с

(х2 — Y) dx

= (Д1х4-Ля)/3 4-2х - х3

4-

у о “i лл

— л

\/

\ — X

I

/3 4- 2х — х*~

/3 -р 2х —х*

Приравнивая

коэффициенты при одинаковых

степенях х

в правой и левой

части этого тождества, получим

уравнения

4~ 4 arcsin -5 ~1

-U С.

1

*

2

1