книги из ГПНТБ / Определенные и неопределенные интегралы учебное пособие для студентов Н. А. Фролов Министерство высшего и среднего специального образования РСФСР, Московский ордена Ленина энергетический институт. 1960- 4 Мб

ГЛАВА III

СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

1. Связь между определенными и неопределенными интегралами

ла получена формула —формула Ньютона—Лейбница. Этой

ь

Jf(x)dx = F(x)4-C,

то по формуле Ньютона—Лейбница

» ь

Jf(x) dx = F(x)| = F(ft)-F(a).

70

Таким образом, формула Ньютона—Лейбница устанавли­

вает связь между определенными и неопределенными интег­ ралами.

Пример. Вычислить

з

воряет следующим условиям:

1)когда t изменяется от а до р функция <p(f) непрерывно изменяется от а до Ь так, что <р(а)=+ <р((3) =&, а все другие значения <р(0 содержатся в области, где функция /(х) опре­ делена и непрерывна;

2)на отрезке с концами аир функция qp(/) имеет непре­ рывную производную

Докажем, что

ьр

J/(x)dx=p[<p(O]<F'(O^.

а•

Прежде всего заметим, что каждый из этих двух интегра­

лов существует как интеграл от непрерывной функции (непре­ рывность Дер (/)] следует из теоремы о непрерывности слож­

7.1

ных функций). Остается доказать, что они равны между собой.

/Тля этого составим две функции:

т(0

F(0 = j f(x)dx

а

И

Ф(о== «р[?(0]?'(0^-

Заметим, что эти функции имеют тождественно равные производные. Действительно,

dy di

Но

^=/(? «I.

d<f

как производная интеграла от непрерывной функции по его верхнему пределу. Поэтому

(О = f 1? (0] ?' (0-

Производная Ф'(0 также является производной интеграла от непрерывной функции по его верхнему пределу. Поэтому

Ф' (0==/[? (0] ?' (0-

Следовательно,

F'(0 = ®' (f).

Это означает, что функции F(t) и Ф(^) являются перво­ образными для одной и той же функции и поэтому могут от­ личаться между собой только на постоянное слагаемое, то есть имеет место тождество

Г(О==Ф(0 + С,

где С — некоторое число.

Полагая в этом тождестве t—a и замечая, что

Ф(«)= «р [<Р (01 ф'(0 dt—О,

Г (а) = J / W dx=^ J/(х) dx = О,

72

получим

С = 0.

Следовательно, для всех значений t от а до р

Г(<) = ф(0,

то есть

f (О t

р(х) = р [?(*)]?' (*)&■

а«

Отсюда при /=Р, учитывая, что <р(Р)=^, получим требуемое равенство

ь

J f(x)ix = j/[7 (/)!»' w it.

aa

Вэтой формуле заключается способ вычисления определен­ ного интеграла подстановкой: функцию x=<p(f), удовлетво­

ную систему координат хоу, поместив начало о в центре дан­ ного круга (черт. 6). Тогда уравнение окружности радиуса г

будет:

х2+у2 = г2.

Первую четверть круга можно рассматривать как криво­ линейную трапецию, построенную на отрезке [о, г] оси ох и ог­ раниченную сверху кривой

y = Vr2 — x2-,

поэтому ее площадь, равная S, выразится формулой

у S = ^Vr^^j^dx.

о

73

Для вычисления определенного интеграла в правой части

этой формулы воспользуемся подстановкой

х — г sin t.

решив их, найдем пределы для интегрирования по новой пере­

_L 5 = J ]Лг2 — х1 dx = r2 J cos* t dt —

J и (х) dv (х) = [и (х) v (х)] | — J v (х) du (х).

Действительно, так как при данных условиях

то uv есть первообразная для функции и dx 4- v dx

74

a

Пользуясь правилом интегрирования суммы, последнее равен­ ство можно представить в виде

ьь

Полученная формула выражает способ интегрирования по 'частям при вычислении определенных интегралов.

Пример. Вычислить площадь S фигуры, ограниченной [ТС 1

О,— оси ох (черт. 7).

2

Черт. 7.

Решение.

2

S== J jccosx dx.

о

Для вычисления полученного интеграла применим способ интегрирования по частям. Положим

и — х, dv = cos xdx.

Тогда

du — dx, v = sin x.

75

Поэтому

Следовательно, искомая площадь

Se __ i.

2

4. Приближенное вычисление определенных интегралов

Если можно найти функцию Е(х), первообразную по отно­ шению к непрерывной функции /(х), заданной на отрезке [а, Z>],

а

мулой Ньютона—Лейбница:

ь

J f(x)rfx = /?(x)|fl .

а

Однако первообразную часто бывает трудно найти, а иног­ да и нельзя ее выразить^ в элементарных функциях. В таких случаях формула Ньютона—Лейбница практически неприме­ нима. Нельзя пользоваться этой формулой и тогда, когда подынтегральная функция получена опытным путем, как это часто бывает в технике, и выражается таблицей некоторых ее значений или графиком. Во всех этих случаях прибегают к при­ ближенному вычислению определенных интегралов.

Рассмотрим простейшие способы такого вычисления.

Способ прямоугольников. По определению:

ъ а—1 f f(x)dx = Ига

аАХИ,°Й-О

Отсюда следует, что за приближенное значение интеграла

ь

/ = J f (x)dx

76

можно взять интегральную сумму

»= Sf(E»)Ax„

*-0

причем отклонение суммы ст от интеграла I будет сколь угодно мало, если только при составлении интегральной Суммы а

отрезок [а, Ь] был разбит на достаточно малые части.

Если нам известно, что числа

Тогда получим приближенные формулы

а

77

Полученные здесь приближенные формулы имеют простой геометрический смысл.

функции /(х), отрезком [а, Ь\ и прямыми х—а и х=Ь. Правые же части приближенных формул представляют площади сту­

пенчатых фигур, составленных из прямоугольников. Этим'

объясняется, что применение приближенных формул (1) и (2)

или (1') и (2') называют приближенным вычислением опре­ деленных интегралов способом прямоугольников.

ций, так как в случае непрерывной и положительной на отрез*

78