Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Определенные и неопределенные интегралы учебное пособие для студентов Н. А. Фролов Министерство высшего и среднего специального образования РСФСР, Московский ордена Ленина энергетический институт. 1960- 4 Мб

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.10.2023

Размер:

4.16 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 147 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

При	интегралы вида (IV) можно привести к интегра

лам вида (III) подстановкой

х — а = — . z

Если же « > п, то следует сначала у дроби ----- п~~

выделить целую часть. Пример 5. Найти

рdx_______

J X у/'х> + 6х — 1

Решение. Положим

х— — .

Тогда

dx *= —	ж2 ’	г	4-	— 1 — _L			_ 1 =
	ж2 ’	г	'			г ж» + t	1
Поэтому
f	dx		— — С			dt
J х /х2 4- 6х — 1				J / 1 4- 6ж — ж*
С	dz	=-		== arc cos	■	г — 3
= — I	....... ...	=-		== arc cos	■
J /Ю-(ж -3)»					/ 1®
= arccos			+ С = arc cos — + С.

УПРАЖНЕНИЯ

28.

(Зх — 2) dx

4 — 4х - Xs ’

(Зх2 + 5) dx

29.

/х’ +2x4-2" '

30.

х Y х2 4- а2

10. Интегрирование биномного дифференциала

Рассмотрим неопределенный интеграл

J хт (а. 4- bxn)p dx,

где числа т,	п и р—рациональные, а а и Ь — любые,	отлич
ные от нуля	(при а=0 или 6=0 интеграл вычисляется	непо

средственно по основным формулам).

Дифференциал, стоящий под знаком интеграла, мы будем называть биномным.

Биномный дифференциал xm(a-\-bxnydx интегрируется

в следующих трех случаях.	число или	нуль. Если
Случай I. Пусть р — целое	число или	нуль. Если
р = 0, то хт(а-\-bxn)pdx~ xmdx,	и мы имеем	дело с таб
личным интегралом.

Если р — целое число и в то				же время числа т я п — це
лые, то хт (а-\-Ьхп)р			является рациональной функцией и по
этому интегрируется известным способом.
Если р — целое число и по крайней мере одно из чисел т
или п — дробное,	то	хт (а-\-Ьхп)р представляет иррациональ
ное выражение,	которое интегрируется способом, указанным
в § 7 этой главы	(2-й частный случай).
Случай II.	Пусть число р — дробное:
				г
			р= — .
В этом случае		мы		S
			будем	искать такую подстановку,

которая привела бы к интегралу от рациональной функции. Положим

а 4- bxn = zs.

Отсюда получим:

1 JL

х=—— (zs — а)п ,

xm=-^(zs-a)n ,

ъ п

dx = —Z—1- [zs — а)~" 1

nbn

{а 4- bxn)~=zr.

Поэтому

Р	—	.	(,		^+1_!
1 хт {а 4- bxn)s dx = —I				zr+5-1 (zs — a) n		dx.
		nb	"
Ясно, что в полученном интеграле					подынтегральная
функция будет рациональной,				а поэтому интегрируемой
известным способом, если				т + 1		целым или
известным способом, если			число —1— будет			целым или
				п
нулем.	Если же	число -	— дробное,		то	полученный

интеграл ничем не лучше данного.

Итак, xm(a-\-bxn)s dx интегрируется подстановкой

а 4- bxn — zs,

если только выполнено условие:

т 4- 1

есть целое число или нуль.

Случай III. Пусть р = — и число	— — дробное.
5	п
Положим
а + bxn =zsxn.

Отсюда находим:

	2		__ i_
х = а п			(zs — b)	п ,
		1		1
	С/7	—		— *——1	,	«
	С/7			Л	,	«
dx~-------------(zs — b)					zx-1 dz,
	п
a-[-bxn = azs(zs				—b)~l.
J хт (а 4- bxn)s dx =
Поэтому
’^±L + Z.	p			\	n	+ _L	+4
,.л n s	p			\	n	s	J
— — —-----------	z'+s-1 (zs — b)						dz.

Отсюда видно, что подстановка, которой мы восполь зовались, приводит к интегралу от рациональной функции,

если только	т 4- 1 .	г	число или	нуль.
	—1----- ------есть целое
	п	S

Итак, хт (а -ф bxn)s dx интегрируется подстановкой

а -ф bxn = zsxn,

если только выполнено условие:

пS

есть целое число или нуль.

П. Л. Чебышев доказал, что рассмотренные здесь три случая исчерпывают все случаи интегрируемости биномного дифференциала.

Таким образом, верна следующая теорема.

Теорема Чебышева. Неопределенный интеграл от биномно го дифференциала

J хт (а -ф- bxn)° dx

приводится к интегралу от рациональной функции и поэтому выражается через алгебраические, логарифмические и обрат ные тригонометрические функции, если хотя бы одно из трех чисел:

m -f-1	m 4- 1
п ’	п

— целое или нуль. Если же ни одно из указанных трех чисел не будет целым или нулем, то биномный дифференциал не ин тегрируется никаким методом.

Пример 1. Найти

J х3(1 4*- 2) 3dx.

Замечаем, что в данном случае
	г	2	,
m = 3, п — Ч, р — —		= —	,
r	$	3
/п + 1__ 3 4-1 __ g
п ~ 2	—
Поэтому положим
14* -x = «s	*(l+x	= zs).

Отсюда найдем:
x^(z*	- \|)~, rfx = -\|-(z3-*6Zz,ir^x
	Jx3 (1 -I- x'^dx =
= J (z3 - I)'»’z3	A(z’ - z*l)~~	adz = -\|-j(z8 - J) *dz =
= 4" f *( 7 -«4)rf2= — (■£------—\ +C.
2 J	’	2 \ 8	5 /
Так как
	z — (1 + x’)3 >
то окончательно	получим:

Пример 2. Найти

у—

*х (2 + х») *

Здесь мы имеем:

т = — 2, я = 3, р=— —

поэтому положим
2 4- х3 = z3x3			(2 + х3 — zsxn).
Отсюда получим:	_ _i_	1	_ 4
1				- 1) szatZz,
x=2^(z3—1)	3,	dx = - 2 3 (z3
2 4-х3 =2z3			(z3 — I)-1,
		1	2	б
	— 23z’(2’—1) 3			(z’-1)3 ,
			—r---------az =
				ъ
	(z3 — 1) 32 3			2Tz»

__ ____ 2	L 4- c c= 2gi + 1
4	8z2 ‘ 82*

Так как из подстановки, которой мы воспользовались, сле дует, что

Z —

то

——у

хг (2 -I- х‘) 3

4 + 3x3

8х(2 + х3)3

УПРАЖНЕНИЯ

31. J х3 /(2 - х')1 dx.

32.

(2 + 8^)2

11. Интегралы от некоторых тригонометрических

выражений

Рассмотрим интегрирование некоторых тригонометрических дифференциалов.

Интегралы вида

(Л)	J R (sinx, cosx) dx.
где	подынтегральная функция такая,	что если sin х и cos х
заменить соответственно через и и V,		то получится функция

7?(u, v), рациональная относительно своих аргументов и и v.

Вычисление таких интегралов приводится к интегрированию рациональных функций.

Действительно,	. Х				Л I	Х 9
П	. Х			Х	Л I	Х 9	Х
sin х — 2 sin — cos				—- = 2 tg		— cos’	— =
	2			2	&	2	2
	_		X		X
	2tg—				2tgy
	Sec»-^-				1+tg»-^-
			At			a
,	X	.	,	X	.	X
COS X = cos-------sin			— — cos’ —
	2			2		2
	1 — tg2 ~				1 — tg2 y
	sec2	-y			1 + tg2 -y-
Если теперь положим				X
			,	X
			tg	— = Z,
			S	2
то получим:		2z				1 — z5
		2z				1 — z5
	sin x =-------,				cos x =--------
	1	+ z2				1 + z2
	x = 2 arc tg z,				dx — - dz -
				s ’		14-z2

Поэтому

/?(sinx, cosx)t/x =

2z 1—z2\ 2rfz

Ri (z) dz,

1+z»’ 14-z2/ 1 +z2

где Ri(z)—рациональная функция, так как для его получения мы подставили в рациональную функцию R (и, v) вместо и и v выражения, соответственно,

2z	------	1	— z2
		1	и --------
1 + Z2			+ Z»

содержащие только целые степени z, а затем результат умно жили на рациональную дробь

1 + z« '

5—295

Пусть, пользуясь правилами интегрирования рациональ ных функций, мы нашли:

J /?, (z) dz — F (z) + С.

Тогда

J R (sin х, cos х) dx = F tg 4" С-

Пример 1.		Найти		dx
				dx
				sin х
Положим
Тогда				2
Тогда				2z	,		2dz
				2z	,		2dz
			sin x = -------,			dx —--------
				14-4			1 4. ««
Следовательно,
Р	dx __	Р	dz
J	sinx	J	z
Результат, полученный здесь, позволяет включить в табли
цу основных интегралов формулу
			du	= 1П tgy-			+ С.	(Х1Х>
			sin и

Интегралы вида

(5)

J sin" х cos'” xdx.

Остановимся на двух случаях, когда интегралы вида (В)

вычисляются весьма просто.

1-й случай, когда по крайней мере один из показателей степени m или п—положительное нечетное число.

Пусть, для определенности, таким числом будет т, то есть т=26-|-1, где k — натуральное число или нуль. Другой пока затель степени п в этом случае может быть любым действи тельным числом. Тогда имеем:

j sin” х cos!ft+1x<Zx = Jsin" x cos’x* cos xdx —

= J sin" x (1 — sin* x)k d sin x.

Развернув в последнем интеграле (1—sin2x)ft по формуле бинома Ньютона и интегрируя полученную сумму почленно,

придем к табличным		интегралам		вида	Jsin^ xd sin х.
Пример 2. Найти
		J	V cos х
Решение.
f	tg3% -	dx — f cos		2 x sin’ xdx —
J	У COS X		J
			7
	= I cos		2 x sin2 x sin xdx ==
		_ 7	x(l — cos’ x)d cos x =
= — I cos		2	x(l — cos’ x)d cos x =
	_ _7_			Г cos	_js_
=—I cos		2 xd cos x 4-		Г cos	2x6Zcosx =
	- — cos	2	x — 2 cos 2 x 4" C.
	5				1

2-й случай, когда оба показателя т и п—положительные

четные числа.

В этом случае подынтегральную функцию преобразуем по известным формулам тригонометрии:

sin х cos х = — sin 2х.

sin’x = -у- (1 — cos 2х),

cos2x = -|- (1 4- cos2x),

в результате чего получим либо интегралы, содержащие не четные степени sin 2х или cos 2х, которые вычисляем способом, рассмотренным в 1-м случае, либо интегралы опять от четных степеней sin 2х и cos 2х, которые снова преобразуем по тем же формулам тригонометрии, переходя к функциям sin 4х и cos 4х, и т. д.

Этот процесс всегда можно довести до конца, так как каж дый раз сумма показателей уменьшается вдвое.

Пример 3.	Найти
	J sin’xcos4xcZx.
Решение.		f sin!2x		l + cos2x .
С . ,	. .	f sin!2x		l + cos2x .
sin’ х cos4 xdx		= I	—-—	• ------ ------- ax =
J		J	4	2
= — f sin’2xiZx 4- — f sin’ 2x cos 2xdx ~
8 j			8 J
= — C	12~~cos 4x ■ dx -}—— C sin! 2xd sin 2x —
8 J	2		*	16 J
=	x----- -	sin 4x -I—~ sin3 2x 4- C.
16	64		'48
Интегралы вида
(C)	J sin ax cos bxdx.

При a=b интеграл (С) является элементарным интегралом вида (В). Если а #= Ь, то, пользуясь формулами

sin (а ± Ь) х = sin ах cos bx + cos ах sin bx,

находим:

sin ax cos bx = ~- [sin (a -f- b) x -ф- sin (a — b) x],

1	C	, /	.\	j	cos (a 4- b) x	cos (a— b)x
—	J	sin (a — b)xdx =-------- —1——				2(a—b)
2	J		7		2(a + b)	2(a—b)
Интегралы вида
(D)				j sin ax sin bxdx,
(E)					cos ax cos bxdx,
при a=b относятся к интегралам вида						(В), а при а ¥= b вы

числяют аналогично интегралу (С), пользуясь формулами

cos (а + Ь) х = cos ах cos bx + sin ах sin bx.

Пример 4. Найти

Icos — cos 2xdx.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 147 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ