Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Определенные и неопределенные интегралы учебное пособие для студентов Н. А. Фролов Министерство высшего и среднего специального образования РСФСР, Московский ордена Ленина энергетический институт. 1960- 4 Мб

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.10.2023

Размер:

4.16 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 142 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

В самом деле, пусть функция f(x) на отрезке [а, Ь] не ог раничена. Разобьем отрезок [а, Ь] на какие угодно части. Так

как по условию f(x)		на [а, Ь] не ограничена, то найдется такой
частичный отрезок		[*„,х	„+!**•	],	на котором функция /(х)
также не ограничена.
Выберем точки		е	[xft) x* +i ]		и составим	интегральную
сумму			л—1

		° = S f (U
			Л-0
Зафиксируем точки £0,				,	*£ 0-i, ^o+i,	... . , tn-i		и бу
дем менять только		е	[х 0, х 0+1]. Тогда в				интегральной
сумме о	будет изменяться только одно слагаемое:/(„)* £							Лх* 0.
Так как	надлежащим выбором				в [хд.о, x* o+i] это слагае
мое можно сделать как угодно					большим по		абсолютной
величине, то и абсолютная величина всей суммы а								может
быть сделана как угодно большой.
Отсюда следует, что сумма ст				при Ах -> О не может иметь
предела,	и поэтому функция f(x)			на отрезке [а,		Ь] не интегри

руема.

Заметим, что ограниченность функции не является доста точным условием ее интегрируемости.

Так, например, функция Дирихле:

■D(x) = l, если х рационально, £)(х)=0, если х иррационально,

ограничена на любом отрезке [а, Ь], но не интегрируема на

этом отрезке.
В самом деле, при любом разбиении отрезка [а,									Ь] на
части [хЛ, .Xfe+i] мы можем взять точки						e [xk,		+i]x*	так,
чтобы все		они	были рациональными.			Тогда	для	D (х) на
отрезке	[а,	д]	интегральная сумма о		равна
			п—1
			2 1 Ч = 6 - Д
			Л-0
Но при	любом разбиении отрезка [а,					точки	е [xft, xft+!]
можно выбрать и так,				чтобы все они		были	иррациональ
ными. Тогда для D (х)				интегральная	сумма		будет		равна

п—\

£*0Дх = 0.

Л-0

Итак, при любом как угодно малом Ах есть значения о, равные Ь—а и равные 0. Следовательно, при Ах^ 0 интег ральная сумма о для функции D(x) предела не имеет, то есть функция Дирихле не интегрируема на [а, Ь}.

Достаточные условия интегрируемости функции мы имеем в следующих теоремах, которые примем без доказательства.

Теорема 1. Всякая непрерывная на отрезке [а, Ь] функция интегрируема на этом отрезке.

Выше мы определили			площадь S криволинейной		тра-
			ZZ—' 1
пеции	аАВЬ (черт.	1) как предел суммы У f (?ft)		ДхА	при
Дх-► 0, если этот предел			к-0		этом
Дх-► 0, если этот предел			существует. Так как	при	этом
	л —1
сумма	У /(U	была составлена для непрерывной функ-
	л-о		Ь], то, согласно теореме 1,		этот
ции f (х) на отрезке [а,			Ь], то, согласно теореме 1,		этот
предел действительно-существует, а именно:
		л—I	b
	«т У f (U ДхЛ = f f (х) dx.
	Дх-0	Л-0	J
		Л-0	а

Следовательно, площадь S криволинейной трапеции аАВЬ выражается формулой:

S — J f (х) dx.

В этом заключается геометрический смысл определенного интеграла от непрерывной функции.

Теорема 2. Если функция f(x) на отрезке [а, Ь] ограни чена и имеет лишь конечное множество точек разрыва, то она интегрируема на этом отрезке.

4. Свойства определенного интеграла

Остановимся на некоторых свойствах определенного ин теграла. При этом мы будем предполагать, что все рассмат

риваемые здесь функции либо непрерывны, либо ограничены и имеют лишь конечное множество точек разрыва на отрезке интеграции, то есть удовлетворяют достаточным условиям ин тегрируемости.

I. При перестановке пределов меняется только знак интег

рала, то есть			b
а			b		(I)
J f (х) dx ~			f (х) dx.		(I)
»			а
В самом деле, если, например, а<^Ь, то				в	интегральной
сумме	ь
	ь
	° = S f
	а	b
соответствующей	интегралу	b	/ (х) dx,	все	&xk = xs+i —
соответствующей	интегралу	j	/ (х) dx,	все	&xk = xs+i —
— xk > 0, а в интегральной		а
— xk > 0, а в интегральной		сумме
	*'= S
	ь	а
		а	f (х) dx,		Axj = х'+1 —
соответствующей	интегралу j		f (х) dx,	все	Axj = х'+1 —
		4>

— x't < 0, так как нумерация точек деления отрезка инте грации ведется от нижнего предела к верхнему.

$0	<0 Х!	Хк %к	ХП-1 ?п_, &п
d------ ---------------------- 1—ч-------•------ 1------------- 1------ •-------1/
	Ir»-t		**'•
		Черт. 2.

Поэтому каждому а		соответствует такое а', что
		а' = — а
(черт.	2). Отсюда и следует равенство (1).
II.	Постоянный множитель можно выносить за знак интег
рала,	то есть	ь
	ъ	ь	(II)
	J с f (х) dx = с J /(х) dx		(II)
	а	а
(с—любая постоянная).

В самом деле, при любом разбиении отрезка [а, Ь]

Л—1	п—1
S С f	ДЛ* = С S f ^Хк-

Отсюда, переходя к пределу при Ах *- 0, получим равенство

(II).

III. Интеграл от суммы двух (а значит, и любого фиксиро ванного числа) функций равняется сумме интегралов от этих функций:

ь	ь	ъ
J 1/1 (•) + /2 (-)]	dx = f	f, (%) dx 4- J f2 (x) dx. (Ill)
a	a	и

Для доказательства этого свойства достаточно заметить, что при любом разбиении отрезка [а, Ь} имеет место равенство

л—1			я—1		л—1
S [Л			= S /1
ь—о			k-o		*=о
которое	и превращается в		пределе	при	Ах -► 0	в	равен
ство (III).
IV. Интеграл от разности двух функций равняется разно
сти интегралов от этих функций:				ь
»		ь		ь			(IV)
J [/ (х) — <р (х) ] dx — J f (х) dx — J <р (х) dx.							(IV)
а			а		а
Это вытекает из свойств (II) и				(III),	так как
	*/(•)	— ? (X) = f (х) -4- (-1) ? (X).
V.	При любых а, b		и с имеет место равенство
	Ь	с	Ь		f (-x) dx.
	f (х) dx = *j		f(x) dx -f- J		f (-x) dx.		(V)
	sac
Докажем равенство (V) сначала для случая,						когда с со
держится между а и Ь.

Пусть а < с < Ь. Мы имеем

ь П—1

f (х) dx = lim V f (\|А)		Axft,
a	Дх — 0 "
a	k—0
n-l
где сумма /($Л) ДхА	составлена для	разбиения отрезка

[а, Ь]. Учитывая, что интеграл не зависит от способа деления отрезка интегрирования, точку с мы всегда можем включить

вчисло точек разбиения отрезка [а, Ь]. Пусть (черт. 3)

а— х0 < xt < ха < . . . < хр == с < Xp+i < . . . < ха — Ь.

Тогда получим:			а—1
	л—1 р—1		а—1
	S /«») **»	= £/ (у Ах, + £ f (t»>
	А—О	Л—0	С	к^р
			С
а\|------- 1-------j-------b—I-------1--------1------- 1-------1— ------- \|д
Хр	Xl		Xfl-/ Хр	Xpt)	zn
		Черт. 3.
Переходя в этом равенстве к пределу при Дх->					0 и учиты
вая, что			р—1с
	Hm J f		р—1с	Сf(x)dx,
	Hm J f		J	Сf(x)dx,
	Az-»0 м		J
	Л-0		а
	п—\	/ (U	Ь	dx>
	Нто	/ (U	= J f	dx>
	к—р		с

мы получим требуемое равенство (V).

Рассмотрим случай, когда с не содержится между а и Ь. Пусть, для определенности, а<^Ь<^с. Тогда по доказанному имеем:

		с Ь	с	f (x) dx,
j f (х) dx = J			f (x) dx + J	f (x) dx,
a		a	b
и поэтому
bee				f (x) dx.
J f (x) dx = J			f (x) dx — J	f (x) dx.
a	a		b
Отсюда, учитывая,		что	&
	J	f (x) dx — — J f (x) dx,
	b		C
опять получим:			b
b	c		b	f (x) dx.
a	f(x)dx =		f(x)dx	f (x) dx.
a		a	c

VI.	Если на отрезке а с х < /(х) < ср					(ж), то
		ь	ь
		J f (х) dx <2 J <р (х) dx.					(VI)
		а	а
В самом		деле, так	как f (х) < <р (х)	в	каждой точке
х е [а, £>],	то	при любом разбиении отрезка			[а,	&] на	части
\xk, *х +1]	и	при любом	выборе точек	е [хА,		x* +i]	спра

ведливо неравенство

л—1 Л—1

*-0 *-0

Переходя в этом неравенстве к пределупри Ах -* 0, мы полу чим неравенство (VI).

Отсюда, в частности, следует, что если на отрезке а < х < b

функция /(х) >0 (f (х) < 0), то

ьь

J /(х) ^х > 0		( J /(х) dx < 0).
а		а
5. Теорема о среднем значении
Теорема. Если на отрезке а Сх< b или b С х < а функ
ции f(x) и <р(х)	непрерывны и (р(х) не меняет знака,		то на
этом отрезке есть по крайней мере одна точка g такая,			что
ь	ь

J f (х) ? W dx — f (I) J ? (x) dx.

a	a
Доказательство. Прежде всего		заметим,	что
ь	ь	интегралы	от
J / (*) Т (х) dx и J ср (х) dx существуют как		интегралы	от
а	а
непрерывных функций.

Пусть, для определенности, а<^Ь и ф(х) > 0 при любом х из отрезка [а, 6]. Обозначим через пг и М соответственно наи

меньшее и наибольшее значения		функции /(х) на отрезке
[а, 6], которые существуют	в	силу непрерывности /(х).
Тогда для всех х е[а, Ь]
m	f (х)	М
и
)?«?(•«)</(*	(х)<Л!^(х),

Интегрируя все части этого двойного неравенства, получим

h			b			Ь
$	m<f (x)dx < J f (x) <p (x) dx < J M <p (x) dx
a			a			a
ИЛИ	b	b			b
m J <p (x) dx < J /(x) <p (x) dx						M j <p (x) dx.
	a		a			a
Отсюда следует,			что
		b	b
		J	f (x) ® (x) dx ~		J	? (x) dx,	(1)
		a			a
где ц	есть	некоторое		число,	удовлетворяющее		условию
/л				непрерывна на отрезке [а,
Так как функция /(х)				непрерывна на отрезке [а,			Ь], то она

принимает в качестве своих значений все числа отрезка [т,ЛЦ.

Поэтому есть по крайней мере одна точка £е[а, Ь] такая, что

н = f G).

Вследствие этого равенство (1) можно записать в виде

ь	ь
J / () Т () dx = f (?) J <p (x) dx,		(2)
a	a
где a. < $ < b.
Что и требовалось доказать.
Полагая в теореме	о среднем значении <р (х) = 1,	что не
противоречит условиям этой теоремы, и замечая, что
ь	л-1

С dx ~ lim V Дхй = b — а, J Ax-»0

аЛ—О

из равенства (2) получим:

ь
j f (х) dx == f (5) (й - а).			(3)
а
Частный случай теоремы о среднем значении, который вы
ражается равенством	(3), имеет	простой	геометрический
смысл. Действительно,	(х) dx есть	площадь Залвь криволи-
	а

нейяой	трапеции аАВЬ (черт. 4),	ограниченной отрезком
[а, Ь],	графиком функции y=f(x) и	прямыми х=а и х=Ь, а

f(l) (&—а) есть площадьпрямоугольника а ДВД осно ванием которого является

отрезок [а, &], а высотой— ордината точки М кривой y=f(x), абсцисса которой равна £. Равенство (3) оз

начает существование на кривой АВ такой точки М,

что

Sa А В Ь — Sa Л, Я, />•

6. Производная интеграла по верхнему пределу

Предварительно заметим, что интеграл а\f(x)dx, являю-

щийся пределом интегральной суммы, есть постоянная величи на, не зависящая от переменной х, содержащейся под знаком определенного интеграла. Поэтому, если переменную х под знаком определенного интеграла обозначить какой-либо дру гой буквой, например буквой t, то от этого интеграл не изме

нится, то		есть		ь
		ь		ь
		J /(х) dx — j' f (t) dt.
		a		a
	Пусть	функция	f (x)	непрерывна на отрезке [а, Ь].
Возьмем определенный интеграл от f (х) в пределах					от а
до	произвольной		точки	х отрезка [а, &]. Этот интеграл
X	f (х) dx существует, так			как по условию . функция	/(х)
J	f (х) dx существует, так			как по условию . функция	/(х)

непрерывна, и представляет функцию своего верхнего пре

дела х. Обозначим эту		функцию через Ф (х), то	есть по
ложим		X
		X
	Ф (%) = J /(х) dx.
		а
х	не	зависит От переменной х,
Интеграл j f (х) dx	не	зависит От переменной х,	содержа-
а	интеграла, как это было замечено выше,
щейся под знаком	интеграла, как это было замечено выше,

а от верхнего предела, обозначенного тоже через х, наоборот, зависит; поэтому формулу, выражающую функ цию Ф (х/, удобнее записать так:

dt.

Поставим себе задачей выяснить, существует ли производ

ная Ф'(х) от функции Ф(х) и, если существует, то чему она равна.

По определению производной

Ф'(х) = Шп ±(£±ALz2W_.

’ h~o h

Таким образом,	наша задача сводится к тому, чтобы выяс-
нить, существует	ли предел отношения	Ф (х -f- Л) — Ф(л)	при
		----- --------- —

А0 и, если существует, то найти его.

Рассмотрим эту задачу. Возьмем любое хе [а, Ь]. Дадим

х приращение h, положительное или отрицательное, но такое, чтобы x-\-h содержалось на отрезке [а, &]. Тогда получим для

функции Ф(х) новое значение:

	х+Л
	ф(х+ /?) = *] f(t)dt.
	а
Приращение функции Ф(х) равно
	x+h
Ф (х 4- h) — Ф (х) — J f(t) dt - J f (0 dt =
	a	a
x+h		x+h
= J	f(t)dt+ f f(t)dt= f f(t)dt.
a	x	x
По теореме о среднем значении имеем:
x+h		0 < 0 < 1.
j f (t) dt == hf (x + 0A),		0 < 0 < 1.

Поэтому

Ф(х + Л)-Ф(х) = f {x + 0A)>

2—295			-	17
~ ГОС. ПУБЛИЧНАЯ	j	70^'	/*	-
НАУЧН-ТЕХНИЧЕСКДЯ	I	70^'	/*
- БИБЛИОТЕКА СССР	I

Так как по условию данная функция f(x) непрерывна в каж дой точке х отрезка [а, &], то

lim f (х -j- 6А)

*0h-

Следовательно,

lim	+	= f (x)>
л-о		h

то есть функция Ф (x) в любой точке х е [а, &] имеет производ ную Ф'(х), причем

ф' (х)~/(х).

Этим доказана следующая

Теорема. Производная определенного интеграла от непре

рывной функции по его			верхнему пределу		равна значению
подынтегральной функции при верхнем пределе.
Попутно заметим, что если				функция /(х) непрерывна на
отрезке [а, Ь], то для любого х е [а, Ь]
Ь				х
dx J			dx	j
x				b
7.	Понятие		первообразной функции
Если в некоторой области имеет место тождество
F'(x)=f(x), то	в	этой	области функция		F (х) называется
первообразной по отношению к функции /(х).
Так, например,		при	всех	значениях	х функция х2 есть
первообразная для функции 2х, так как (х2)'=2х.
Теорема 1.	Если функция F(x) есть первообразная по от

ношению к функции f(x), то и функция Е(х)4-С, где С—лю бая постоянная, также будет первообразной для f(x).

Доказательство. Пусть функция Е(х) — первообраз ная для функции /(х), то есть

Л' (х) = f (х).

Тогда при любом постоянном С имеем:

[F (х) + С]' = F' (х) 4- а = F’ (х) = f (х).

Но равенство

[f(x)4- С]' = / (х)

означает что функция Е(х)4-С есть первообразная по отно шению к функции f(x).

<<< < Предыдущая 12 / 142 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ