книги из ГПНТБ / Определенные и неопределенные интегралы учебное пособие для студентов Н. А. Фролов Министерство высшего и среднего специального образования РСФСР, Московский ордена Ленина энергетический институт. 1960- 4 Мб

Теорема 2. Любые две первообразные по отношению к од­ ной и той же функции отличаются между собой только по­ стоянным слагаемым.

Доказательство этой теоремы будет основано на следующей

лемме, выражающей условие постоянства функции.

f'(x)=Q для всех х из интервала (а, Ь).

Необходимость этого условия следует из правила дифференцирования: производная постоянной величины равна

нулю, то есть если f(x)=C для всех х из [а, &], где С—какое угодно действительное число, то /'(х)=0 при всех значениях х из отрезка [а, 6].

Достаточность. Пусть f' (х)=0 для всех х 6 (а, Ь).

Докажем, что на отрезке [а, Ь] функция f(x) —постоянна. Действительно, если а<Л< b, то по теореме Лагранжа

имеем:

fU) = f(a)

при любом значении х из отрезка [а, 6], то есть функция /(х)

на отрезке [а, Ь]—постоянна.

Из этого согласно доказанной здесь лемме следует, что

Ф (х) = С.

Отсюда

Г2(х)-Л (х)=С.

Поэтому

/=3 (X) =/=1 (х) 4-С.

Из теорем 1 и 2 вытекает

Следствие. Если функция F(%) есть одна из первооб­ разных для функции f(x), то множество всех первообразных для функции f(x) выражается суммой

F (Х)Н~С,

sde С — произвольная постоянная.

Теорема 3. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, 6], то она на этом отрезке имеет первообразную.

Доказательство. Возьмем функцию

Ф (x) = J f(t)dt.

а

Она определена для всех х отрезка [а, Ь], так как подынтег­ ральная функция непрерывна и, следовательно, интегрируема на отрезке [а, х] при любом х е [а, Ь].

В предыдущем параграфе, было доказано, что для всех

хе[а,Ь]

Ф'(х)=/(х).

к данной функции /(х). Так как

Ф(х) = J ftt) dt

а

также первообразная для функции /(х), а любые две перво­

образные для одной и той же функции могут отличаться меж­ ду собой только постоянным слагаемым, то на отрезке [а, Ь]

верно тождество

где С — некоторое число.

Взяв в тождестве (1) х—а, получим:

Ф '(а) — F (а) С.

20

Отсюда, учитывая, что

формула в интегральном исчислении. Она приводит вычисле­ ние определенного интеграла от непрерывной функции /(%)

котысканию первообразной F(x) для данной функции f{x);

Пример. Вычислить площадь S фигуры, ограниченной

кривой у=х3, прямыми х=1, х—2 и осью ох (черт. 5).

21

ГЛАВА II

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

1. Понятие неопределенного интеграла

Дифференцирование функции -Г(х) есть действие отыска­ ния для данной функции F(x) ее производной F'(x)—f(x) или дифференциала dF=f(x)dx.

Действие, обратное дифференцированию, которое заклю­ чается в отыскании для данной функции /(х), являющейся производной F'(x), ее первообразной F(x), называется интег­ рированием функции Дх).

Для указания действия интегрирования функции f(x) пользуются знаком j и пишут:

J f(x)dx,

поместив под знаком J выражение f(x)dxt являющееся диф­ ференциалом искомой первообразной.

Выражение J’/(x)dx означает все множество первообразных по отношению к функции f(x) и называется неопределенным интегралом от f(x).

держится в самой задаче интегрирования функции /(х), так как если функция /(х) имеет первообразную F(x), то /(х)

имеет бесконечное множество первообразных, причем все они содержатся в сумме F(x)-^-C, где С—произвольная постоян­ ная.

23

Чтобы из множества первообразных Д(х)-|-С для функции

/(х) выделить определенную первообразную у, достаточно за­ дать начальное условие

у = при х = х9.

Действительно, в этом случае из условия Уо = Д(х0) + С

находим

С = Уо F (х0).

Поэтому искомая первообразная для /(х) будет

у= F (х) - F (х0) + у0.

2.Основные правила и формулы интегрирования

Из определения понятия неопределенного интеграла имеем:

f f (х) dx — F (х)С, J

в которых и отражается то, что дифференцирование и интегри­ рование являются операциями взаимно обратными.

Докажем, что для неопределенных интегралов верны еще

24

Поэтому a J f(x)dx выражает то же самое множество функ­ ций, что и J af(x)dx,—множество первообразных для функции

а/(х).

Следовательно, равенство (III) доказано, если его пони­ мать в том смысле, что как операции, указанные в левой части равенства, так и операции, указанные в правой части этого равенства, дают одно и то же множество функций.

(Если а=0, то a $f(x)dx=0, а У af(x)dx=C, где С—про­ извольная постоянная).

Равенство (III) выражает правило интегрирования:

Постоянный множитель можно вынести за знак неопреде­ ленного интеграла или внести под знак неопределенного ин­ теграла.

Совершенно так же доказывается равенство (IV), из кото­ рого следует правило:

Неопределенный интеграл от конечной алгебраической суммы равен соответствующей сумме неопределенных интег­ ралов от слагаемых.

Пользуясь определением понятия неопределенного интегра­

25

Эту таблицу основных интегралов можно пополнить новы­ ми формулами, которые выводятся . при помощи имеющихся

поэтому при и<0

j = In (- и) + С.

Объединяя этот результат с формулой (VI), в которой под­ разумевалось и>0, получим более общую формулу:

В самом деле,

26

Следует отметить, что интегрирование данной функции не всегда выполняется непосредственно применением полученных здесь правил и формул интегрирования. Чаще всего прихо­ дится прибегать к различным приемам, при помощи которых данный интеграл преобразуется к такому виду, когда стано­ вится возможным интегрирование применением основных пра­ вил и формул. Научиться находить правильный путь для этих преобразований можно только практикой.

Отметим, наконец, что хотя всякая непрерывная функция

/(х) имеет первообразную F(x), как это было доказано выше, однако может оказаться, что первообразная F(х) не выра­ жается конечной комбинацией элементарных функций, то есть может оказаться, что j/(x)dx существует, но нельзя его фак­

тически найти.

К таким неопределенным интегралам относятся, напри­ мер,

3. Примеры непосредственного интегрирования

На ряде примеров покажем интегрирование непосредствен­ но применением основных правил и формул интегрирования.

Пример 1. Найти

3 ___

f '3 — 2'^У x )’ x dx.

Решение.

J (3 — 2 У х )а х dx =• J (9 x — 12 x3 -f- 4x3) dx =

27

Пример 2. Найти

Решение.

=-тр-х,) </(1-х3) =

Пример 3. Найти

Г 6 х3 dx

J зч-хо'

Решение.

Пример 4. Найти

Пример 5. Найти

2 — - 1 ) dB.

3 /

Решение.

A-1pe = j(sec'A_2) ^/0 fiSS

28