книги из ГПНТБ / Определенные и неопределенные интегралы учебное пособие для студентов Н. А. Фролов Министерство высшего и среднего специального образования РСФСР, Московский ордена Ленина энергетический институт. 1960- 4 Мб
.pdfd
——г - f 2 do - 3 f —V 3 < - 2 CrfO —
|
COS2 |
---- |
J |
" |
cos2 |
— |
|
|
3 |
|
|
|
3 |
Пример 6. |
Найти |
|
|
|
||
|
|
|
f |
dz |
’ |
|
|
|
|
J |
/ 9 — 4 z2’ |
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
C |
dz |
If |
d(2z) |
1 |
. 2z |
|
J |
/9 —4z2 |
2 |
J |
/32 — (2z)2 |
2 |
3 |
Пример 7. Найти
Гdx
J X2 + X + 1 '
Решение.
Пример 8. Найти
г |
(х2 — х») dx |
|
J |
/1^в |
|
Решение. |
|
|
(*х — x5)dx __ |
Г x‘dx |
Г х5 dx |
/1 — х6 |
J /1 — х6 |
J /1 — х6 |
29
V 2 х dx
з
V 1 + 2 х2
8 д2 ха dx
*а х4
dx
ех 4- е-*
Гх (х1 4- 1) dx /1-5х4 '
УПРАЖНЕНИЯ
6.J(tg 2х — ctg 2х)2 dx.
7.f ---------—--------- .
J3 X2 4- 2x 4- 2
8.Г
J/x(4-x)
9. |
J *(6 |
- )»3*- dx. |
0. |
C |
..x‘* . . |
|
J 5 —2x24-x4 |
|
4. Интегрирование подстановкой
Пусть требуется вычислить неопределенный интеграл
J f(x)dx
от непрерывной функции f(x). Положим
* = ? (г),
где <p(z)— функция, имеющая непрерывную производную ф'(з), причем такая, для которой существует обратная функ ция
z »=» ф (х).
Докажем, что для вычисления Jf(x)^x достаточно вычис
лить j f[(p(z)](p'(z)dz и затем переменную z заменить через ф(х).
Действительно,
d J f (х) dx = f (х) dx,
d J И? (z) ] ?' (z) dz = f [<p (z) ] cp' (z) dz — t (x) dx.
Отсюда следует, что каждый из двух неопределенных ин тегралов j7(x)dx и J/[v(z)] tf(z)dz, где г=ф(х), выражает одно и то же множество функций, — множество первообразных по отношению к функции f(x). Поэтому
J/(х)4/х= J /[<р (z)] <f>'(z) dz, [z == ф (х)].
30
Полученная формула выражает весьма часто применяемый способ интегрирования, который называется интегрированием
подстановкой или заменой переменной.
Этот способ, как показывает формула, заключается в том, что для вычисления §f(x)dx переменную х выражают через новую переменную z, производя под знаком неопределенного
интеграла подстановку x=<p(z):
f (*) |
= *)],/[?( |
dx = ср' (z)dz, |
выбрав (p(z) так, |
чтобы |
новая подынтегральная функция |
f[q>(z)]q/(z) была более простой для интегрирования.
Пример 1. Вычислить
Рdx
J Уа2 — х2
Решение. |
Положим |
|
|
|
|
|
Тогда |
|
х — a sin z. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
z == arcsin —, |
— Xs |
— a cos z, |
dx = a cos z dz. |
|||
a |
|
|
|
|
|
|
Поэтому |
(* acoszdz |
f |
, |
. ~ |
, x , |
|
dx |
||||||
= i |
„ „ =» |
i |
dz — z + C = arcsin — -4- C, |
|||
P a2 — x2 |
1 |
a cos z |
I |
|
1 |
a |
что согласуется с |
формулой |
(XIIF) в таблице |
основных ин |
|||
тегралов. |
|
|
|
|
|
|
Пример 2. Вычислить
Сех dx
J i'V —2 ’
Решение. Положим
ех — 2 = z'.
Отсюда, дифференцируя обе части этого равенства, нахо дим:
exdx = 2zdz.
Поэтому
,-/х = |
= 2 dz = 2z + С = 2 /ех -2 + С. |
31
УПРАЖНЕНИЯ
11.
12.
13.
14.
5. Интегрирование по частям
Пусть и и v — дифференцируемые функции от х. Тогда
d (uv) = udv -f- vdu.
Интегрируя обе части этого равенства, получим: J d (uv) = J udv J vdu.
Ho
J d (uv) —
Поэтому
uv + C = J udv ф- J vdu,
откуда
J udv ~ uv — У vdu -{- C.
Так как произвольная постоянная С может быть вклю чена в слагаемое У vdu, то имеем:
У udv = uv — У vdu.
Полученная формула приводит интегрирование udv к ин тегрированию vdu, что иногда оказывается более легким.
Вычисление неопределенного |
интеграла при помощи этой |
|
формулы называется интегрированием по частям. |
||
Пример 1. |
Вычислить |
|
|
J InxtZx. |
|
Решение. |
Положим |
|
|
и == In х, |
dv = dx. |
32
Тогда
, dx
dw =—, v=x.
X
Отсюда получим:
J In xdx — xlnx — §dx — xlnx — x-\- C=
== x (In x — 1) -f- C.
Пример 2. Вычислить
J x2cos x dx.
Решение. Положим
и = Xя, dv — cos xdx.
Тогда
du = 2xdx, v = sin x.
Поэтому
J x2 cos xdx = xs sin x — 2 J x sin xdx.
Для вычисления
j x sin xdx
еще раз применим способ интегрирования по частям:
и = х, dv — sin xdx,
du — dx, v — — cos x,
J x sin xdx — — x cos * + J cos xdx =
= — x cos x + sin x + C.
Следовательно,
J x2 cos xdx — x2 sin %-{-2x cos x — 2sin x -f- C.
Пример 3. Найти
Jeaxsin bxdx.
Решение. Интегрируя по частям, положим
и = еох, dv — sin bxdx.
Тогда
du — аеах dx,, v ~------ |
cos bx, |
b |
|
3—295 |
33 |
Поэтому
J еал sin bxdx =-----eax cos bx Д- у J Qax cos bx dx.
Для вычисления
J еЛЛ cos bx dx
опять воспользуемся интегрированием по частям:
и, — еах, |
dv = cos bx dx, |
|
du = а&ах dx, -p = — sinbx, |
||
|
b |
|
J eax cos bx dx = -^-eaxsinbx---- ~\ eax sinbxdx. |
||
Подставляя это в результат первого |
интегрирования, полу |
|
чим: |
|
|
J еах sin bx dx =---- еах cos bx -|- |
еах sin bx — |
|
---- тх |
I eaxsin bxdx. |
|
*b |
J |
|
Решая это равенство относительно искомого интеграла, най
дем |
Qax |
|
|
|
|
|
Г |
(a sin bx — b cos bx) Д- C. |
|||||
I еах sin bx dx = , |
, ,, |
|||||
J |
cP |
-p o’ |
' |
|
■ |
1 |
|
УПРАЖНЕНИЯ |
|
|
|
||
15. |
Jarcsinxdx. |
|
17. |
J x3 |
sin (x2) dx. |
|
16. Jx3eaxt7x. |
|
18. |
J e-*cos2xdx. |
|||
|
6. Интегрирование рациональных функций |
|||||
Целая рациональная функция, то |
есть |
многочлен вида |
||||
|
+ агхт-1 + . |
. . 4- ат_{ х-^-ат, |
|
|||
интегрируется непосредственно.
Если имеем дробную рациональную функцию, то есть дробь вида
Р(х)
Q(x) ’
34
где Р(х) и <2(х)—многочлены, то в случае, когда степень мне-
гочлена в числителе не ниже степени |
многочлена в знамена- |
||
теле, данная рациональная |
. Р (х) |
может |
. |
дробь |
быть представ |
||
лена в виде суммы целой части [частного от деления Р(х) на
Q(x)] и правильной рациональной дроби [с числителем—остат ком от деления и со знаменателем Q(x)], то есть такой дроби, у которой степень числителя ниже степени знаменателя.
Таким образом, возникает вопрос только об интегрирова
нии правильных рациональных дробей.
Предварительно остановимся на некоторых сведениях из алгебры.
Известно, что всякий многочлен /гой степени
Рп(х) = сйхп + С'Хп-' + . . . +?„_i х + сп
разлагается на линейные множители по формуле
Р„(х) = с0(х — хх)(х — х2) . . .(х-х„),
где хь х2,..., хя—все корни данного многочлена. При этом среди множителей могут оказаться и одинаковые. Поэтому, группируя одинаковые множители, формулу разложения мно
гочлена Рп(х) |
|
можно представить в |
виде |
||
Рп(х) = с0(х — а)а (х ~ Ь)? |
. .-. (х—//,. |
||||
где а, Ь, . . |
. |
, |
I— все |
попарно разные корни многочлена, |
|
а числа а, р, |
. |
. |
. , X в |
сумме дают л. |
|
Корень а называется простым, если а=1, и кратным, если а[>1, причем в этом случае а называется кратностью корня а. То же самое относится и к другим корням многочлена.
Корни многочлена могут быть действительными и комплекс ными. Многочлен с действительными коэффициентами (а здесь мы рассматриваем только такие многочлены) обладает тем свойством, что если он имеет комплексный корень o-\-xi, то имеет и корень ст—xl, причем эти сопряженные корни могут быть только одинаковой кратности.
В разложении многочлена на линейные множители паре сопряженных комплексных корней о+т/ соответствуют ком
плексные множители [х—(cr-[-Ti)] и [х—(о—т/)]. Перемножив
их между собой, мы получим действительный множитель вто рой степени:
[х — (a -f- т/)] |
[х — (а — т/)] =z [(х — а) — xf] [(х — а) -|- т/j — |
|
= (X — а)2 — (т/)2 = х2 |
— 2ах + а* + "2 = X2 -J-/?x q, |
|
где р = —2а |
и 7 => а2 |
'2 — действительные числа. |
3* |
|
35 |
Таким образом, всякий многочлен с действительными коэф фициентами можно разложить на множители вида
(х—а)" |
и (ха + />х + q? , |
где а—действительный |
корень данного многочлена, имеющий |
кратность a, a (x2-[-px-]-qy соответствует ^-кратной паре со пряженных комплексных корней данного многочлена и поэтому трехчлен x2-}-px-\-q не разлагается на линейные действитель ные множители.
Перейдем к вопросу об интегрировании рациональных дробей.
Пусть требуется найти
Р(х) dx,
QW
где 777—. есть несократимая правильная рациональная дробь, v (А)
Коэффициент при старшей степени х в многочлене Q(x) бу дем считать равным 1, так как в противном случае этого мож но добиться вынесением за знак интеграла постоянного множи
теля, обратного указанному коэффициенту.
Пусть
Q (х) — (х — <2)'х (х — Ь)9 . . . (ха -|- рх -]- q)v.
В алгебре доказывают, что в этом случае рациональная
дробь q может быть разложена на сумму элементарных дро
бей по следующему правилу:
Р |
|
^1 |
|
I ________^2________I |
|
|
|
1 |
I |
Q (х) |
(х—а)а |
(х — а)“_| |
|
’ |
|
х—а |
|||
|
_|_ |
Bi |
_|_ |
_____ В*________ |_ |
’•. |
|
I |
В$ |
I |
|
+ (х-ЬУ + |
+ ’ |
’ |
+ х Ь + |
|||||
, I |
М^х -|“ М |
I |
|
|
|
|
|
Afv х -j- TVm |
|
’* (х2 |
+ рх + ?)’ |
|
(х2 + рх + qy~l |
’ |
‘ |
■ |
|
x21-px + q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
Это |
разложение |
производится способом |
неопределенных |
||||||
коэффициентов, который заключается в следующем. |
|||||||||
Пользуясь |
формулой (1), данную |
|
дробь |
|
представ |
||||
ляют в виде суммы элементарных дробей, |
в |
числителях ко-. |
|||||||
36
торых коэффициенты обозначают буквами, считая их неопре деленными.
Затем элементарные дроби в правой части равенства (1) складывают, приводя их к общему знаменателю, который бу
дет равен Q(x).
В результате этого получится равенство |
|
|
|
|||||
|
|
Р(х)_ = Т(х) |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Q(x) |
Q(x) |
’ |
|
|
|
|
где Т(х)—многочлен |
степени |
п—1, |
если |
Q(x)—степени |
п. |
|||
Коэффициенты Т (х) |
представляют линейные комбинации |
из |
||||||
неопределенных коэффициентов элементарных дробей. |
тож |
|||||||
Из равенства |
(2) |
следует, |
что |
должно |
иметь место |
|||
дество |
|
Г(х) = Р(х), |
|
|
|
(3) |
||
|
|
|
|
|
||||
а это будет лишь в |
том случае, когда |
коэффициенты |
Г(х) |
|||||
равны соответствующим коэффициентам Р(х). |
|
|
||||||
Следовательно, |
п коэффициентов |
элементарных дробей |
||||||
должны быть найдены из системы п линейных уравнений, по
лученных путем приравнивания коэффициентов при одинако вых степенях х в левой и правой частях равенства (3).
Система эта имеет определенное решение, что вытекает из
» |
л |
р |
на сумму элемен- |
разложимости рациональной |
дроби |
^-7-4 |
V \Х)
тарных дробей.
Из формулы (1) видно, что интегрирование рациональных дробей приводится к интегрированию элементарных дробей
следующих четырех |
видов: |
|
|
||
1 \ А |
9) |
А |
• 3) |
Mx + N , |
. s Mx + N |
х—а’ |
|
(х — а)“ ’ |
х2рх-у д ’ |
(х^рх+д)4 |
|
Рассмотрим интегрирование |
в этих четырех случаях. |
||||
Случай I.
I —-— dx = A In lx — а\ -4- С.
Этот результат прямо следует из формулы (VI') таблицы основных интегралов.
Случай II.
С—-—dx —------- --------—г -f- С.
(1—а) (х — а) 1
37
Вэтом случае интегрирование выполняется по формуле
(V)таблицы основных интегралов. Действительно,
I А dx — A |
I (* ~ ” d{x — а) — |
= A --(х~а)-8+1.. 4- С=--------- -------— 4- С. |
|
— а+1 ' |
(1 — а) (х - а)а~' |
Пример 1. Найти
dx
fх» — а*
Решение. Знаменатель подынтегральной дроби разла гается на линейные множители х—а и х-\-а. Поэтому
1 |
_ А |
в |
х1 — а2 |
х — а ’ |
х а ' |
Приведя правую часть к общему знаменателю, получим:
1 _ (Л + Д) х + а (Л - В) |
|
|
х2 — а2 |
х2 — а2 |
’ |
откуда следует тождество |
|
|
(4 4-В)х4-а(Д= |
|
|
Приравнивая коэффициенты при |
одинаковых |
степенях х из |
левой и правой части этого тождества, получим
А 4-Д = 0,
а(Д —5)=1.
Решая полученную систему уравнений относительно А и В,
найдем:
Поэтому
= |
2а |
In |х — а\----- — In |х 4" |
+ С == —~ *п |
х— а |
4- с. |
||||
|
1 |
1 |
2а |
1 1 |
1 1 |
2а |
х + а |
|
|
38