книги из ГПНТБ / Определенные и неопределенные интегралы учебное пособие для студентов Н. А. Фролов Министерство высшего и среднего специального образования РСФСР, Московский ордена Ленина энергетический институт. 1960- 4 Мб

Если отрезок [а, &] разделить на п равных частей, то форму­ ла (3) примет вид:

тегралов способом прямоугольников и способом трапеций,

применим соответствующие формулы для вычисления интег- 1

dx

J1j, точное значение которого мы найдем по фор-

о

муле Ньютона—Лейбница:

79

Следовательно, применяя способ прямоугольников, полу­ чим:

1

J j-— (1,00 + 0,99 -f- 0,96 4- 0,92 4~ 0,86 +

4- 0,80 4- 0,74 4- 0,67 4- 0,61 + 0,55) = 0,81 [формула (Г)],

или

Г dx

— (0,99 4- 0,96 4-. . . 4- 0,55 4-0,50) = 0,76

Jl + -V>

о

[формула (2')[.

Мы видим, что полученные приближенные значения рас­ сматриваемого интеграла отличаются от точного значения это­ го интеграла меньше, чем на 0,03.

Воспользовавшись способом трапеций [формулой (3')],

получим:

о

где два знака—верные.

Способ парабол. Предварительно вычислим площадь

80

Полученный результат можно выразить через h, yit у2 и Уз,

где z/i и Уз — ординаты крайних точек дуги параболы, соответ­ ствующие х=0 и x=h, а у2 — средняя ордината, соответствую-

Л

щая х= -р.

В самом деле,

ah' bh i

У1 = Ух=о = С, у2 = ух _h_ = ~- 4- — 4- с,

Уз — Ух-h — ah2 4- bh 4- с.

Поэтому

осью, достаточно вычислить крайние и среднюю ординаты ду­

ги параболы У\, у2, Уз и длину h отрезка оси ох, ограничиваю­ щего криволинейную трапецию снизу, и затем воспользовать­ ся формулой (4).

Переходя к общему случаю, поставим себе задачей вы­ числить площадь S криволинейной трапеции aABb, ограничен­ ной произвольной кривой y=f(x), отрезком [а, 6] оси ох и прямыми х—а и х—Ь (черт. 11).

Известно, что

ь

S=>\f(x)dx.

Через точки деления проведем прямые, параллельные оси оу. Точки пересечения этих-прямых с кривой y=f(x) обозначим через

'й, ^2> • ■ • » ^2n—3f ^2п—1> В,

\‘‘

аординаты этих точек—через

Уо> Уъ У», • • • , У^п-2, У2Л-1, у2я.

Вертикальные прямые, которые мы провели, разбили кри­

волинейную трапецию аАВЬ на 2п полосок или на п двойных полосок. Рассмотрим двойную полоску между прямыми

X — X2k—2 и х = x2k.

Через точки ТИгл-г, и Af2ft проведем параболу с вертикальной *осью и обозначим через Sk площадь криво­ линейной трапеции, ограниченной этой параболой, отрезком

[х2»-2, х2/г] и прямыми х = xtk-2 и х = xak. Так как длина

Число Sk можно принять за приближенное значение площади

двойной полоски между прямыми

х = х2* 2 и x=xik.

Вычислим таким способом сначала приближенное значение

S. =-^(У.-НУ. + У.)

ол

площади первой двойной полоски между прямыми х=х0 и х=х2, затем приближенное значение

S, = -*=-?- (У, + 4у, + у.)

ОЛ

* Через три точки, не лежащие на одной прямой, всегда можно про­ вести параболу у=ах’-|->х4-с.

82

площади второй двойной полоски между х==х2 и x^xt и т. д.г

то есть по формуле Симпсона, дает более точные результаты, чем вычисление способом прямоугольников или способом тра­

.пеций*

*Если функция f (х) на отрезке [a, И имеет ограниченную произ­ водную второго порядка, то погрешность формулы (3'), выражающей спо­

ГЛАВА IV

ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

1. Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольных координатах

Применение определенных интегралов к вычислению пло­ щадей плоских фигур, заданных в прямоугольной системе

координат, основано на том, что определенный интеграл по

отрезку [а, 6] от непрерывной неотрицательной функции f(x)

выражает площадь S криволинейной трапеции аАВЬ

(черт. 12), ограниченной кривой y=f(x), отрезком [а, Ь] оси ох и

прямыми х=а и х=Ь:

ь

S — J f (ж) dx

а

ИЛИ

или нескольких точках, тогда интегралу f(x)dx выражает раз-

а

ность, которая получится, если из площади Sj части кривели-

85

нейной трапеции, расположенной над осью ох, вычесть пло­

щадь S2 другой части, расположенной под осью ох:

ь

J f (х) dx =. S, — 52.

а

В этом случае, чтобы получить всю площадь S=SI-]~S2

криволинейной трапеции, надо отрезок \а, разбить на части точками пересечения кривой с осью абсцисс, отдельно вычис-

У

Черт. 13. Черт. 14.

лить интегралы по частичным отрезкам и сложить абсолют­ ные величины полученных результатов.

ленного интеграла:

ьз

S = у ydx = J ф (t) ср' (t) dt,

аа

где аир определяются из условий

а = <Р (а), b = ср ф).

Когда плоская фигура, площадь которой требуется вычис­

лить, не является криволинейной трапецией, тогда стараются

выразить искомую площадь как алгебраическую сумму пло­ щадей некоторых криволинейных трапеций.

86

Так, например, для площади S фигуры, изображенной на черт. 15, получим:

5 = Se А В Ь 4- Sb В С с — Sa А В, Сс-

Следовательно, если кривые АВ, ВС и АС даны, соответ­ ственно, уравнениями

У=/(Д У = ),*?( У = Ф(х),

то, вычислив абсциссы а, Ь, с точек пересечения этих кривых

А, В, С, можем написать:

Решение. Изобразив данную фигуру (чер. 16), видим,

что

1 2

S = | у (х« - 1) dx | + у (л2 — 1) dx =

О1

Пример 2. Вычислить площадь эллипса

х — a cos t, у = b sin t.

87

Решение. Искомая площадь S равняется учетверенной площади той части эллипса, которая находится в первом квад­ ранте (черт. 17). Поэтому

аО

5=4 J ydx — 4 J b sin t ( — a sin t) dt ~

УПРАЖНЕНИЯ

иодной дугой циклоиды

х= a(t — sin t\ у = а (1 — cos t).

2. Вычисление площадей плоских фигур в полярных координатах

Рассмотрим плоскую фигуру оАВо (черт. 18), ограничен­ ную кривой, заданной уравнением в полярных координатах

Р = f (6),

88