Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Определенные и неопределенные интегралы учебное пособие для студентов Н. А. Фролов Министерство высшего и среднего специального образования РСФСР, Московский ордена Ленина энергетический институт. 1960- 4 Мб

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.10.2023

Размер:

4.16 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 145 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Следовательно, в таблицу основных интегралов мы можем включить формулу

f=				+ С	(XVII)
] и2 — а1		2а \|	и — а \|	1	'	'
Пример 2.	Найти
	С...	х(х — I)1	Зх.
	I	х(х — I)1
Решение.	Положим
6х2—Их+4 _ Л ■			В	, С
	X (х — I)3	X ’ (X—I)2 "Г" X — 1’
где коэффициенты А, В,		С пока	неопределенные,		их	надо

найти.

Складывая дроби в правой части этого равенства, приведя их к общему знаменателю, равному знаменателю данной дро би х(х—I)2, и приравнивая числитель, который получится в правой части, к числителю левой части, получим тождество:

А(х — 1)а -J- Вх Сх(х — 1) — 6х2 — Их + 4,

или, что то же:

(Д 4-См2 + (В — 2Л — С)х 4-Л = 6х2 - Их-4 4.

Поэтому искомые А, В и С должны удовлетворять уравне ниям:

А4- С = 6,

В— 2А — С = — 11,

Л= 4.

Решив эту систему уравнений, найдем:

А — 4,	В^-1,		С = 2.
Следовательно,	f —- f—=V+2 f-^T =
f	f —- f—=V+2 f-^T =
I x(x—1)»	1 X	1	(X — I)2	IX — 1
= 41n \| x \| 4----- Ц- 4- 21П \| x - 11				+ C =
	xt 1
=	+ In	*(x[x	- 1)’]+C.

Случай Ш. Найти

Mx + N ,

—n—~;— “X. x3+px + q

Воспользуемся следующими преобразованиями:

Корни трехчлена х2-|-рх-|-<7—комплексные, иначе он разла

гался бы на действительные линейные множители, а подын тегральная дробь—на элементарные дроби, рассмотренные в случае I. Поэтому знак трехчлена не меняется и совпадает со знаком коэффициента при х2, то есть х2-|-рх+^>>0 для всех

х. По формуле (VI) таблицы основных интегралов

d (ха + рх + д)	= In (х’ 4- рх -К q) + с.
*рх -{■ q

Учитывая затем, что корни трехчлена x2-fpx-\-q выражают ся формулой

мы видим, что они будут комплексными при — поэтому в рассматриваемом случае

q - £ > о.

и для вычисления второго из полученных интегралов приме

нима формула (XIV') таблицы основных интегралов:

Следовательно,

Mx + N		dx = ~ In *(х 4- рх + q) +
х3 + рх + q		dx = ~ In *(х 4- рх + q) +
х3 + рх + q
	™-Мр		2х+р
Пример 3.	Найти
			_ dx
			ф.‘______
			х’ 4- 1
Решение.	Замечая,		что

х3 4- 1 = (л + 1) (xs — х + 1);

положим

1 __ А	Вх 4~ С
х3 4- 1 ~~ Х4-1	х» — X + 1 ’

где А, В и С подлежат определению. Приводя правую часть этого равенства к общему знаменателю и приравнивая числи тели левой и правой частей, получим тождество

А (х1 - х + 1)4+ (Вх + С) (х 4- 1) = 1,

или, что то же:

(А + В) х’ + (В 4- С - А) х + (Л 4- С)= 1.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х

влевой и правой частях этого тождества, получим:

А+ В = О,

-д + я + с = о.

ЛфС-1,

Случай VI. Найти

Mx + N .
----------- 1	----------ах.
(х* + рх	+q)

Данный интеграл	преобразуем:
Mx+N	, __		*г	Мр	Мр	_
Mx+N	, __				--/- + * „	_
(Л2+рх+?Г йХ				{x»+px + qy		Х
(2х 4-р) dx			■ /	Л4/>\	_____ dx_____
(х2 4- рх + qY ~Г \				2 /	(x2+px+qY
					(x2+px+qY
Первый из полученных интегралов берется по формуле (V)
таблицы основных интегралов:
(2х 4~ р) dx	(*х	+ рх + д)-' d(x2 + рх-\-
(х2 4- х + <?)'	(*х	+ рх + д)-' d(x2 + рх-\-
(х2 4- х + <?)'			'ъ
(х2+рх+ q)~'l + i,			с	___________J_____________. Q
-v + 1				(1-,)(х’+/« + 7)''“‘

Вычисление второго интеграла основано на понижении по казателя степени в знаменателе подынтегральной дроби и вы полняется так:

Положим

Q —

Тогда получим:

		JL	+ д2> ~ *2 dz =
		a2 I	(zs 4- а2У
1	1	dt___________ 1_		I	z2dz
Т2	1	(z» 4- а’)’-1	а2	] (z2	4- )а* 4

Последний интеграл преобразуем при помощи интегрирова ния по частям. Для этого положим

и = z,	,	zdz
и = z,	dv —------------— ,
	(z2	4- a.2Y

откуда

du = dz,		zdz						1_________
du = dz,		*( a + «2)v		2 (1 — 4 (z2 4 a2)’-1
		*( a + «2)v		2 (1 — 4 (z2 4 a2)’-1
z2dz	__	z	__			1	I	____ dz
(z24a2)’	“ 2(1 —4 (z« + a2/-1				2(1-4		)	(z2 4 a2/-1 '
Поэтому
j__ 1	_____ dz______ ___________z					~____________
—■] (Z2 4- a2)’-1				2a2 (1 — 4 (z2 + л2)’-1 ‘
1				dz______ ______________ z_______
2а2 (1—4		(z2 + a’)’-1 ~ 2а’ (■> — 1)					(z2 + a2)v-1
		3 —2ч		dz
		2a2 (1 — 4		(z2 + a»)’-1
Такими же преобразованиями вычисление полученного ин
теграла
			dz
		(z2 4 a2)v“‘
можно свести к интегралу
			dz
		(z2 4 а2*~)' 2
Продолжая этот процесс, мы, в конце концов, придем к
табличному	интегралу
	I	dz	1	,	z	. п
	I	---------- =	— arctg-------к С.
	\	z2 + а2	а	&	а

Пример 4. Найти

(1 — х — х3) dx

(X2 4 I)2

Решение.

1 — х —х3	Ах + В ■	Сх-\- D
(х2 + 1)2	”(д2 4 I)2 ’	х» + 1 ‘

Приведя правую часть к общему знаменателю, находим:

Ах + В + (Сх 4- D) (х8 + 1) = 1 — х - х3.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях последнего тождества, получим си

стему уравнений

С = — 1,	D = 0, Д		С = — 1,		В + D=l,
откуда и находим коэффициенты элементарных дробей
А — О,		В — 1,	С—— 1,		D = 0.
Поэтому
f (l-x-x’)dx_ С		dx	Г	xdx	_ f____
J («■+!>■	J	7?+~i7	J	«’ + >	2ln,x^I)
где		у __ (
		у __ (	dx	'
		J		'

Для вычисления интеграла I воспользуемся способом, ука занным в случае IV интегрирования рациональных дробей:

__ dx______ Г	(х2 + 1) — х2	Г dx	Г x2dx
(х2 + 1)2~ ]	(хг + 1)’_________ I	х2Ч-1____ I	(х2Н-1)2

Последний интеграл преобразуем способом интегрирования по частям, для чего положим

и — х,		dv —	xdx
и — х,		dv —
откуда
du = dx,			2 (%2	+ 1)	’
			2 (%2	+ 1)	’
X2rf X __		X	I	1 ( _ dx
(x2 + Tj2	""	2(x2-f-l)		]	x2 + 1

Поэтому

=	х	"	ill		dx	x	I	1	4	j	I
=		"	—\|-----	I	---------x24-1	=----------	+ l) -		4	— arctg x -4— C.
	2(x24- 1)		1	2	---------x24-1	2(x2	+ l) -			2	&
Следовательно,
					(1 — x — xs) dx
					(x2 + l)2
		—-	+----l)	4- — arctg x------			— In (x2 -j- 1) 4~ C.
		2(x2	+----l)	~	2	6	2		v	’	1

УПРАЖНЕНИЯ

C xi ~ 4х* 4~ 2x* 4- 6

19.

j x5 + 3x3

f x3 4~ 9x* 4-Их—1__

20.j xi 4- 2x3 4- x2 —2x—2

f* x5 4- 5x3 4- 6x 4- 4

21.

j	x4 4- 4x2 4- 4
C	(3x *4 2) dx
22.	(x2 — 3x 4- 3)2 '
]	(x2 — 3x 4- 3)2 '

7. Интегрирование некоторых иррациональных выражений Здесь мы рассмотрим неопределенный интеграл вида

где подынтегральная функция иррациональная, но такая, что если у/"обозначим через у, то получим функ

цию R(x, у), рациональную относительно своих аргумен тов х и у.

Вычисление данного интеграла приводится к интегрирова нию рациональной функции подстановкой:

ах 4- b

-------!----- — Zn.

йцХ 4- Ьх

Действительно,

из этого равенства находим:

ах + ь

---------== г;

+ bL

ах

b = zn (а,х 4~ b^,

ах — aYz’lx = bxzn — b\

Л ■

b}zn — b .

———_ _-- —— *

a — axzn

nbxzn 1 (a — aizn')-\-nalzn 1 (blzn — b)

(a — a,zn)2

а после упрощения

dx =

(a — a^z”)2

Отсюда

fr,z" — b

a — a,zn

n(ab1~a1b)zn

f fl

(z) dz,

(a-a^)2

' V

’

где

функция /?k(z) — рациональная, так

как для ее получе

ния

мы подставили в

рациональную функцию R(x, у) вме-

сто х и у

выражения,

соответственно,

b.zn — ь

z, содер-

- --------

жащие только целые степени г, а

а — а^гп

затем

результат умно-

жили на рациональную дробь

п (abi — a,b) zn~l

поэтому z

----

т-—„

)

-----,

\(l ~~~~ u^Z

в Ri(z) не может оказаться под знаком радикала.

Следовательно, полученный интеграл вычисляется как ин

теграл от рациональной функции.

Пусть

J R^dz = F(z)+ С.

Тогда искомый интеграл

f R (х, \ f

\dx=F(\/ ах + b -

+ С.

I/ aYx + £>!

у у О'Х + bt

Рассмотрим частные случаи.

1. Пусть ai—0,

bi—i. Тогда данный интеграл примет вид:

j R (х,

Уах -|- b) dx,

а подстановка, приводящая е*го вычисление к	интегрирова
нию рациональной функции, будет выражаться	равенством
ах 4- b — zn.

2. Пусть а=1, 6=0, 01=0, bx—1. Тогда будем иметь интеграл:

J R(x, Ух ) dx,

а подстановка, приводящая к интегралу от рациональной

функции, будет:

X = zn.

Пример 1. Найти

I xdx

Решение. Прежде всего найдем общий знаменатель

дробных показателей. Он равен 6; поэтому подынтегральная

функция имеет вид:

R (х, Ух).

Учитывая это,	положим	x = z6. Тогда
х4 -~г\	x& = zs,	dx — 6z5dz,	z «=	Ух
х4 -~г\	-		z «=	6 _ ,
Следовательно,

	/ у3	у2	\
=:6(т+т + г + 1п1г“10+с =
	\ О	Z	/
/1	___ 1	3 _ 6_	6	ч
= 6	/х 4- -у Ух 4- Ух + In \Ух			- 1\|) + С.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 145 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ