книги из ГПНТБ / Райзер Ю.П. Лазерная искра и распространение разрядов

изменение импульса; она определяется транспортным сечением

рассеяния от = ос (1 — cos 0). Решение уравнения (1.5)

конечно, не описывает реальной траектории электрона, но в оп­ ределенном отношении оно эквивалентно реальному движению. Работа, которую поле совершает над электроном и которая затра­ чивается на преодоление силы трения, как раз соответствует фак­ тическому приобретению электронами энергии при столкновениях. Работа поля в единицу времени равна — e<Ev>, где скобка в дан­ ном случае означает усреднение по времени. При комплексной форме записи гармонических переменных такую величину можно вычислить, взяв половину действительной части от произведения одного сомножителя на комплексно-сопряженное другого 1 [12]. Подставляя (1.6) в выражение для работы, найдем, что работа поля над электроном в единицу времени, т. е. скорость нарастания энергии электрона г под действием поля:

Ае (1 — cos 0).

В предельном случае, когда столкновения редки, vm2<^co2, мы получаем ясный в качественном отношении результат: Ае = 2екол; в среднем при столкновении электрон приобретает энергию порядка энергии колебаний, как и было отмечено в самом начале. Отрицательная роль слишком частых столкновений, когда столкновения препятствуют полной раскачке «новых» колебаний после каждого акта рассеяния, описывается характерным множи­ телем со 2/(со2 + vm2). В рамках данного приближенного описания это воздействие проявляется в уменьшении амплитуды эквива­ лентных колебаний, что видно из формулы(1.7).

Чтобы определить полную скорость нарастания энергии элект­ рона, учтем еще потери энергии, которыми сопровождаются упру­ гие столкновения. Положим, что атом до столкновения покоится,

21

это обычно бывает оправданным, так как в условиях развития лавины температура атомов, как правило, гораздо меньше энер­ гий электронов. В отдельном акте соударения атом приобретает импульс р = — тАх. Поскольку вначале атом покоился, он по­ лучает при этом кинетическую энергию р2/2М, где М — его масса. Следовательно, средняя потеря энергии электроном при одном

столкновении равна т2 ((Av)2)/2M. Но ((Av)2) = 2v2 (1 — cos 0),

откуда средняя потеря равна (2т/М)(1 — cos 0)е, е = mv2/2. Таким образом, полная скорость нарастания энергии электро­

на под действием поля и при учете одних только упругих столкно­ вений

Выражение в скобках представляет собой результирующее при­ обретение энергии из расчета на одно эффективное столкновение: As Asynp.

Приведем полезную для расчетов численную формулу для As. При этом поле часто бывает удобным выразить через плотность

со [рад/сек], хт[сек х].

4.2. Истинные изменения энергии в отдельных столкновениях и непосредственный вывод среднего прироста энергии. Использо­ ванный выше прием усреднения исходного уравнения движения электрона по самой своей сути не позволяет сказать, как же на самом деле изменяется энергия электрона в отдельном столкнове­ нии, он дает лишь среднюю величину изменения. Между тем было бы заблуждением думать, что электрон получает от поля энергию в каждом столкновении или что индивидуальные измене­ ния энергии характеризуются величиной Ае ~ еКОп- В действи­ тельности, в каждом отдельном столкновении электрон может как приобретать энергию’от поля, так и отдавать ее полю, причем пор­ циями, которые значительно превышают средний прирост As. Среднее значение As — это в сущности малая разность двух больших величин, которая, однако, всегда положительна.

Приобретет электрон энергию или отдаст — зависит от соотно­ шения между направлениями движения и поля во время столкно­ вения и от фазы поля, т. е. фазы колебания в это время.

Этот факт имеет принципиальное значение, ибо здесь содер­ жится «классический» аналог таких, казалось бы, чисто кванто­ вых эффектов, как истинное поглощение и вынужденное испуска­ ние фотонов (см. об этом в следующем разделе). Чтобы лучше его уяснить, рассмотрим простейший частный случай. Пусть в период

22

между столкновениями электрон движется строго в направлении электрического поля и время между столкновениями гораздо боль­ ше периода колебаний. Скорость такого движения можно пред­

Средняя по времени энергия электрона в период перед столк­ новением {mv12!2) = mv2!2 -f mu2!4 = епост + екол. Если элект­ рон сталкивается с атомом в момент, когда колебательная состав­ ляющая его скорости направлена в сторону среднего поступатель­ ного движения, и имеет амплитудное значение, электрон начнет новое поступательное движение после рассеяния со скоростью

V + и .

Поскольку новое движение после рассеяния резко наклонено по отношению к полю, новые колебания будут раскачиваться под большим углом к начальной скорости и средняя скорость нового движения по существу останется близкой к начальной v + и. Новая кинетическая энергия т {v + и)2!2 ж mv2!2 + mvu будет примерно на величину mvu больше, чем старая, до столкновения, причем эта величина в vlu 1 раз превышает екол.

Если перед столкновением скорости направлены в разные сто­ роны и v = v — и, электрон в результате столкновения потеряет энергию приблизительно mvu.

Легко видеть, что в среднем электрон все же приобретает энергию. Поскольку столкновения происходят случайно, два рассмотренных варианта столкновений равновероятны и средний для них прирост энергии будет равным

Это среднее результирующее приобретение энергии порядка екол и примерно в vlu раз меньше, чем амплитудные значения приобре­ тений и потерь.

Рассмотрим теперь общий случай «элементарного» процесса, происходящего в период от одного столкновения к другому, и не­ посредственным образом вычислим Ае, не накладывая ограниче­ ний на направление поступательного движения электрона, момент столкновения (фазу колебаний) и соотношение между частотами колебаний и столкновений. Примем во внимание, что длитель­ ность самого акта столкновения очень мала по сравнению с перио­ дом колебаний \ так что точно с той энергией, которой электрон обладал непосредственно перед моментом столкновения, он и начинает движение непосредственно после рассеяния (без учета малой упругой потери).

1В самом деле взаимодействие с атомом длится — ao/v ~ 10-16 сек, поскольку размеры атома ап — 10~8 см, a v ~ 108 см/сек. Периоды колебаний даже на оптических частотах ~ 10-14 сек.

23

В течение времени между столкновениями вектор скорости электрона v удовлетворяет уравнению движения

где — момент последнего столкновения, a v0 — скорость, с кото­ рой электрон начал движение после этого столкновения (мы сейчас для большей наглядности отказываемся от комплексного описа­

ния величин).

Пусть следующее столкновение происходит в момент ty. В пе­ риод времени от одного столкновения к другому энергия электро­ на под действием поля изменяется на величину

Теперь надо усреднить эту величину по всем возможным вари­ антам движений: по моментам столкновений t0 и ty и по направле­ нию начальной скорости v0. Тогда мы получим среднее изменение энергии Ае, рассчитанное на одно столкновение, т. е. искомый результат. Здесь имеется одна тонкость. Ясно, что моменты ty и t0 не независимы и существует определенная вероятность того, что следующее столкновение после предыдущего произойдет через время ty — t0. Если vc — средняя частота столкновений, то эта ве­ роятность равна

(сами моменты t0, разумеется, равновероятны).

Возникает вопрос; в любом ли случае «среднее» столкновение произведет одинаковый эффект в отношении последующего движе­ ния? Если, например, рассеяние предельно неизотропно и почти в каждом акте электрон рассеивается точно вперед, ясно, что эффект будет таков, как будто бы столкновения и вовсе не было, и указанное усреднение (1.12) не даст истинного среднего приобре­ тения энергии, которое на самом деле будет равно нулю.

Следовательно, в принципе необходимо было бы еще рассмот­ реть, как пойдет движение после столкновения в момент ty. Этого можно избежать в единственном случае, когда рассеяние изотроп­

но, cos 0 = 0, и мы можем быть уверенными в том, что достаточно ввести понятие «столкновения», не снабжая его'никакой дополни­ тельной информацией, говорящей о том, «какое» это столкновение.

24

Средний момент времени между двумя столкновениями (Zx + £„)/2 и фаза поля в этот момент, разумеется, так же произвольны, как и Z0, поэтому при усреднении синуса полусуммы второе слагаемое в (1.12) обратится в 0; средний квадрат этого синуса в первом сла­ гаемом даст 1/2. Далее,

Таким образом, среднее приращение энергии электрона при

т. е. мы пришли к уже знакомой нам формуле (1.8) (в рассматрива­

емом случае cos 0 = 0 и vm = vc).

Формально можно было бы таким же путем получить результат (1.8) и в общем случае неизотропного рассеяния, если называть «столкновениями» акты, происходящие с частотой vm, а не vc, т. е. заменить v c n a v m B формуле для вероятности (1.13). Однако такой способ не представляется физически оправданным. По-настояще­ му следовало бы, наверное, оставить вероятность столкновения в виде (1.13), но как-то учесть, что истинная передача энергии элек­ трону не просто определяется формулой (1.12), а зависит от-угла рассеяния, и затем еще усреднять выражение, уточненное по сравнению с (1.12) по этим углам.

Подчеркнем, что формулы (1.7), (1.8) правильны, несмотря на приближенность метода, которым они были выведены. Это под­ тверждается более строгими вычислениями на основе кинетичес­ кого уравнения для электронов [И] (см. гл. 3, а также подраз­

дел 4.5).

4.3. Связь с проводимостью и поглощением электромагнитной волны. Работа, производимая полем над всеми электронами, содер­ жащимися в единице объема (число их — Ne), в единицу времени представляет собой не что иное, как скорость выделения джоулева тепла токов. По закону Ома плотность тока j = оЕ, где о — проводимость. Джоулево тепло равно <jE> = а<Е2> = а Е20/2. Допустим, что частота столкновений vm не зависит от скорости (энергии) электрона. Тогда работа поля над электронами в 1 сек

Если vm зависит от энергии электрона, столь простой формулы уже не получается. В этом случае приходится исходить из кине­ тического уравнения [И]. Однако практически чаще всего пользу­

25

ются формулой (1.14) элементарной теории, подразумевая под vm некоторую среднюю по спектру электронов «эффективную» частоту столкновений. В пределе низких частот co2< ^ v m2 из (1.14) получается обычная формула для проводимости в постоян­ ном поле: а = e2Ne/mvm Численно:

а = 2,53.10Wevm/((o2 + ч*т)сек~'= 2,82-10-W evm/(co2+ у^ ом^ смгК

(1.15)

С другой стороны, джоулево тепло определяет диссипацию энергии поля, т. е. поглощение энергии электромагнитной волны. Плотность потока энергии в монохроматической волне, распро­ страняющейся в однородном веществе [12]:

S = ^L<[EH]>, S = -^nE$ = nc<Wy/4n, (1.16)

где п — показатель преломления.

Поток в направлении распространения х затухает по закону

где рш— коэффициент поглощения энергии волны. Величина Ha,S равна количеству энергии, которое выделяется в 1 см3вещества в 1 сек, т. е. джоулеву теплу. В условиях, когда частота поля за­ метно превышает плазменную частоту (см. об этом чуть ниже), показатель преломления п близок к 1. Для СВЧ это условие вы­ полняется при слабой ионизации, для оптических частот — почти всегда, во всяком случае, при исследовании пробоя. Это условие можно считать выполненным. Сопоставляя при этом ры£ с выра­ жением для джоулева тепла Ne(dzldt)E по формуле (1.7), найдем коэффициент поглощения электромагнитной волны в слабо иони­ зованном газе.

Подчеркнем, что величина ршпредставляет собой результирую­ щий коэффициент поглощения электромагнитной волны, усред­ ненный по многим актам столкновений электронов. В индивиду­ альных процессах столкновений поле может как ослабляться, так и усиливаться в зависимости от того, приобретает или теряет энергию электрон.

4.4 Токи проводимости и поляризации. Диэлектрическая по­ стоянная плазмы. Проводимость ст легко найти и прямо из выра­ жения для скорости электронов (1.6), рассматривая не джоулево тепло, а ток [11]. При этом одновременно определяется и диэлект­ рическая постоянная плазмы ed. Составим выражение для плотно-

26

слагаемое в пределе постоянного поля со ■— 0 исчезает; эта часть тока сдвинута по фазе относительно поля на я/2 и соответствует

—плазменная частота.

Вотличие от тока проводимости, который имеется только в условиях, когда электроны сталкиваются с атомами, ток поляри­ зации существует и в отсутствие столкновений, и, напротив, в этом случае даже больше.

Ток поляризации связан с периодическими смещениями поло­ жения электронов под действием осциллирующего поля. Посколь­ ку скорость свободных колебаний сдвинута по фазе на я/2 по отно­ шению к фазе поля, скорость часть времени направлена по полю, часть против поля. Поэтому в среднем по времени поле не со­ вершает работы над колеблющимся без помех электроном, о чем уже говорилось выше. Электрон только однажды приобретает энергию колебаний. Джоулева тепла ток поляризации, следовательно, не дает и к диссипации поля не приводит. За это ответст­ вен только ток проводимости. Как и формула для а, элементар-

ная формула (1.21) для ed строго справедлива только при vm = = const.

Показатель преломления п и коэффициент поглощения электро­

условии со2^>сор диэлектрическая постоянная, как видно из

27

кновений не превышает сильно частоту поля) и электромагнитная волна не проникает в плазму. Ясно, что, когда мы рассматриваем явление пробоя, т. е. процесс самого развития электронной лавины под действием поля волны, такая ситуация интереса не представ­ ляет (для СВЧ NKр ~ Ю10 -г- Ю131/см8, для оптических частот—

порядка 1019 — Ю21 Мсмъ).

4.5. Тормозное излучение при столкновениях электрона с ато­ мами и закон Кирхгофа. Вычислим в рамках классической теории интенсивность тормозного излучения, которым сопровождается рассеяние электрона атомами. Этот процесс является обратным по отношению к процессу поглощения электромагнитной волны,

которым мы занимались выше.

Рассмотрение тормозного излучения преследует две цели: во-первых, это позволит лучше понять эффект корреляции между отдельными столкновениями, который является причиной появ­ ления характерного множителя со2/(со2 +Vm2), а во-вторых, на этой основе в следующем разделе будет приближенно выведен квантовый коэффициент поглощения света.

По классической электродинамике ускоренно движущийся электрон излучает в единицу времени энергию 2e2w2/3c3 [13], где w — вектор ускорения. За все время какого-то процесса он

излучает энергию

оо

jjw2dt эрг.

—оо

Если мы интересуемся спектральным составом излучения, нужно подставить сюда разложение функции w (t) в интеграл Фурье и произвести интегрирование по времени. В результате получим ё в виде интеграла по частотам. Количество энергии, которое излучает электрон в интервале частот от со до со -f d<n в результате любого движения, оказывается равным

оо

вершается только одно столкновение. Очевидно, такое приближе­ ние допустимо, если интересоваться излучением частот со, которые гораздо больше, чем частота столкновений электрона с атомами. Имея в виду, что сам акт рассеяния происходит практически мгно­ венно по сравнению с периодом излучаемых колебаний, предста­ вим w (t) в виде дельта-функции по времени w (t) — Av8 (t), где Av — изменение вектора скорости электрона при столкновении. При этом ww= Av/2jt, так что

28

Чтобы найти количество энергии dQa, которое электрон, со­ вершая такие не связанные между собой акты излучения, испуска­ ет в спектральном интервале dco за секунду, следует усреднить (1.25) по углам рассеяния при столкновениях и умножить на число столкновений в секунду v c. Если быть последовательным, оставаясь на позициях классической теории излучения, которая на самом деле таит в себе глубокое противоречие, следует при усред­ нении (Av)2 считать абсолютную величину скорости неизменной.

Это дает <(Av)2> = 2г2 (1 — cos 0) и

ОС

Рассмотрим теперь излучение частот со, которые сравнимы

счастотой столкновений или меньше ее [15].

Вэтом случае мы уже не имеем права просто суммировать энергии, излученные в отдельных столкновениях, как при выводе (1.26) . Разности фаз волн, излученных в последовательных стол­ кновениях, теперь не будут большими, волны будут интерфериро­ вать, и будет существовать корреляция между отдельными актами. Это значит, что «процессом» следует называть совокупность боль­

шого числа N последовательных столкновений.

индекс к относится к к-му столкновению. Его компонента Фурье

N

wM= 2 (A vj2n)exp(—mtk).

k = l

Запишем квадрат модуля этой величины, выделим из получаю­ щейся двойной суммы члены с одинаковыми индексами и ском­ бинируем члены с одинаковыми парами индексов. Получим

1 Несовершенство классической теории проявляется в том, что интеграл от

dQai по всему спектру от 0 до оо расходится. Это противоречие устраняется только в квантовой теории, согласно которой электрон не может излучить квант %(о, превышающий его начальную энергию е = mv2/2. Однако, если интересоваться излучением квантов %со, малых по сравнению с е, изменени­ ем скорости действительно можно пренебречь.

Заметим, что фактическая средняя тормозная потеря энергии при одном

“ max

столкновении, которую приближенно можно представить как ^ d$a,

о

где сошах = mv2/2%, для нерелятивистских скоростей оказывается чрезвычай­ но малой не только по сравнению с начальной энергией электрона е, но даже

.ЗД

Это выражение необходимо усреднить но всем возможным вариантам последовательных столкновений. Поскольку каждое /-е столкновение в среднем ничем не выделяется среди других, сумма

Здесь множители, содержащие Av, усредняются по углам рас­ сеяния, a cos ati — по моменту i-го столкновения после началь­ ного. При этом следует учесть, что вероятность промежутка вре­ мени t{ — tt_х между двумя последовательными столкновениями определяется формулой (1.13). Если корреляции между столкно­

к формуле (1.26).

Мы не будем проводить процедуру усреднения, которая до­ вольно сложна, но доводится до конца абсолютно точно (см. [15]). В результате в формуле (1.26) появляется уже знакомый нам мно­

ниях, частично гасят друг друга при интерференции, что сопро­

всегда оказываются направленными в противоположные стороны. Итак, мы определили путем совершенно независимых вычис­ лений лучеиспускательную способность электрона, связанную с тормозным излучением при столкновениях с атомами, dQu, по фор­ муле (1.28) и коэффициент поглощения для обратного процесса (формула (1.18)). Первая величина в рамках классической теории была вычислена точно, вторая содержала некий элемент прибли­ женности, ибо в основу вывода было положено не точное, а ус­ редненное уравнение движения электрона в поле (1.5). Проверим, удовлетворяют ли излучательная и поглощательная способности закону Кирхгофа, и если удовлетворяют, то при каком условии. Очевидно, это укажет на степень приближенности формулы

(1.18) для цш.

По закону Кирхгофа в условиях полного термодинамического равновесия испускание лучистой энергии в точности уравновеши­ вается поглощением, и этим равенством связываются между собою

30