книги из ГПНТБ / Райзер Ю.П. Лазерная искра и распространение разрядов

Основную роль здесь играет рекомбинационное излучение, 84% которого связано с захватом электрона на нижний уровень ато­ ма. Небольшая поправка к единице в скобках соответствует тор­ мозному излучению (нетрудно учесть и эффект второй ионизации).

Реальные объемные потери отличаются от (6.49) как вслед­ ствие неводородоподобности сложных ионов, так и вследствие излучения в спектральных линиях. Последние дают огромный эффект в случае абсолютной прозрачности плазмы. Но при диа­ метрах нагретого столба порядка нескольких миллиметров, как в интересующих нас условиях, линии сильно реабсорбируются и их вклад в потери примерно такой же, как и вклад непрерывного спектра. Расчеты для воздуха с учетом всех этих эффектов сделаны в работах [95, 96], в которых приводятся таблицы степеней черно­ ты плоских слоев и полусферических объемов толщины (радиуса) R0 для R0 > 1 см и Т <; 20 000° К. Средние объемные потери на

сующим нас диаметрам, не более чем вдвое превышают то, что дает компактная формула (6.49). Имеются также расчеты и экспери­

-т- 15 000° К и диаметрах канала 3 и 5 мм [97]. Потери на излу­ чение в этом случае примерно в 2 раза больше, чем вычисленные по степеням черноты для R0 = 1 см.

Комбинируя все эти данные, можно построить оценочную функцию средних объемных радиационных потерь ср (Т) воздуш­

201

Как уже отмечалось в подразделе 24.1, ультрафиолетовое из­ лучение плазмы, которое выходит в направлении движения вол­ ны, в большой степени поглощается непосредственно перед фрон­ том, т. е. не «пропадает». В этом направлении, если судить по от­ ношению площадей поперечного сечения и боковой поверхности волны (т. е. зоны длиной порядка R), излучается заметная доля всей тепловой радиации волны. В конечном счете «пропадает» не все излучение, выходящее и через боковую поверхность, так

Рис. 6.21. Кривые тепловыде­ ления F+ и потерь F_ в зави­ симости от 0

как, поглощаясь частично вблизи канала, оно способствует повы­ шению температуры у «стенок» канала и уменьшению теплопроводностных потерь. Грубо учесть эти эффекты при численных расчетах можно, уменьшив потери на излучение вдвое, т. е. по­ лагая Ф = ф/2 (поскольку потери на излучение не играют опре­ деляющей роли, неточности здесь не опасны).

На рис. 6.21 построены кривые F+ (0) и F_ (©); как станет ясным чуть ниже, в качестве аргумента функции целесообразнее использовать не температуру, а монотонным образом зависящий от нее потенциал потока тепла. График этот типичен, и на нем можно разобрать все вопросы принципиального характера. Кри­ вые тепловыделения и потерь имеют две точки пересечения, т. е. функция источников F имеет два корня. Устойчивому состоянию за волной отвечает верхняя точка 0 К, Тк, где dFIdT < 0. Такая точка существует постольку, поскольку коэффициент поглоще­ ния при р = const имеет максимум. Именно это обстоятельство обеспечивает возможность выполнения условий существования данного режима. Есди такая точка действительно имеется, то обязательно есть и вторая, нижняя, точка пересечения кривых ©1 , Тг, ибо при Т 0 тепловыделение уменьшается скорее, чем теплопроводностные потери. В нижней точке dFIdT )> 0, и в силу неустойчивости этого состояния оно никак не может быть конеч­ ным для волны, хотя при температуре Тг тепловыделение, так же как и при Тк, в точности компенсирует потери.

202

Если увеличить световой поток, кривая F+ ~ S0 пройдет выше показанной на рисунке и температура Тк за волной возрастет, если уменьшить поток — понизится. Из рисунка видно, что поток нельзя уменьшать беспредельно. Начиная с некоторого значения

будут больше тепловыделения, и, даже если в начальный момент в световом канале и существовал длинный столб плазмы, он сразу же начнет равномерно охлаждаться — стационарных состояний вообще не будет. Однако не этим условием определяется порог существования волны разряда. Если и в самом деле при уже сфор­ мировавшейся волне начать уменьшать поток света, фронт разряда остановится еще до того, как начнется повсеместное охлаждение нагретого газа. Именно это значение потока St, отвечающее нуле­ вой скорости распространения, и является порогом для существо­ вания режима волны. Сейчас мы найдем величину St и увидим, что она больше, чем Sn.

Проинтегрируем уравнение (6.30) по всему температурному интервалу волны. С учетом граничных условий (6.34), (6.44) по­ лучим

оо

Нулевой скорости распространения отвечает такой поток St, при котором

состояние; в данной точке оно поддерживается до тех пор, пока до нее не добежит фронт охлаждения. Иными словами, нагретый столб охлаждается с переднего «торца». И только при еще мень­ шем потоке света S ^ Sn, когда кривая F+ целиком опустится ниже F_, волна охлаждения мгновенно охватит весь столб плазмы и он начнет остывать сразу по всему объему. Превышение порога St над Sn связано с необходимостью компенсировать вытекание тепла из плазменного столба не только через боковую поверхность, но и с торца — через переднюю поверхность фронта плазмы.

203

становится мнимой, стационарного решения не существует. Легко видеть (рис. 6.22), что при мощности Рп = PJ2 «ступенька» тепло­

Рис. 6.22. М одель «ступеньки »

Наклонная прямая — линия потерь F _; гори­ зонтальные прямые — тепловыделение F+: 1 — сверхпороговая мощность, 2 — пороговая мощность (равные площади заштрихованы),

з— мощность, соответствующая пределу су­ ществования стационарного решения

выделения только касается вершиной угла прямой потерь ЛВ/i?2, а при Р <С Рп пересечения вообще нет.

В работе [89J найдено приближенное выражение для скорости и в общем случае, когда функции F+, F_ заданы сложным образом

При S St сг+ 5^> сг_, что соответствует условию F+'~^>F_ в основной температурной области, эта формула в точности сво­ дится к формуле Зельдовича для скорости распространения пла­ мени (6.23), которая соответствует, следовательно, большим

шается до нуля, как и по элементарной формуле (6.53). Этот ре­ зультат, характерный для волн разряда, не имеет аналога в обыч­ ном горении, где при приближении к пороговым условиям (путем изменения потерь) горение гаснет «скачком».

Для иллюстрации численных значений в табл. 5 приведены результаты расчетов скоростей и других величин для воздуха при 1 атм. Напоминаем, что скорость движения фронта разряда в «лабораторной» системе координат должна быть по порядку ве­ личины в р0/рк, т. е. в несколько десятков раз больше.

Интересно, что уравнение типа (6.25) описывает превращение фаз с разными температурами и плотностями в межзвездном газе, который нагревается космическими лучами и охлаждается

205

Т а б л и ц а 5

излучением. Этот процесс рассматривали Я. Б. Зельдович и С. Б. Пикельнер [98]. Условие равенства площадей определяет давление в устойчивом состоянии. Скорость превращения фаз в не­ устойчивом состоянии р0и вычисляется в работе [98] несколько ина­ че, чем здесь. Уравнением типа «равенства площадей» определя­ ется и условие сосуществования бестоковой и токовой областей в постоянном и однородном электрическом поле (это явление на­ зывается контракцией разряда; см. раздел 30).

24.4. Волна без потерь. Как следует из предыдущего рассмо­ трения, предельный случай больших потерь осуществляется, если коэффициент поглощения света при постоянном давлении имеет максимум по температуре (а это бывает всегда) и наибольшая величина его удовлетворяет условию Цштах-К<^ 1. При этом газ

вволне разряда нагревается до'"температуры Тк, которая лежит

врайоне максимума функции рШ(Т), как правило, за максимумом,

исоответствует почти полной однократной ионизации газа *. Положим теперь, что выполняется обратное неравенство

РштахК^>1, например частота поля достаточно мала или дав­ ление газа достаточно велико (с каким-то приближением ритах ~ ~ р2/со2). Допустим далее, что начальный поток электромагнит­

ной энергии S0 велик настолько, что кривая F°+ = S0p.a (Т), соот­ ветствующая неослабленному потоку, проходит намного выше кривой потерь F_, как это показано на рис. 6.23. Даже если кри-

*1 Вообще говоря, функция р0) (Т) имеет ряд максимумов, соответствующих

переходам от ионизации одной кратности к последующей. Функция F при этом может иметь несколько корней, удовлетворяющих условию dF! dT<С0. Быть может, существует несколько режимов с разными конечными температурами, каждый из которых обладает некоторым «запасом устой­ чивости». Этот вопрос еще не исследовался должным образом.

206

вая F+ где-то при высокой температуре и пересечет кривую F_,

еще при более низких температурах поглощение станет настолько большим, что световой поток сильно ослабеет до этого момента и истинная кривая тепловыделения F+ = S (Т)цш(Т) пойдет вниз раньше. Конечно, истинная функция F+ ( Т) заранее неизвестна, поскольку зависимость S (Т) может быть найдена только после

волны в предположении, что функция цм (Т) очень резкая. Такое допущение справедливо во многих случаях, и его возможность вытекает даже из предыдущих рассуждений. Если температура Тк заметно меньше, чем температура, при которой поглощение мак­ симально, то это значит, что степень ионизации в плазме невелика. Но при малой степени ионизации коэффициент поглощения про­ порционален ехр (—I/2kT), причем кТ<^1, т. е. возрастает с тем­ пературой очень быстро.

В случае резкого возрастания функции рш(Т) основная доля диссипирующейся энергии поля выделяется в газе при температу­ рах, уже весьма близких к конечной. При больцмановском законе

207

Вэтом интервале поглощение изменяется в е раз. Температура Т0 имеет смысл температуры ионизации, отвечающей конечной температуре Тк. Таково же определение температуры воспламе­ нения при обычном горении.

Взоне, где происходит основное выделение тепла, сам газ нагревается мало, всего лишь на ДТ<ё^Тк градусов. Почти все выделяющееся тепло выносится теплопроводностью вперед в хо­ лодный газ и затрачивается на нагревание его до температуры ионизации Т0. Этот вынос тепла из зоны энерговыделения не яв­

можно приближенно разделить на две характерные зоны: зону прогревания газа до температуры ионизации Т0, где световой

ближенно пренебречь изменением температуры и заменить w (Т) в интеграле потоков (6.41) на w (Тк) = шк. Исключая эту вели­ чину с помощью уравнения баланса энергии волны (6.42), найдем,

дающей электромагнитной волны поставить перед разрядом охла­ ждаемую «стенку», прозрачную для электромагнитной волны. Все тепло, которое выделяется в неподвижном разряде, отстоящем от стенки на определенном расстоянии, отводится в стенку. Расстоя­ ние это устанавливается автоматически таким, чтобы при полу­ чающемся перепаде температур Тк — Гст между плазмой и стен­ кой тепловой поток в стенку как раз отводил бы все тепло.

Но судьба потока тепла в области температур ниже Т0, где практически нет источников тепла и S zz const = SQ, не может сильно сказаться на самой температуре, до которой нагревается плазма, ибо последняя, естественно, определяется условиями в зоне тепловыделения. Поэтому, интересуясь температурой плаз­ мы Тк, мы можем приближенно распространить уравнение (6.57) на всю область температур до нуля. Иными словами, это рассуж­ дение сводит задачу определения температуры в движущейся волне разряда к задаче о температуре в соответствующем искус­ ственно охлаждаемом статическом разряде.

Распределение температуры в зоне прогревания волны, ко­ нечно, сильно отличается от распределения в статическом охлаж­ даемом разряде. В первом случае тепло идет на нагревание новых1

1 То же самое делается в теории горения. Именно на основе таких рассуждений выводится формула Зельдовича для скорости пламени.

208

слоев газа, протекающих через разряд, и температурный «язык» простирается до бесконечности (до —оо), во втором — тепло от­ водится в близко расположенную холодную стенку (рис. 6.24).

Уравнения (6.57), (6.28) для статического случая интегриру­ ются элементарно. Подставляя в (6.57) выражения J = —KdT/dx

и S = —\i£dS/dx и умножая уравнение на рш, найдем (с учетом

О

которое определяет температуру плазмы Тк в зависимости от электромагнитного потока SQ*. Теперь, зная Тк, легко найти скорость распространения волны и при помощи уравнения ба­ ланса энергии (6.42). Профиль температуры можно найти из уравнений (6.32), (6.56), (6.58).

Рис. 6.24. Распределение тем­ пературы в распространяю­ щемся (а) и статическом (б)

разрядах

Охлаждаемая стенка заштрихована

Мы не будем в этом разделе заниматься рассмотрением конкрет­ ных процессов, описываемых данным решением. Наиболее важный объект его применения — это волны СВЧ-разрядов (см. раздел 34). Здесь мы рассматриваем решение главным образом для того, чтобы дать представление о возможных вариантах режимов типа медленного горения. Все же укажем для примера, что в воздухе при р = 1 атм на частоте 10 Ргц 'длине волны 3 см), при потоках1

1 Соотношение, похожее по своей структуре на (6.59), было получено ранее в работе В. А. Груздева, Р. Е. Ровинского и А. П. Соболева [99], которые рассматривали статический высокочастотный разряд внутри соленоида. В этом случае также существует дифференциальное соотношение для пото­ ка А, которое в известном смысле представляет противоположный предел но отношению к уравнению (6.28). (Об этом будет подробно говориться в разделе 28.)

209

S0 ж 0,5 ~ 1 кет!см2 получаются температуры Г к « 5 500-ь 6 000° и скорости распространения и ^ 20 -ч- 30 см/сек. Физическое содержание определяющего соотношения (6.59)

становится особенно наглядным, если, как это чаще всего бывает,

соображений. Энергия поля выделяется в основном в слое, где коэффициент поглощения достаточно велик, скажем не более чем в е раз меньше наибольшей, конечной величины цк. Темпера­ тура в этом слое меняется от Т0 = Тк — АТ до Тк. Толщина слоя порядка /к = 1/цк. Следовательно, поток тепла, который выносит из слоя выделяющуюся энергию S0, порядка ХКАТ/1К. Приравнивая эту величину S0 и подставляя АТ по формуле (6.56), получим соотношение (6.60).

Из формулы (6.60) видно, что при резкой больцмановской за­ висимости цм (Т) температура плазмы зависит от потока электро­ магнитной энергии Sо только логарифмически. Таким образом, при увеличении потока возрастает главным образом не темпера­ тура плазмы, а скорость распространения волны и = S0/p0w (Тк).

Выражению для скорости волны можно придать очень нагляд­ ную форму, характерную для теплопроводностного механизма рас­ пространения. Подставим в уравнение баланса энергии волны (6.42) S0 по формуле (6.60) и сгруппируем определенным образом сомножители. Получим

Комбинация %к = V p„cpk представляет собой температуро­ проводность нагретого газа. Величина ср TJwKимеет порядок 1

(при ср (Т) = const — равна 1). Комбинация 1КЦ2кТк = Ах представляет собой характерную ширину всей волны, включая зону прогревания. В самом деле, из уравнения (6.39) следует, что

Здесь для простоты положено X = const ср = const; начало координат х = 0 помещено на границу между зонами прогревания

210