книги из ГПНТБ / Райзер Ю.П. Лазерная искра и распространение разрядов

непрерывной функцией е. Залогом того является дифференциаль­ ный характер кинетического уравнения, непрерывность работы, производимой над электроном электрической силой, что заключе­ но в дифференциальном выражении Е dfldv, а также возможность рассеяния электрона при столкновениях на любые углы.

Иначе обстоит дело в квантовом случае, когда энергия элект­ рона в поле излучения меняется в результате поглощения или вы­ нужденного испускания фотона конечной энергии На>. В этом случае эпергия электрона, начавшего процесс с какой-то опре­ деленной энергией е0, всегда будет отличаться от е0 на целое число квантов (если, конечно, отвлечься от непринципиального в дан­ ном случае влияния упругих потерь энергии). Конечно, в кванто­ вом случае также можно ввести в рассмотрение непрерывную функцию распределения по энергиям п (t, е) йг, но это обуслов­ лено лишь непрерывным характером начальных энергий электро­ на и упругих потерь. (Неупругие потери на возбуждение, кстати, также имеют дискретный характер.) Главное, что взаимодействие с полем излучения в квантовом случае описывается не дифферен­ циальными, а конечно-разностными выражениями, и это наклады­ вает особый отпечаток на функцию распределения п (е).

Уравнение такое составить очень легко. Пусть а (е) см5 и Ъ(е) см5 — коэффициенты поглощения и вынужденного испуска­ ния квантов при столкновениях с атомами, рассчитанные на один электрон и один атом. Величины ат, Ъа были введены в разделе 5; здесь у них для краткости опущены частотные индексы; мы всегда будем рассматривать монохроматическое поле излучения. Если F 1 см2 сек — плотность потока фотонов (для простоты луч света считаем параллельным), то квантовое уравнение для энергетичес­ кого спектра п (t, е) можно записать в виде [5]

= FNa { — а (г) п (е) + Ъ(г -f- hoi) п (е + Йсо) — Ъ(г)п (г) +

+а(е — Йсо)п(е— /но)} + Qx. (3.33)

ВQ1 включены все члены, не связанные с взаимодействием электронов с полем излучения и описывающие упругие, неупру­

гие процессы, диффузию в пространстве:

Последние три слагаемых определяются формулами (3.26), (3.28), (3.29). В этом’ разделе мы ими интересоваться не будем.

FСтоит специально оговорить роль спонтанного испускания квантов при столкновениях. Потери энергии на тормозное излу­ чение, как отмечалось в подразделе 4.5, очень малы, даже меньше, чем упругие. Сравнительная роль вынужденного и спонтанного испускания определяется интенсивностью внешнего излучения / ш(см. формулу (1.32)). Если приписывать излучению температу­ ру Тш, то в соответствии с этой формулой и формулой Планка

101

отношение скоростей вынужденного и спонтанного испускания

пущение выполняется с огромной точностью, так как «темпера­ тура» Та колоссальна.

Рис. 3.4. Схема скачкообраз­ ных блужданий электрона по оси энергии

Мы остановились здесь на этом в общем довольно тривиальном обстоятельстве, для того чтобы продемонстрировать одно общее свойство уравнения (3.33), не зависящее от конкретного вида коэффициентов а (е) и b (е). В стационарных условиях и в отсут­ ствие всех других процессов, кроме взаимодействия с излучением, электроны должны находиться в термодинамическом равновесии с полем излучения. Они должны обладать максвелловским рас­ пределением с температурой Гш, которая в данном случае «бес­ конечна», Максвелловская функция с бесконечной температурой

есть п (e)cte — v2dv— ]f &dt. С помощью формул (1.40), связывающих коэффициенты а и Ъ, нетрудно убедиться в том, что

В нестационарных условиях уравнение (3.33), вернее, та часть его, которая связана с поглощением и испусканием квантов, описывает случайные «блуждания» электрона по энергетической оси, блуждания, которые происходят скачками На> вперед и на­ зад. Опустим временно слагаемое Q± в уравнении (3.33). Такая операция имеет определенный смысл, так как упругие потери в очень интенсивном поле излучения играют сравнительно малую роль, в особенности если газ тяжелый. Неупругие потери дейст­ вуют либо в области достаточно больших энергий е, превышающих потенциал возбуждения атомов /* , либо приводят к «рождению» электронов с малыми энергиями. Этот последний фактор можно формально учесть так, будто в области малых энергий имеется источник электронов. В этих предположениях нестационарное движение электрона по энергетической оси можно представить себе как скачкообразные переходы, которые иллюстрируются рис. 3.4. где интервалы времени между скачками имеют порядок

102

среднего времени между поглощением или вынужденным испус­ канием квантов та, ть. Вероятности скачков

точно больших по сравнению с Нол, вероятности скачков в ту и в другую сторону становятся примерно одинаковыми. Это не озна­

ной одномерной диффузии частиц в пространстве. Однако даже при равновероятности скачков вперед и назад в конце концов электроны все равно уйдут вперед, в сторону нарастания энергии. Это происходит потому, что в области малых энергий е < Нол ве­ роятность вынужденного испускания обращается в нуль и здесь невозможно движение назад. Процесс вполне аналогичен одно­ мерной диффузии частиц при наличии непроницаемой стенки. С течением времени частицы неизбежно уходят в сторону от стен­ ки, где бы ни находился источник, т. е. откуда бы они ни начи­ нали свой путь.

14.2.Диффузионное приближение. Конечно-разностное урав­ нение (3.33) можно существенно упростить, превратив в диффе­ ренциальное, если функция распределения п (е) мало меняется на длине одного скачка Нол, т. е. при условии, что Нол гораздо мень­ ше характерных значений энергии е [5]. При пробое многих газов лазерным излучением это условие с каким-то приближением мож­ но считать выполненным. Действительно, энергия электронов в лавине достигает значений, превышающих потенциалы ионизации

ставляя эти разложения в уравнение (3.33) и опуская члены более высокого порядка малости, чем (Нол/г)2, получим дифференциаль­ ное уравнение второго порядка для функции распределения элект­

103

Здесь в дополнение к операциям, проделанным с выражением в фигурной скобке (3.33), мы выделили из Qd (формула (3.34)) слагаемое, соответствующее упругим потерям энергии, поскольку оно также представляется в виде производной по г, и включили его в выражение — djlde в виде слагаемого — пис в /.

Уравнение (3.36) представляет собой не что иное, как уравне­ ние одномерной диффузии частиц вдоль «координаты» е, т. е. по энергетической оси. Изменение во времени «плотности» частиц п в данной точке е определяется дивергенцией потока j и распреде­ ленными источниками Q. Поток складывается из диффузионного потока, пропорционального градиенту плотности с «коэффициен­ том диффузии» 33, и потока кинематического, в котором частицы сносятся с локальной «скоростью» и — ис. Снос по оси энергии связан как с действием излучения (скорость и), так и с действием упругих потерь (отрицательная скорость — ис, направленная в сторону уменьшения энергии).

Коэффициент 3) следует интерпретировать как коэффициент диффузии отнюдь не по формальным причинам, он и в самом деле

тить квант и совершить скачок по координате е; ти — среднее вре­

«снос» частиц. Согласно (3.35) ее можно представить в виде и =

— Й(о/та — ha>lxb — d3)ld&. Здесь healха — это средняя скорость одностороннего перемещения частиц по оси е вправо, в сторону увеличения энергии, так как ха — время жизни по отношению к одному лишь поглощению кванта. Аналогично Йю/ть — односто­ ронняя скорость движения влево. Систематический снос возни­ кает из-за того, что средние скорости хаотических скачков вправо и влево не одинаковы, а кроме того, коэффициент диффузии ме­ няется от точки к точке (член — d3)/de).

Скорость сноса ис, связанная с упругими потерями, также имеет ясный физический смысл: среднее время между упругими

104

столкновениями тс = (l/vm) (1 — cos 0), и в каждом из них элект­

рон в среднем теряет энергию Деупр = (2т/М) (1 — cos 0) е и смещается на такую величину. Следовательно, электрон движет­

о

конечной величиной. Второе граничное условие следует из закона сохранения числа электронов. Интегрируя уравнение (3.36) по всему спектру с учетом выражений, составляющих источники Q, и условия / (е) —у 0, при е —>■оо найдем

— средняя частота ионизаций, производимых всем электронным спектром, a vd — средняя по спектру частота диффузионных по­ терь электронов. Закон сохранения числа электронов требует, чтобы при е = 0 поток / (0) обращался в нуль, т. е.

томатически). Подчеркнем, что граничное условие (3.43) соответ­ ствует только распределенному характеру источников Q (е). В дальнейшем мы будем приближенно считать источники не рас­ пределенными, а сосредоточенными, и соответственно граничные условия к уравнению будут формулироваться совсем иначе. Заметим также, что равенства (3.41), (3.43) предусматривают от­ сутствие иных источников электронов, кроме ионизации невоз­ бужденных атомов электронным ударом, скажем фотоионизации возбужденных атомов (см. раздел 6).

14.3. Классический предел. В сущности переход от конечноразностного квантового уравнения (3.33) к диффузионному урав­ нению; (3.36), совершенный при условии Гш <С е, уже сильно приблизил"нас к классическому уравнению (3.25), которое также можно представить в виде уравнения диффузионного типа, если раскрыть в нем производные по е в правой части.

105

Чтобы завершить предельный переход к классике, следует ввес­ ти явные выражения для квантовых коэффициентов 3Dи и и перей­

Однако прежде чем совершить такую операцию, сделаем еще один шаг, не требующий задания коэффициентов в явной форме, но еще более приближающий уравнение к классическому. Дело в том, что фактически коэффициенты а я Ь, которые определяют 3) и и, выводились в подразделе 5.2 полуклассическим методом. Поэтому результаты, не требующие явных выражений для 3)

и и или а и Ъ, обладают большей общностью, ибо всегда допускают возможность использования коэффициентов, выведенных строгим квантовомеханическим путем.

Итак, рассмотрим выражения (3.37), (3.38) для 3D и и. В них входят коэффициенты а и b при одинаковом значении аргумента е. Фактически при условии Тш е можно, не уменьшая суще­ ственно точности, разложить общее соотношение (1.40) между коэффициентами вынужденного испускания и поглощения, пред­ ставив его в виде

Таким образом, мы совершим предельный переход от кванто­ вого уравнения для функции распределения электронов по энер­ гиям к классическому, при На ->• 0, но фактическим параметром, по которому производилось разложение, было отношение /гю/е. Мы еще раз убедились в том, что условием применимости класси­ ческих уравнений для описания поведения электронов в поле из­ лучения^ является малость величины кванта На по сравнению с энергией хаотического движения электрона е, а вовсе не по срав­ нению с энергией его колебаний в поле, как кажется на первый взгляд (см. подраздел 5.3). Предельные значения коэффициента

106

диффузии и скорости сноса есть

Следует особо подчеркнуть, что запись чисто классического уравнения (3.25) в форме уравнения диффузии представляется не более чем формальным актом. В рамках классической теории не­ возможно придать физический смысл величине, играющей роль коэффициента диффузии, ибо классика не знает о существовании квантованных скачков вперед и назад по энергетической коор­ динате. Понять диффузионную природу движения электрона по энергетической оси можно лишь на основе квантового уравнения и последующего перехода к классике

Следствием диффузионного уравнения является и диффузион­ ная формула для средней скорости изменения энергии электрона в поле. Составим уравнение для скорости изменения средней энергии спектра электронов. Для этого умножим уравнение (3.36) на е и проинтегрируем по всему энергетическому спектру от 0 до оо. Проинтегрировав два раза по частям с учетом граничных ус­ ловий и поделив на Ne, получим

(3.48)

где черта означает, что величина усредняется по спектру электро­ нов.

Предпоследний член описывает непругие потери энергии, по­ следний — потери энергии, которую уносят диффундирующие в пространстве электроны. В классическом пределе (3.47) и при постоянстве частоты столкновений первые два слагаемых, описы­ вающие воздействие поля (dH/dt)E, принимают форму, характерную для процесса, в котором одновременно участвуют диффузия и снос:

С другой стороны, как видно из (3.49) и (3.47), формула (3.48) для изменения средней энергии спектра в точности превращается в элементарную формулу (1.9) для изменения скорости отдель­ ного, т. е. «среднего», электрона (неупругие и диффузионные потери там вообще не рассматривались, поэтому формула (3.48) содержит по сравнению с (2.9) два лишних, последних, слагаемых).

1 Вообще говоря, в свете сказанного в подразделе 4.2 в классике энергии электрона при столкновениях также может изменяться как в одну, так и в другую сторону, так что процесс набора энергии в поле также имеет диф­ фузионный характер. Но этот факт никак не проявляется при выводе (3.25), и, кроме того, скачки по оси энергии в классике не квантуются. Величина «классических» скачков не имеет ничего общего с Лео, она скла­ дывается из многих квантов.

107

Г л а в а 4

РЕШЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

ИРАСЧЕТЫ ПРОБИВАЮЩИХ ПОЛЕЙ

15.Стационарный спектр электронов в донороговых полях, определяемый действием упругих столкновений

15.1.Кинетическое уравнение и этеиентарная теория. Кине­ тическое уравнение для функции распределения электронов по энергиям (3.24) или (3.25) слишком сложно, для того чтобы можно

было надеяться решить его в сколько-нибудь общем виде. Анали­ тические решения удается найти лишь для некоторых наиболее простых вариантов условий либо при помощи упрощающих до­ пущений, да и то решения эти часто оказываются чрезвычайно сложными и громоздкими (см. [1]). Поэтому большой интерес пред­ ставляют те случаи, когда решения имеют простую форму, допус­ кают наглядное физическое истолкование и позволяют уяснить

Рассмотрим стационарное состояние электронов в газе, нахо­ дящемся в сравнительно слабом поле, которое заметно меньше по­ рогового для пробоя. Допущение о стационарности такого состоя­ ния отнюдь не противоречит условию малости поля. Для того что­ бы в холодном, неионизованном газе произошел пробой и зажегся разряд под действием самого поля, поле действительно должно быть довольно большим. Но если разряд однажды зажжен при помощи постороннего источника или какого-либо искусственного приема, то для его поддержания, т. е. поддержания уже сущест­ вующего ионизированного состояния газа, как правило, доста­ точны поля, значительно меньшие, чем те, которые необходимы для пробоя. Если газ разреженный и ионизация слабая, обычно возникает неравновесное состояние, при котором электроны в поле обладают заметной энергией, а газ тяжелых частиц, атомов

иионов, остается холодным А

Встационарном состоянии ионизация, производимая электро­ нами, уравновешивает диффузионный уход электронов из области действия поля, скажем, на стенки сосуда в СВЧ или высокочастот­

ных полях (потери на рекомбинацию обычно менее существенны). Энергия, которую электроны получают от поля, при этом в пол­ ной мере передается атомам в упругих столкновениях, а в свою очередь от тяжелых частиц отводится путем теплопроводности

108

на стенки. Благодаря относительно большой теплоемкости газа при слабой ионизации, последний нагревается очень мало. Ясно, что для поддержания такого стационарного состояния требуются поля, меньшие, чем для пробоя газа той же плотности.

В самом деле, при уже развитой ионизации, т. е. в горящем разряде, диффузия зарядов имеет амбиполярный характер, т. е. происходит медленно, и для компенсации диффузионных потерь электронов достаточно небольшой скорости ионизации, которую может обеспечить сравнительно слабое поле. Между тем при про­ бое неионизованного газа первые электроны, которых всегда очень мало, диффундируют свободно, частота ионизаций должна превосходить частоту гораздо более быстрых диффузионных ухо­ дов и для того, чтобы под действием самого поля развилась элек­ тронная лавина и зажегся разряд, требуются гораздо более силь­ ные поля.

Итак, рассмотрим разреженный, слабоионизованный газ в сравнительно слабом поле, считая, что состояние электронов ста­ ционарное и энергией атомов можно пренебречь по сравнению с энергией электронов. В этих предположениях энергетический

пробивающего, частота ионизаций очень мала. Лишь немногие электроны достигают энергии, равной потенциалу ионизации и близкому к этой величине потенциалу возбуждения. Следователь­ но, роль неупругих столкновений, а также диффузионных потерь, которые как раз и компенсируются редкими актами ионизации, мала и в кинетическом уравнении можно пренебречь соответству­ ющим слагаемым Q.

При этих условиях выражение под знаком производной д/дъ в (3.25), которое согласно (3.36) интерпретируется как поток по энергетической оси / (е), становится константой. Но в области больших энергий е -у оо число электронов и поток стремятся к нулю, следовательно, в данных условиях поток тождественно ра­ вен нулю. Это значит, что положительная часть потока, связанная с приобретением энергии электронов в поле, при каждом значении энергии е в точности компенсируется отрицательной частью, связанной с потерями энергии при упругих столкновениях.

Приравнивая нулю выражение в квадратных скобках под зна­ ком производной d/dv в (3.24) и интегрируя, найдем функцию распределения / 0 (v)

109

Постоянная интегрирования С определяется из условия нор­ мировки

оо со

теории электрон может приобрести в поле при действии упру­ гих столкновений и которая дается формулой (1.58) (в ней стоит

Е2 = El/2).

На этом примере особенно наглядно проявляется несовершенст­ во элементарной теории поведения электронов в поле по сравнению с более строгой теорией, основанной на использовании кинетиче­ ского уравнения. По элементарной теории энергия каждого элек­ трона описывается формулой (1.9): de/dt = (Ае — Аеупр) vm. Если в начальный момент электрон обладал энергией е <ешаХ, его энергия будет возрастать за счет преобладающего действия поля, если е етах — уменьшаться вследствие упругих потерь. Стационарное состояние энергетического спектра определенного количества электронов в отсутствие актов рождения и неупругих столкновений определяется условием de/dt = 0, т. е. в стационар­ ном состоянии все электроны должны иметь одинаковую энергию 8 = 8тах, и спектр должен быть «дельта-образным».

На самом же деле, как следует из кинетического уравнения, электронный спектр размыт около среднего значения ё. По бо­ лее или менее случайным причинам при vm — const ё в точности совпадает с ешах, в других случаях также совпадает, но лишь приближенно (см. ниже). В истинном спектре присутствуют элек­ троны с энергиями, превышающими ещах, которые по элементар­ ной теории должны были бы растерять ее на упругие столкнове­ ния, «спустившись» до уровня етах. Это, видно, связано с тем, что вывод кинетического уравнения основан на использовании стро­ гого описания силового воздействия поля на электроны, которое

110