книги из ГПНТБ / Райзер Ю.П. Лазерная искра и распространение разрядов

и диссипации, где Т = Т0. Поток тепла на этой границе равен %Т01а. Но, с другой стороны, он примерно равен потоку тепла,

Рис. 6.25. Распределение тем­

ного распространения фронта температурной волны от нагретого вещества; vK^ %JAx — скорость имеет порядок отношения тем­ пературопроводности к ширине перепада температуры.

Для решения некоторых задач о волнах разряда удается при­ менить простой и действенный приближенный метод, существо которого будет сейчас изложено на примере режима без потерь. Это позволит по-новому взглянуть на основное соотношение (6.59) и дать ему весьма примечательную физическую интерпретацию. Мы только что видели, что при условии резкого нарастания по­ глощения с температурой, вплоть до конечного значения в волне,

женность.

Доведем до крайности идею о малой ширине зоны тепловыде­ ления и будем считать источники тепла в уравнении (6.39) сосре­ доточенными. Помещая начало координат в точку, где расположен источник, и записывая его выражение в виде дельта-функции (величина коэффициента при б-функции вытекает из условия ее нормировки), получим уравнение,

= + <6-83>

В этом приближении температура ионизации Т0, при которой начинается существенное поглощение светового потока, совпадает

сконечной температурой ТК, а гладкий на самом деле профиль

Т(х) приобретет вид, показанный на рис. 6.25, с разрывом про­ изводной (потока тепла) в точке источника. В простейшем пред­ положении ср = const, X = const в области х <1 0 имеем решение (6.62) с Г0 = Тк. Интегрирование (6.63) по всему пространству дает общую связь (6.42) температуры Тк и скорости и, и для

211

определения этих двух неизвестных нам не хватает еще одного

уравнения.

Недостающее соотношение можно установить, исходя из фи­ зических соображений, и этот момент представляется центральным для формулировки подобных приближенных методов. Как следует из уравнения (6.28), световой поток ослабляется в волне по закону

—оо

Но в силу самого определения понятий зон диссипации и про­ гревания оптическая толщина зоны прогревания, а в более общем смысле — зоны подготовки газа к восприятию электромагнитной энергии, т0 = х (0), никак не может сильно отличаться от 1. В самом деле, если допустить, что т0 заметно меньше 1, это озна­ чало бы, что в конце зоны прогревания коэффициент поглощения еще столь мал, что на протяжении некоторой прилегающей части зоны диссипации поглощение также мало. Если допустить, что т0 заметно превышает 1, то уже в зоне прогревания электромагнит­ ная волна должна испытать сильное поглощение. И то и другое допущения противоречат принципу, по которому было произве­ дено разделение волны на две зоны. Это рассуждение оставляет некоторый произвол для выбора конкретного числа, которому следует приравнять т0. Легко видеть, что при условии полного поглощения светового потока приближению сосредоточенного источника отвечает точное равенство т0 = 1. Действительно, под­ ставляя в точное интегральное соотношение

оо

Относя это равенство к точке х = 0, со стороны отрицатель­ ных х и замечая, что согласно уравнению (6.63) вся выделяющаяся энергия светового потока выносится тепловым потоком в зону прогревания, получим недостающее соотношение

(6.67)

о

212

которое совпадает с выведенным уравнением (6.59). Таким образом,

чтобы получить простейшее приближенное решение задачи о ре­ жиме с потерями. В дальнейшем таким способом будет прибли­ женно решена гораздо более сложная задача о режиме волны иони­ зации, механизмом распространения которой служит диффузия резонансного излучения (см. раздел 35).

24.5. Волна с потерями. Рассмотрим условия, когда выпол­ няется неравенство Цсотах^^>1 (большое давление, низкая ча­ стота), но в отличие от предыдущего раздела световой поток не столь велик, чтобы можно было пренебречь потерями энергии. Им отвечает общая постановка задачи о режиме, когда приходит­ ся принимать во внимание остывание газа за температурным мак­ симумом (см. подраздел 24.1).

Поставим себе цель, не стремясь к большой точности, выяс­ нить основные особенности режима и вывести по возможности простые формулы, с помощью которых можно было бы оценивать главные параметры волны. Лучший путь здесь — это линеари­ зация системы уравнений (6.25), (6.28). Не будем учитывать по­ тери на излучение, что в данном случае допустимо, ибо темпера­ туры плазмы не получаются высокими; они, как правило, соот­

Чтобы сделать это уравнение линейным относительно потен­ циала потока тепла ©, нужно еще соответствующим образом аппроксимировать функцию F+ (0).

Простейший способ — это считать источник тепла сосредото­ ченным. Пренебрегая световым потоком SK, который «просачи­ вается» через волну на бесконечность (см. сноску1 в конце под­ раздела 24.1), положим F+ = S0б (х). Решение уравнения (6.68), удовлетворяющее граничным условиям 0 = 0 при х = + оо и условию непрерывности температуры, есть

k» - ± { V T T U * i # ± t ) .

Распределение 0 (х), которое характеризует и профиль тем­ пературы, показано на рис. 6.26.

213

Если проинтегрировать уравнение (6.68) по х от —оо до + оо,

+ о о

получим уравнение баланса энергии всей волны S0 = ^ (AQ/R2) dx.

—оо Оно свидетельствует о том, что энергия светового потока

затрачивается на компенсацию потерь, связанных с вытеканием энергии из канала. Больше энергия ни на что не тратится, ибо газ в конечном состоянии, как и в начальном, холодный. Последнее равенство дает

В точке х = 0, где расположен источник, поток тепла, естест­ венно, терпит разрыв, причем разность тепловых потоков вправо

Рис. 6.26. Распределение по­ тенциала потока тепла (и тем­ пературы) в волне с потерями и сосредоточенным источни­ ком тепла

также получим формулу (6.70). Она связывает две неизвестные величины @т и а, т. е. фактически наибольшую температуру Тт и скорость распространения и, и заменяет собой равенство (6.42) для волны без потерь.

В качестве второго, недостающего соотношения используем условие равенства 1 оптической толщины зоны прогревания: т0 = 1. Запишем приближенно выражение для т0 в виде (6.66), относя эту формулу к точке х = 0 со стороны отрицательных ж, и подставим J (—0) = J_ = —к^дт, выразив кг по формуле (6.69). Вычисляя интеграл по температуре тем же способом, ка­

V 1 + iAa?/R2 + 1

Разрешая равенство (6.70) относительно а и исключая эту величину из уравнения (6.71), представим уравнения в следую-1

1 Заметим, что в приближении сосредоточенного источника непосредствен­ ного вытекания энергии из канала в зоне диссипации нет, ибо сведена к нулю ее боковая поверхность. Энергия вытекает сначала вдоль канала вправо и влево, а потом уже за пределы канала. Поскольку общий баланс энергии при этом не нарушается, эквивалентным образом возрастают по­ токи тепла от источника назад и вперед.

214

щей, окончательной, форме:

Первое из них определяет наибольшую температуру плазмы Тт, второе — по известной температуре скорость распространения и.

Проанализируем эти результаты. В пределе очень малых по­ терь, которому соответствует R — оо, мы возвращаемся к форму­ лам (6.60), (6.42), полученным в предыдущем разделе при рассмо­

Далее, из уравнения (6.72) видно, что с уменьшением потока Sn температура плазмы Тт также уменьшается, хотя и медленно, так как ц„ (Т) ~ ехр (—1/2кТ) — функция очень крутая. На­ оборот, небольшому уменьшению температуры отвечает резкое падение светового потока. Следовательно, существует такое зна­ чение St, ниже которого уравнение (6.72) относительно ©,„ не имеет решения. Этому значению St отвечает обращение в нуль квадратного корня в (6.72) и скорости распространения в (6.73). При S < St скорость становится мнимой. Это просто означает, что уравнение баланса энергии не имеет стационарных решений и режима нет. В данном случае не получается режима волны ох­ лаждения, как при слабом поглощении света, когда существует длинный столб нагретого газа.

Пороговое значение светового потока St и соответствующая

которые имеют очень наглядный физический смысл. Комбинация в правой части (6.74) по порядку величины равна радиальному потоку тепла в зоне диссипации, тому самому потоку, который вы­ носит энергию за пределы канала. Комбинация в правой части (6.75) приближенно представляет собой осевой поток тепла из

зоны диссипации в зону прогревания, %tAT/lt, где АТ ^ 2кТ\И — соответствующий перепад температуры (см. предыдущий подраз­ дел). Как видно из уравнения (6.72), при больших надпороговых потоках S0 St световой поток S0 практически полностью ком­ пенсируется осевым потоком тепла, а радиальный поток мал. При пороговой же интенсивности все три потока: световой и оба

215

тепловые (радиальный и осевой) оказываются одного порядка, о чем и свидетельствуют уравнения (6.74), (6.75). Можно сказать иначе: предел режиму наступает, когда радиальный тепловой по­ ток, уносящий энергию из канала, становится сравнимым с осе­ вым. Это происходит, когда длина поглощения электромагнитного потока вырастает до величины, составляющей определенную долю радиуса, а именно

Из уравнений (6.72), (6.73) видно, что при данном световом потоке 5 0 St температура в волне с потерями выше, чем в волне без потерь (где R = оо), а скорость распространения меньше. Имея в виду, что температура очень мало меняется при изменении светового потока, скорость распространения волны с потерями (6.73) можно представить в виде

Численный пример, как и в предыдущем разделе, приведем из области СВЧ-разрядов, для которых данный режим типичен.

пробега составляет величину порядка 0,1 R. В воздухе при тем­ пературах 4000—6000° Я,770 ж 3; основной вклад в ионизацию дает образующаяся окись азота с I = 9,4 эв\ А ^ 2 -ч- 3, откуда и получается эта оценка. Пороговый поток электромагнитной энергии по формуле (6.74) St ж 0,1 квт/см2.

Более точные результаты получаются, если в исходном урав­ нении (6.68) считать зону диссипации протяженной. Чтобы со­ хранить линейность уравнения, можно задать функцию F+ так, чтобы тепловыделение было постоянным в зоне диссипации и равным нулю в зонах прогревания и остывания. При этом по­ стоянное тепловыделение и ширину зоны диссипации следует соот­ ветствующим образом выразить через световой поток S0 и харак­ терную длину поглощения света, отвечающую максимальной тем­ пературе (Тт) [111. Для приведенного выше примера пороговая длина поглощения получается раз в 5 больше, температура чуть ниже, Tt ^ 4200°, а пороговый поток вдвое выше (0,2 квт/см2). Когда дело касается СВЧ-диапазона, возникает существенный вопрос об отражении электромагнитной волны от плазмы (см. раз­ дел 31).

216

25. Сверхзвуковой, «сверхдетонационный» теплопроводностный режим

Выше рассматривались медленное дозвуковое распростра­ нение оптического разряда, аналогичное медленному горению (раздел 23 и подраздел 24.3) и быстрый, сверхзвуковой режим, аналогичный детонации (раздел 20). Первый наблюдается при умеренных световых мощностях, которые получаются при свобод­ ной генерации твердотельных лазеров и с помощью лазера непре­ рывного действия на углекислом газе, и в этом случае температу­ ры плазмы имеют порядок 20 000°. Второй — при очень больших мощностях, соответствующих гигантским лазерным импульсам,

когда температуры имеют порядок сотен тысяч и миллиона гра­ дусов.

Интересно, что при еще более высоких интенсивностях излу­ чения, когда достигаются температуры в миллионы градусов, на первый план снова может выступить теплопроводностный меха­ низм распространения плазменного фронта, но на этот раз не до­ звуковой, а сверхзвуковой и даже «сверхдетонационный», ибо он обеспечивает распространение со скоростью, превышающей ско­ рость ударной волны. Положение аналогично тому, которое имеет место на самой ранней стадии сильных взрывов, при очень вы­ соких температурах, когда энергия взрыва сначала распростра­ няется в воздухе не гидродинамическим путем, а тепловой волной и только потом вперед выходит ударная волна [5].

Правда, при сильных взрывах тепловая волна обязана лучистой теплопроводности, тогда как в лазерной искре, где явления имеют очень маленькие масштабы, речь может идти скорее об электрон­ ной теплопроводности. Дело в том, что при плотностях газа, соот­ ветствующих, скажем, атмосферному давлению, и миллиметровых масштабах, которые фигурируют в опытах по лазерной искре, плотность теплового излучения плазмы обычно гораздо меньше равновесной. Лучистый теплообмен при этом имеет существенно неравновесный характер и скорость переноса энергии не столь велика, как в условиях лучистого равновесия. Между тем при огромных размерах нагретой области, которые получаются в ре­ зультате сильных взрывов, тепловое излучение равновесно и лу­ чистая теплопроводность всегда превышает электронную.

Рассмотрим сверхзвуковую теплопроводностную волну. При сверхзвуковом распространении газ в волне разряда не расши­ ряется, а согласно ударной адиабате волны сжимается или же не меняет плотности. Поэтому в отличие от случая «светового горения» плазма непрозрачна, световой поток поглощается в срав­ нительно тонком слое, и роль потерь невелика.

При высоких температурах в области многократной ионизации атомов коэффициент поглощения (тормозного) световых квантов по формуле (6.1) пропорционален ри ~ Z37,_s'% где Z — средний заряд ионов или же число свободных электронов на атом. Потен-

217

циалы последовательных ионизаций ионов (грубо говоря) / 2 ~ Z2, а степень равновесной ионизации зависит от температуры пример­ но так, что IJkT ^ const [5] т. е. Z Т'к и рш(Т) ~ const (это подтверждается табл. 4, подраздел 20.2). В области слабой

Последнее приближение вытекает из того факта, что конечная температура Тк гораздо больше, чем температура ионизации, и тем более @к^ >@о- Отсюда получаем зависимость конечной тем­ пературы от светового потока, Тк 50*, а из уравнения баланса энергии в волне р0ишк = S0 с учетом того, что wK~ Тк , находим

леннее, как D ~ Sq” (температура в такой волне Тк ~ Вк‘ ~

~ <Sq9). Следовательно, начиная с каких-то достаточно высоких значений потока S0 или температур плазмы Тк волна разряда, движимая электронной теплопроводностью, должна обгонять светодетонационную. Оценки показывают, что этот переход дол­ жен происходить при температурах Тк выше миллиона градусов

218

пульсами. При меньших температурах ударная волна движется быстрее теплопроводностной. Если действительно осуществляется детонационный режим, перед фронтом ударной волны образуется только стационарный температурный «язык» прогрева электронной теплопроводностью, как это всегда бывает в очень сильных удар­ ных волнах [5].

26.Режим лучистого теплообмена

26.1.Постановка задачи. Существо «радиационного», как мы будем для краткости называть его, механизма распространения разряда заключается в том, что тепловое излучение плазмы, по­ глощаясь частично в холодных слоях, прилегающих к фронту разряда и находящихся во внешнем поле, тем самым способствует их ионизащГи. В результате фронт переходит на новое место. Радиационный механизм рассматривался в работе [16] как одна из возможных причин быстрого распространения лазерной искры (помимо детонации и волны пробоя).

Радиационный механизм, как и теплопроводностный, может действовать в полях любых частот и любой геометрии. Чем больше поток электромагнитной энергии, поддерживающей разряд, тем выше температура плазмы и ее излучательная способность, тем интенсивнее происходит лучистый теплообмен и тем скорее рас­ пространяется разряд. В зависимости от величины внешнего поля разряд может распространяться как медленно, так и быстро. Надо сказать, что при сверхзвуковом распространении возни­ кают гораздо более благоприятные условия лучистого тепло­ обмена, чем при дозвуковом, и не только потому, что в этом случае температуры выше. При тех давлениях и размерах плазмы, ко­ торые обычно фигурируют в опытах и на практике, плазма, как правило, бывает прозрачной для собственного излучения. Луче­ испускание имеет объемный характер и потому сильно зависит от плотности газа (при данной температуре пропорционально чуть ли не квадрату плотности). При сверхзвуковом распростра­ нении плазма в области поглощения внешнего потока энергии имеет плотность такого же порядка, что и плотность холодного газа, при дозвуковом — много меньше. Это существенным об­ разом подрывает эффективность лучистого теплообмена при небольших потоках энергии и низких температурах, когда процесс протекает при постоянном давлении. Во многих представляющих интерес случаях низкотемпературных разрядов с температурами порядка 104° лучистый теплообмен не выдерживает конкуренции с действием обычной теплопроводности, которая при данной температуре от плотности зависит слабо. Напротив, при высоких температурах (~ 105—10®°), как в опытах с лазерной искрой, радиационный механизм, возможно, и не уступает детонацион­ ному.

219

Ставя своей целью оценку эффективности радиационного ме­ ханизма, естественно рассматривать его изолированно, игно­ рируя действие других: гидродинамического (детонационного) и теплопроводностного. По этой причине общая постановка идеа­ лизированной задачи о радиационном режиме волны разряда в предельных случаях сверхзвукового и дозвукового распростра­ нения оказывается практически одинаковой, с той лишь разни­ цей, что в первом из них следует считать постоянной плотность газа, а во втором — давление. Проявляется это в общих уравнени­ ях только в том, что в одном случае фигурирует теплоемкость при постоянном объеме cv и внутренняя энергия е, а в другом — ср и энтальпия w.

Сформулируем максимально простым образом задачу о режи­ ме, придерживаясь в основном тех же допущений, что и при рас­ смотрении теплопроводностной волны, тем более что по характеру своему задачи эти весьма сходны. Пусть внутри светового канала радиуса R навстречу световому потоку iS0 со скоростью и отно­ сительно холодного газа движется температурная волна. Рассмот­ рим стационарный процесс в системе координат, связанной с фронтом волны. Чтобы сделать задачу одномерной, будем опе­ рировать средними по сечению канала величинами. Считая газ термодинамически равновесным, а излучение — напротив, не­ равновесным, запишем уравнение баланса энергии вещества вну­ три светового канала

где cVtP, есть либо с„, либо ср, j (Т) эрг1см3секстер — лучеиспуска­ тельная способность газа, Q эрг/см3сек — энерговыделение, свя­ занное с поглощением теплового излучения.

Световой поток S удовлетворяет уравнению (6.28). В самой общей форме

где / ы (Q) эрг!смг-сек-частота-стер — спектральная интенсив­ ность излучения, распространяющегося в направлении Q в данной точке пространства; Кщ — коэффициент его поглощения, исправ­ ленный на вынужденное испускание.

Будем оперировать интегральной по частотам интенсивностью

I (й) = ^ / т da и неким оценочным, усредненным по спектру ко­

эффициентом его поглощения к, который зависит от пространст­ венной точки. Интенсивность / (£2) и тепловыделение Q будем вычислять для точек оси канала, где направление £2 задается только углом й между вектором Q и осью х. В этих предположе­ ниях

(6.81)

220