книги из ГПНТБ / Кавказов Ю.Л. Тепло- и массообмен в технологии кожи и обуви

НЭ.Л. КАВКАЗОВ

ТЕПЛО- И МАССООБМЕН В ТЕХНОЛОГИИ КОЖИ И ОБЫВИ

М О С К В А „ Л Е Г К А Я И Н Д У С Т Р И Я "

1973

6П9.11

К12

[G75 + 685] : 536.24

Р е ц е н з е нт академик А. В. Лыков

© Издательство «Легкая индустрия», 1973.

Г Л А В А I

О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я Т Е О Р И И П О Д О Б И Я И К Р И Т Е Р И И П О Д О Б И Я , И С П О Л Ь З У Е М Ы Е В У Ч Е Н И И О Т Е П Л О - И М А С С О О Б М Е Н Е

С у щ н о с т ь теории подобия

Чтобы выразить связь между различными сторонами явлений, определить их количественные взаимоотношения, установить за­ висимость от внешних условий, необходимо использовать математи­ ческий аппарат. Простейшим приемом является обобщение установ­ ленных экспериментальным путем закономерностей в виде эмпири­ ческих уравнений. Достоинством этого приема является достовер­ ность результатов для конкретного случая с той точностью, которую допускает сам эксперимент, и установление связи между величинами, представляющими наибольший интерес.

Ценность' получаемых таким путем данных весьма ограничена, связи, установленные для одного эксперимента, не могут быть рас­ пространены на другие, сколько-нибудь отличающиеся от исследо­ ванного, а найденные зависимости не позволяют судить о том, как они будут меняться при различном развитии наблюдаемого явления: Этот прием требует отдельного изучения каждого случая, отличаю­ щегося чем-либо от другого.

Другой крайностью установления количественной связи является математическая физика, рассматривающая закономерности общих явлений природы. Эти закономерности отражаются в новых или су­ ществующих дифференциальных уравнениях, в которых нет никаких данных о значениях отдельных величин, ^характерных для единич­ ных явлений;, любое дифференциальное уравнение или система их являются математической моделью целого класса явлений, характе­ ризуемых одинаковым механизмом. Интегрирование таких уравне­ ний дает множество решений,-удовлетворяющих их, и чтобы выбрать из них уравнение, отвечающее данному случаю, нужны дополни­ тельные сведения, не содержащиеся в самих уравнениях. Такие сведения, выделяющие единичные случаи из всего класса явлений, описываемых дифференциальным уравнением, носят название ус­ ловий однозначности. Условия однозначности должны охватывать все те недостающие особенности, которые присущи рассматривае­ мому единичному случаю. Эти особенности сводятся:

5

визучаемых процессах;

3)к состоянию всех переменных величин, входящих в систему

вначальный период процесса;

4)к характеристике условий взаимодействия явлений с окружаю­ щей средой.

Только при наличии всех этих сведений дифференциальные уравнения могут однозначно определить единичный случай рас­ сматриваемого явления.

Вся трудность заключается в том, что в большинстве случаев найти решение, удовлетворяющее одновременно дифференциальному уравнению'И условиям однозначности, невозможно.

Таким образом, недостатком экспериментальной физики является невозможность распространения результатов одного опыта на дру­ гие, отличающиеся от первого. Математическая физика позволяет рассматривать лишь общие закономерности целого класса явлений, выделение же отдельных случаев, отвечающих требованиям условий однозначности, встречает большие трудности. Объединение приема

это тем, что вводится новое понятие — группа явлений, объединяю­ щая те из них, на которые могут быть распространены результаты единичного опыта путем установления особых условий однознач­ ности. Для изучения количественных закономерностей наблюдае­ мых процессов необходимо установить сущность протекания физи­ ческих явлений, составляющих процесс, и схему, которая позволяет использовать "какой-либо физический закон непосредственно или через дополнительные представления. Сами по себе физические за­ коны просты, но переход от них к количественным соотношениям, определяющим единичный случай, связан с большими трудностями, которые вызваны тем, что соотношения содержат большое коли­ чество величин разной физической природы, таких, например, как сила, энергия, потоки массы и тепла и др.

В свою очередь, эти величины выражены более простыми, не­ посредственно измеряемыми величинами (единицами времени, тем­ пературой, физическими константами и другими, носящими назва­ ние первоначальных), над которыми можно производить количест­ венные расчеты.

Выражение физических законов в первоначальных величинах и является задачей составления основных уравнений. При исследо­ вании единичных явлений приходится иметь дело с множеством раз­ нородных величин, каждая из которых служит самостоятельной переменной, в чем и кроется основная трудность решения таких

6

уравнений. Теория подобия вносит новую идею в решение этого вопроса: анализ физических явлений приводит к выводу, что мно­ жественность связей между первоначальными величинами, уста­ навливаемая дифференциальными уравнениями, не является свой­ ством, вызванным физической природой, а вытекает из' применяе­ мого способа исследования. В действительности влияние на разви­ тие процесса отдельных факторов, представленных различными ве­ личинами, проявляется в некоторой совокупности их, поэтому нет необходимости в рассмотрении каждой из них в отдельности. Сравни­ тельная интенсивность влияния того или другого фактора на проте­ кание процесса характеризуется некоторым сочетанием отдельных

в комплексы строго установленного вида, имеющих определенный физический смысл. Составленные таким образом комплексы яв­ ляются устойчивыми комбинациями величин, участвующих в изу­ чаемом процессе, и получают значение переменных особого рода, характерных для этого процесса.

Введение комплексов дает важные преимущества — прежде всего уменьшение числа переменных, что само по себе облегчает решение задачи, и, кроме того, более отчетливые внутренние связи, которые определяют сущность процесса, а их количественная связь стано­ вится более определенной.

Самым главным же является то, что значение комплекса может быть получено из бесчисленного множества комбинаций составляю­ щих его величин. Таким образом, этой переменной отвечает не одна какая-либо совокупность, а большое количество их, поэтому реше­ ние задачи относится не к одному частному случаю, а к группе яв­ лений, обладающих некоторой общностью свойств. Теория подобия дает метод перехода от соотношения отдельных операторов диффе­ ренциальных уравнений к выражениям, содержащим в качестве переменных комплексы, которые решаются как простые алгебраи­ ческие уравнения.

П е р е х од от операторов дифференциальных уравнений к к о м п л е к с н ы м переменным

В дифференциальных уравнениях первоначальные величины, отображающие соответствующие эффекты, входят в состав опера­

в то время как определенная комбинация их характеризует относи­ тельное значение каждой из них.

В качестве примера можно привести характеристику движения жидкости. Движение жидкости определяется одновременным дей­ ствием силы тяжести, силы внутреннего трения и инерционными силами. Действия этих сил всегда проявляются в строго определен-

7

ной связи: отношение инерционных сил к силам внутреннего тре­ ния изменяется в зависимости от.скорости течения и размеров си­ стемы в первой степени, а отношение инерционных сил к силе тя­ жести возрастает как квадрат скорости течения и убывает обратно пропорционально размеру системы в первой степени.

В операторах дифференциальных уравнений эти соотношения прямо не проявляются,. так как в задачу таких уравнений входит установление порядка вычислительных действий для различных частных случаев связи между указанными первоначальными вели­ чинами. В комплексах, состоящих из постоянных величин, опреде­ ляемых условиями задачи, соотношение их отображает механизм процесса, а интенсивность влияния каждой из них на протекание процесса выражено в явной форме. Так как комплексы должны вы­ ражать те же физические явления, что и операторы дифференциаль­ ных уравнений, они должны содержать те же величины в определен­ ных соотношениях. Но если в операторах дифференциальных уравне­ ний эти соотношения составляются из первоначальных величин, каждая из которых является самостоятельной переменной, то в ком­ плексах их сочетания служат постоянными параметрами. Выра­ жение какой-либо величины Z через X и Y в виде производной

dmY dxm

полностью определяет свойства этой величины н позволяет устано­ вить ее значение при любых изменениях Y в зависимости от измене­ ния X. Для решения частных случаев любого явления необходимо, чтобы переменные величины, входящие в условия однозначности, имели бы численные значения.

Для выделения из класса отдельной группы явлений, характери­ зуемых только каким-либо общим механизмом, конкретных значе­

ход от операторов к комплексу происходит непосредственно. При

комплекс имеет знаменатель во второй степени. В приведенных при-

8

мерах те соотношения операторов дифференциального уравнения, которые отражают механизм происходящего явления, полностью переходят в комплексы, сохраняя этим и закономерность его. Слож­ нее обстоит дело в том случае, когда движение происходит по пути, изменяющемуся во времени по какому-нибудь .сложному закону. При этом производная уже не будет иметь постоянного значения и простой переход от нее к комплексу не выполним. Чтобы пронзвод-

d"'Y

пая — — была постоянной, необходимо соблюдать требование У =

dX.

в эту группу, отличается от других лишь своим масштабом, изме­ ряемым некоторым множителем, носящим название множителя преобразования.

Исходя из условий задачи, величинам X и Y могут быть заданы

плекс носит параметрический характер. Чтобы исключить абсолют­ ные значения величин множителей преобразования, им придают вид безразмерного отношения текущих значений к начальному, задавае­ мому к началу процесса. Сами множители претерпевают изменения во времени и в пространстве, но соотношение между ними сохраняется постоянным на протяжении всего процесса. Иллюстрацией понятия подобия может служить рис. 1-1.

Приведенные на рис. 1-1 геометрические фигуры представляют собой класс, определяемый общим понятием — прямоугольники. Их объединяет общий признак—наличие прямых углов. Чтобы выделить из класса единственную фигуру, нужно придать численные значения величинам 1г и /2 . Эти значения будут являться условиями однозначности. Для выделения из класса группы подобных явлений нужны другие условия однозначности, а именно, чтобы переход от одной фигуры к другой мог бы быть произведен путем умноже­

таком преобразовании каждая фигура в пределах группы будет отличаться от остальных только своим масштабом, каждой точке одной фигуры будет соответствовать сходственная точка другой фигуры.

9