книги из ГПНТБ / Кавказов Ю.Л. Тепло- и массообмен в технологии кожи и обуви

Так, например, если при преобразовании времени —т-=Кх— мно­ житель преобразования Кх — 1. сходственные моменты будут сов­

хронности.

В общем случае, когда в условиях однозначности ряда явлений физические коэффициенты постоянны и имеют различные значения

в разных точках системы, для подобия этих условий однозначности необходимо подобие всего поля коэффициентов. Если в одной си­

ния подобны, если они описываются одной системой дифференциаль­ ных уравнений и имеют подобие условий однозначности.

То, что явления описываются одной системой дифференциальных уравнений, свидетельствует, что они принадлежат к одному и тому же классу, а подобие условий однозначности устанавливает принадлеж­ ность их к одной и той же группе явлений. Чтобы удовлетворить одновременно двум указанным требованиям, необходимо выбор мно­ жителя преобразования ограничить: каждая комбинация величин, построенная по типу безразмерных степенных комплексов, должна равняться единице.

Для примера можно взять два случая явления теплоотдачи пла­ стинки при обтекании ее потоком жидкости. Для стационарного ре­

ду'

10

(1-2)

ду '

Связь между этими двумя системами уравнений будет обусловлена равенствами:

W"x = KwW'x; W"y = KwW'a; X" = Kix';

Для подобия явлений, выраженных этими системами уравнений,

можно видеть, что они могут существовать совместно лишь при условиях

Если теперь вместо множителей преобразования подставить их значения из приведенных равенств отдельных параметров и разде­ лить переменные, можно получить следующие комплексы:

11

Первый из них получил название критерия подобия Пекле:

Из изложенного видно, что в группе подобных явлений комплексы, представляющие собой безразмерное отношение составляющих их величин, должны быть равны, следовательно, равенство комплексов указывает на подобие тех явлений, в которые они входят. Это дало основание назвать их критериями подобия. Критерии подобия при­ нято обозначать начальными буквами фамилий известных ученых. Критерии подобия должны иметь определенный физический смысл, группировка составляющих их величин должна отражать механизм протекания процессов, из которых складывается рассматриваемое явление, что обычно вытекает из условий поставленной задачи.

В качестве примера построения критерия подобия удобно рас­ смотреть теплоотдачу пластинкой окружающей среде, что может быть выражено' уравнением

ной, тогда температура Т будет функцией только одной переменной — координаты X. Согласно приведенным выше рассуждениям, произвол-

температурным перепадом внутри пластинки и температурным на­

в пластинке оно задано начальными условиями, входящими в усло­ вия задачи, а так как в группе подобных явлений это распределение сохраняется для всех остальных случаев, входящих в группу, то уравнение принимает вид:

& - f ( - ! - / ) - / < B i > .

12

Самым существенным в применении критериев подобия является то, что решение задачи удается представить в виде функции от од­ ного аргумента, в то время как фактически распределение темпера­ туры зависит от влияния трех факторов а, К и /, причем интенсивность влияния каждого из них определена самой структурой критерия.

Изменение величины любого из этих факторов изменит два дру­ гих, чтобы величина критерия осталась неизменной, что сохранит механизм протекания отображаемого им явления. Бесчисленное число сочетаний значений составляющих критерий величин приводит к тому, что круг характеризуемых этим критерием явлений очень велик. Критерии подобия могут быть определены исходя из условий

быть определены лишь в результате решения задачи, они стано­ вятся функциями и называются н е о п р е д е л я ю щ и м и "к р и- т е р и я м и.

Любая комбинация критериев подобия служит также критерием подобия, произведение же относительной переменной на любую комбинацию критериев подобия остается относительной переменной.

В условиях задачи часто заданы две или несколько величин одной физической природы, но зависящих от разных аргументов. Чтобы избежать введения в комплексы нескольких значений одной переменной, их заменяют отношениями переменной к ее нулевому значению, образуя простое отношение одноименных величин. Та­ кие выражения входят в конечные уравнения наряду с комплексами

Может быть и другой случай, когда для какого-либо значения пере­ менной нет в задании соответствующего параметра, поэтому нельзя составить отношение этих величин и, следовательно, образовать критерий.

В таком случае недостающий параметр заменяется некоторой комбинацией величин, эквивалентной по своему значению этому

13

параметру. Образовавшийся в результате замены комплекс не яв­ ляется критерием подобия, он выражает лишь то, что совокупное действие введенных в него величин на развитие процесса равно­ значно действию отсутствующего параметра. В результате исполь­ зования критериев подобия и параметров состав уравнения крите­ риального вида представляет собой следующее:

состоят из начальных и граничных условий, составляющих в целом краевые условия.

Наиболее важным типом теплообмена является тепловое взаимо­ действие твердого тела с движущимся потоком жидкости или газа. Дифференциальное уравнение, описывающее это явление, устанав­ ливает связь между временными и пространственными изменениями температуры тела, для чего необходимо знать начальное распределе­ ние температуры внутри тела, его геометрические формы и закон взаимодействия окружающей среды с поверхностью тела.

Скорость движения обтекающей жидкости или газа принимается равной нулю у поверхности тела и постоянной вдали от нее. В ка­ честве начального условия задается распределение температуры

пределение температуры по поверхности тела в любой момент вре­ мени tn (т) — f (г). Если же оно постоянно на протяжении всего процесса теплообмена, то tn (т) — tc = const. Это может наблю­ даться при искусственном поддержании постоянства температуры, а также в некоторых случаях теплообмена тела с окружающей средой (граничное условие третьего рода).

Г р а н и ч н о е у с л о в и е в т о р о г о р о д а задает плот­ ность теплового потока для каждой точки поверхности тела как функцию времени: qn (т) = / (т). При постоянстве плотности по­ тока qn (т) = qc = const. Это может быть при высокой температуре окружающей среды, когда передача тепла происходит по закону Стефана—Больцмана.

14

Г р а н и ч н о е у с л о в и е т р е т ь е г о р о д а определяет температуру окружающей среды и закон теплообмена ее с поверх­ ностью тела —конвективный теплообмен при охлаждении или нагре­ вании тела.

В первом случае количество тепла, передаваемое в единицу вре­ мени с единицы поверхности в окружающую среду, прямо пропор­ ционально разности температур между поверхностью тела и среды,

При нагревании тела количество подводимого к его поверхности тепла должно быть равным количеству тепла, отводимого внутрь его путем теплопроводности. Граничное условие этого равенства выражается уравнением

дп (т) = а Цс(т) - tn (т)] = - К ( - ^ - ) п,

где п— нормаль к поверхности тела.

Обычно это граничное условие записывается так:

Если коэффициент теплообмена а велик по сравнению с коэф­ фициентом теплопроводности К, то граничное условие третьего рода превращается в граничное условие первого рода при постоян­

сматривает теплообмен с окружающей средой по закону теплопро­ водности: tn (т) = [tc(x)]n. Такое явление наблюдается главным образом в пограничном слое ламинарного течения, при идеальном контакте твердых тел с одинаковой температурой и при молекуляр­ ном переносе тепла.

Помимо равенства температур при граничных условиях четвер­

С учетом этого соотношения граничные условия теплообмена поверхности тела с окружающей средой можно выразить соотно­ шением

Перенос массы вещества вызывается разностью потенциалов

15

Потенциалом же переноса массы жидкого вещества служит гра­ диент удельного массосодержания вещества Др / 0 . Граничные усло­ вия массообмена поверхности тела с окружающей средой анало­ гичны граничным условиям теплообмена.

Граничные условия первого рода заключаются в равенстве по­ тенциалов диффузионного переноса на поверхности тела и в окружаю­ щей среде:

Ип = (V

Граничные условия второго рода, определяющие массообмен в процессах высушивания влажных материалов, задаются плот­ ностью потока массы вещества как функции времени /,„ = / (т). При постоянстве плотности потока (период постоянной скорости сушки) j m = const. Примером граничных условий третьего рода является испарение жидкости со свободной поверхности

Лг = а!Л (Ип — г1с),

где и — приведенный химический потенциал и a^t — коэффициент массообмена.

Граничные условия четвертого рода характеризуют молекуляр­ ный обмен между двумя средами

и массообмене, выводятся из зависимости между отдельными физи­ ческими процессами, составляющими эти явления.

Чистый теплообмен может наблюдаться в двух случаях: при теплопередаче в неподвижной среде (твердое тело) и при теплообмене

где т определяет скорость изменения состояния внешней среды, задаваемую условием задачи. Критерий Фурье устанавливает за­ висимость между изменением внешних условий и скоростью пере­ страивания температурного поля внутри твердого материала. Как видно, время, необходимое для этого перестраивания, пропорцио-

16

В том случае когда критерий Био не может быть определен, а это может быть, если потоки тепла не отвечают соотношению I q =

Критерий Кирппчева характеризует отношение потока тепла, подводимого к поверхности тела, к потоку тепла, отводимому внутрь тела. Движение потока тепла в твердом теле осуществляется тепло­ проводностью, передачей тепловой энергии от одной молекулы к другой, т. е. путем молекулярного переноса. Иначе обстоит дело при переносе тепла в движущейся среде. Здесь наряду с молекуляр­ ным переносом тепла наблюдается и так называемый молярный пере­ нос, осуществляемый вместе с движущейся средой — конвекцией.

Следует отметить, что чистая теплопроводность происходит только в твердом теле, в котором молекулы вещества имеют строго фиксированное положение. Движение же молекул в жидкости, и особенно в газах, может вызывать макроскопическое движение, и тепло будет передаваться от одной точки к другой вместе с массой вещества, создавая конвективный теплообмен. При этом для ха­ рактеристики явлений теплопереноса необходимо учитывать гидро­ механические процессы. Движение жидкости вызывается внешними силами, такими как сила тяжести, и внутренними, такими как дав­ ление и сила внутреннего трения (вязкости). С учетом сил инерции динамическое уравнение движения жидкости (уравнение Навье— Стокса) представляет собой равновесную систему из четырех сил.

В зависимости от преобладания внешних или внутренних сил движение жидкости носит вынужденный или свободный (естествен­ ная конвекция) характер.

Схематическая форма динамического уравнения движения имеет вид: g + P + F + I = 0,

где g — сила тяжести; Р — сила давления; F — сила трения;

критерии гомохронности /, Но = —j-.

18

Критерии, полученные из динамического уравнения движения, являются мерой соотношения сил, действующих в движущейся жидкости.

Критерий гомохронностн Но определяет общие свойства неста­ ционарного движения, он не связан со свойствами остальных пара­ метров и представляет собой промежуток времени, в течение кото­ рого элемент, движущийся с постоянной известной скоростью W, проходит расстояние, равное характерному размеру /. Равенство критериев гомохронностн определяеттотмомент, когда все поле пере­ менных разных явлений получает одинаковое значение. При вы­ нужденном движении жидкости основными переменными являются скорость движения ее и давление, физические же константы плот­ ность р и кинематическая вязкость у принимаются постоянными из условий задачи.' Начальная скорость движения задается начальным условием, перепад давления должен определяться путем решения задачи. Отсюда видно, что критерии гомохронностн, Фруда и Рейнольдса служат определяющими критериями, а число Эйлера — функ­ цией Ей = / (Но, Fr, .Re).

Критерий Фруда характеризует относительную величину силы тяжести. Для газов п жидкостей, движущихся горизонтально, значение его становится малым, и он выпадает из уравнения. Кри­ терий Рейнольдса определяет соотношение инерционных сил и сил внутреннего трения, он всецело характеризует движение жид­ кости. При очень малых и очень больших значениях этого крите­

Выпадает из уравнения и критерий гомохронностн при стацио­ нарном движении жидкости. При свободном движении скорость жидкости не может быть задана, поэтому критерии Фруда и Рей­ нольдса не могут быть составлены. Для исключения величины ско­ рости движения жидкости образуется новый критерий из произве-

дения Re2 Fr = Ga = -Дг-- Это критерий Галилея. Из сопоставления

составляющих его двух критериев Re и Fr видно, что критерий Галилея характеризует отношение инерционной силы к силам тя­ жести и внутреннего трения. Так как одной из причин, определяю­

19