книги из ГПНТБ / Применение вычислительной техники на металлургическом заводе

обязательной. В таких условиях

погрешность газо­

анализаторов не превышала 0,25%

(абс.) Н2 ; 0,875% СО

и 0,625% СО,.

Работа вычислительной машины

становится

неустой­

чивой при повышении температуры

в помещении выше

+25° С, поэтому система

кондиционирования

воздуха

находится под постоянным

контролем эксплуатационно­

чем регулирование

теплового состояния производится

по рекомендациям

УВМ на изменение величины рудной

/, 2,

3 — доменные печи; 4 — коммутатор;

5 — преобразователь;

6 — УВМ;

7 — пульт оператора; 8 — контрольно-измерительные приборы; 9—ввод

по­

стоянных и медленно изменяющихся переменных;

10 — устройство

счета

ски­

пов н

подач; / / — вычислительный центр

завода;

12 — помещение мастера

печи:

13 — выдача управляющих воздействий

чам

имеющиеся шихтовые

материалы

(табл. 5, 6)

таким

T а б л и н а 5

Химический состав шихтовых материалов

С о д е р ж а н и е , %

Материалатериалы

Fe

р

Ми

СаО

MgO

SiO„

Агломерат

А

(№

1 ) . .

50,9

0,1

0,2

14,3

0,5

10,9

Агломерат

В

(№

2) . .

52,4

0,0

0,9

12,2

1,5

9,8

Агломерат

С (№ 3) . .

43,8

1,1

2,5

14,8

0,8

12,2

Окатыши

(№

4)

. . .

59,1

0,0

0,1

5,7

0,5

7,9

Железная

руда

(№ 5)

49,8

0,1

0,2

0,9

0,4

21,1

Марганцевая

руда (№ G)

4,5

0,2

29,7

4,2

1,1

25,9

Известняк

(№ 7)

. . .

0,6

0,0

0,0

53,3

1,1

1,5

Зола

кокса (№

8) . .

20,0

0,1

0,3

3,5

1,1

38,1

Скрап

( № 9 )

. . . .

70,0

0,1

0,7

0,0

0,0

10,0

Агломе ­

Аг ломе -

Агломе ­

Окаты­

Ж е л е з ­

Марган ­

Извест ­

Печи

рат

А

рат В

рат С

ши

ная руда цевая ру­

няк

( №

1)

( № 2)

(ЛЬ 3)

<№ 4)

<№ 5)

да ( № 6)

( № 7)

I

30

5

30

18

10

—3

I

II

10

30

0

18

10

—3

1

III

30

20

15

18

0

—3

1

IV

20

30

0

18

0

—3

I

Удельныіі

расход ,

Печи

M

кг/кг

(условно)

кокса

скрапа

I

0,911

0,900

0,680

100

0,64

0,0725

I I

0,911

0,900

0,680

100

0,64

0,0725

I I I

0,939

0,900

0,550

425

0,54

0,0

IV

0,915

0,900

0,550

150

0,54

0,0

£ — с іх і + с3 х.2

-4- .. . + сп хп

= max

при наличии линейных

ограничений

(здесь: Х\, х%

хп — количества материалов в шихте;

с ь с2 ,

сп—ко­

эффициенты веса материалов).

ветствии с этим

масштабом.

•Обозначим

номер

печи

индексом

/ ( / — I ,

I I , I I I , I V ) ,

а

номер

материала

(в той последовательности,

как

это

указано

в

табл. 6)—индексом i

( t = l

для

агломерата

А\

і — 2 для агломерата

В и т.д.).

Тогда,

например, расход агломерата С на

печи

I I I

будем обозначать

Л';; =

А ' і і і з ; железной

руды

на

печи

I I — .vus

"

т.д. Для

решения

задачи требуется найти

4X7 = 28

неизвестных

при

следующих

ограничениях:

A-,, (Fe),

+

л-І2 (Fe)2

-f- .. . л-[9

(Fe)9,

М „

|Fe]„ _

A 'm ( F < ? ) i

- I - л ' і і 2 ( р е ) 2

? F e n

M I V [ F e J l v

.vIVi (Fe), +

x.V 2 (Fe)2

+

. . . +

.YIV9 (Fe)9 ,

IV

Щ [P],

А н ( р ) 1

+ % ( Р ) 2 + - - - + А - 1 9 ( Р ) 9 ,

Л*іИр ],ѵ

Г A"I V 2 (P)2

+ . . . -|- - V I V 9

(P)g,

t

—

A ' l V l

( P

) l

b"p PIlV

Mx [Mn]1nl.r

t

=

xu

(Mn), +

A-i 2 (Mn)2

+

.. . +

xls

(Mn)9 ,

M\v [ M n ] I V

ЬМп

=

* I V 1 ( M " ) l +

* . Ѵ 2 ( М п ) 2 +

• • • +

* I V 9 ( M n ) 9 -

I V

xn (RO\

+ A-I2 (RO)2

+...

+

xI 9 (RO)9

= B1

[xu

(Si02 ),

+

+

xi2

( S i C V ) 2

+ . . . + %

(Si02 )g -

Ml

[Si],

2860

xlvl(RO\

+ xlv2(RO)2+

... +

A-I V 9 (tfO)9

=

ВI V

X

(Si02 ),

- I -

A- l v 2 (Si0 2

.vl v 9 (Si02 ),—

60

28

Mill

• л-І Ѵ 1

лі,

(или =

м 1 ) ,

* I 2 +

* I I 2

+

XIU2

+

' Y I V 2 <

M 2

( И Л И

=

Щ>

A I 7

Л І І 7

"I

A [ J I 7

+

Л 'і Ѵ 7 '

' M7

/ или =

/И7)

В эту

систему ограничений

входят:

60

I—коэффициент использования элементов;

масс

SiC>2 и Si;

— — 2,14 — отношение молекулярных

28

„

ѵ

— количество

золы кокса,

т. е. (см. табл. 7)

л 1118,

IѴ8 J

^і8 = 0,64

^ М , ,

и т .

д.,

Л к

— содержание золы в коксе,

%;

* і э ,

Хп9,\

—расход

скрапа

(см. табл. 7);

* I I I 9 , * I V 9 j

шлака (см. табл. 8);

В\ — Вім—основность

Мг—М7

— ресурсы

материалов, т/сутки;

(ЯО) =

(СаО) +

(MgO), %.

Т а б л и ц а 8

Химический состав чугуна и основность шлака

Состав чугуна,

%

Основность

Печи

[Fe]

(Si)

1Р1

[Mn]

шлака В

I

91,25

3,00

0,40

1,30

1,27

II

91,50

3,40

0,10

0,90

1,27

I I I

92,00

0,55

1,45

1,95

1,20

IV

93,40

0,90

0,15

1,00

1,27

Целевая

функция имеет

вид

L

= си хп

-f- Cj 2 x I 2

- j -

... -f- C j V 7

xlV7

=

max,

где си =30,

Сі2 = 5 и т. д. (см. табл.

6).

7—827

97

ных

примерах.

П р и м е р

1. Для групп

печен

1 и I I I рассчитать

оптимальную

шихту

из составляющих

1, 2 и 3

(табл. 5), учитывая

только

содер­

жание

в чугуне

железа

п

фосфора.

Ограничений

на ресурсы не на­

ложено.

Составим

уравнения

задачи:

100-91,25

0,911

=

. ѵ п - 5 0 , 9 - | - х , 2 - 5 2 , 4

+

.ѵІ З -0,438;

425-92,0

•50,9 +

.ѵІ П 2 -52,4 +

дг П І 3 . 0,438;

0,939

100-0,4

425-1,45

= л - ] Ш . 0 , І

- I - x i n 2 - 0 , 0 H- A - I I I 3 - 1 , 1 ;

0,9

L = X , , -30 +

x[2-5

- ) -

A-,3-30 + л - ] П 1 -30 - f A ' I ! 1 2 - 20 -f- - v m 3 - 15 =

max.

В

соответствии

с

процедурой

решения

задачи

симплекс-методом

выберем базисные

переменные

Aj2 , х І З , * Т

І І

2 и А 'піЗ' т ° г Д а

переменные

Д-'л и A-jjjj будут

свободными.

Выразим

базисные

переменные

через

свободные:

xJ2

=

157 — 0,895 А - , , ;

А-,З

= 40,5 —0,091

хп;

А - І

П

2 =

276 —0,895 А - , , , , ;

. ѵ І

! І

З

=

621 — 0,0905 х

и и .

Целевая

функция,

выраженная

через

свободные

переменные

L

=

8470 +

22,794 A-,, +

10,74

достигает максимума при увеличении .ѵт і

и Л" Ш 1

до их допустимых

пределов.

Из

вышеперечисленных

выражении

следует,

что

переменные

Л 'і2,

-ѵ із,

д ' ц і 2 , 1 1

А ' ш з

будут неотрицательными

при

А-,,

<

175,5

и

дг П І І

<

309.

Принимаем л'ц = 175,5;

л ' п п = 3 0 9 .

Тогда

.Ѵі2 =0;

х'і3 =

24,5;

-Ѵ'пі2 =

= 0 ; .Ѵ[ііз=593. Найденные шесть значений

переменных

являются ре­

шением задачи; L m

n % = 15790.

Усложним

теперь

задачу,

введя

дополнительное

требование:

М 2

=

л-І 2 +

. ѵ И І 2

=

400.

В

этом случае

в качестве свободной

переменной выберем

. ѵ І І П

и выразим через нее базисные переменные:

Xj J — 36,8

— л'у j [ j ;

A-,2=

124 -I- 0,895

А - І Ш ;

А - І

3

=

37,15

+

0,091 . ¥ Ш 1 ;

А - п

і 2

= 276 — 0,895 . ѵ п п ;

А - Ш З

=

621

- 0 , 0 9 0 5 А - І Ш .

Целевая функция

/ . = 9288,5 -

12,045А-Ш 1

достигает

максимума L m

a x

=9288,5

при

л . ' п п = 0 ;

А'Ц =36,8;

А ' І 2 =

= 124; А',3

=37,15; л - [ І І 2

=276; д - , ш = 621.

Для

программирования решения задачи

на

ЭЦВМ

следует

использовать

так

называемые

симплексные

уравнения и таблицы.

Систему ограничений сводим к системе симплексных

уравнений

6, = х{ +

...

+

а и

к + 1

хк+і

+

...

+

alnxn

Ьі = X, +

...

+

а,.

хк+[

+

. . . -і- aln

хп

\ ,

bk = xk +

...

+

a k

k + l x k

+ l

+

...

+

aknxn

a целевую функцию L->-max

приводим к виду

1

+

a k + l Xk+1

+

• • •

+

а т

Хт

+

-

-

. +

а„

*„

=

<Ѵ

7*

gg

В

этой матрице коэффициенты а называют

оценка­

ми свободных переменных

Xh+\-^-xn.

итера­

Симплекс-метод предусматривает следующие

тивные операции

над симплексной

таблицей:

1)

выбирают

такой столбец

аг,

в

котором

оценка

a r < 0

il хотя бы один другой элемент

а ; г > 0 ;

2)

выбирают

такую /-тѵю строку, для которой

— =

bi

при

а,-,.І>0;

afr

= min

3)

пересчитывают

элементы

/-той

строки:

а',—-—;

4)

пересчитывают

элементы

'

air

остальных строк:

ai

= a l - a j a i r .

Если после очередной

итерации

найдется столбец аг,

в котором

оценка а,-<0 и хотя

бы один другой

элемент

оптимальное

решение.

П р и м е р

2. Решить задачу,

условие

которой изложено в при­

мере 1, применив симплексные уравнения и таблицы.

Система симплексных уравнений имеет вид:

157 = 1 -х12 + 0-*І З + 0 - * Ш 2

+ 0 . х ш з

+ 0,895*п + 0 - * ш і ;

40,5 =

О-л-,2 - I -

1 . * 1 3 +

0 - * ш 2

+

0 - * ш з

+

0 . 0 9 Ц ,

+ 0 - * Ш 1 ;

276 =

0-.v,2 +

0-xI 3

+

1 -A-,,,2 +

O-A-,,,3 +

0-xn+ 0,895.YI I I I ;

621 = 0-xI 2 + 0-.vI 3 +

0 - л г Ш 2 +

1 -ATjug +

0-л-ц +

0,0905*,m ;

L

— 22,794л:,! — 10,74л;,,,, =

8470.

Составляем симплексную таблицу

V I2

r i3

•r IIIÏ

"*

I

I 13

Л п

*ііи .

157

1

0

0

0

0,895

0

* І З

40,5

0

1

0

0

0,091

0

*II12

276

0

0

1

0

0

0,895

XI113

621

0

0

0

1

0

0,0905

L

8470

0

0

0

0

—22,794

—10,74

Выбираем столбец

хп

с отрицательной

оценкой

—22,794

и вы­

ясняем, что в этом

столбце имеются

положительные

элементы

0,895

этому рассматриваем строку лг,2. Переменная

х п (столбец)

стано­

вится

базисной

вместо д:І 2 (строка)

и таблица

приобретает вид

Х12

А'і 3

Xlll

2

xiu

3

xix

' ш

I

хп

175,5

1,12

0

0

0

1

0

А.-,З

24,5

—0,102

1

0

0

0

0

* п и

2 7 6

0

0

1

0

0

0,895

113

0

0

0

1

0

0,0905

L

12 470

25,6

0

0

0

0

—10,74

Эта таблица получается из предыдущей следующим образом:

делим строку х , 2 на 0,895, чтобы элемент этой строки в столбце

хи

стал

равным

единице;

полученную

таким

образом

строку

пишем

на месте прежней строки; к каждой из остальных

строк

прибав­

ляем

вновь

полученную

строку,

умноженную

на такое число,

чтобы

в столбце Хц появились

нули,

и записываем

преобразованные

стро­

следующую

итерацию, так как в столбце

х ш 1 имеется

отрицатель­

ная оценка

— 10,74. Симплексная таблица

теперь имеет

вид: