книги из ГПНТБ / Синицын А.П. Расчет балок и плит на упругом основании за пределом упругости пособие для проектировщиков

а п. синицын РАСЧЕТ БАЛОК И ПЛИТ

НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ ЗА ПРЕДЕЛОМ УПРУГОСТИ

(пособие для проектировщиков)

Издание второе, переработанное и дополненное

М О С К В А С Т Р О Й И З Д А Т 1 9 7 4

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ

Балки и плиты на упругом основании относятся к самым распространенным конструкциям, которые должен рассчитывать инженер. Для создания наиболее рациональных типов таких кон­ струкций необходимо правильно оценить их несущую способ­ ность и выяснить распределение сил и деформаций, возникаю­ щих при переходе балки за предел упругости. Общие методы расчета систем за пределом упругости очень подробно разрабо­ таны для обычных конструкций, но применительно к балкам на упругом основании эта задача требует дальнейшего развития.

Практика инженерного проектирования настоятельно требует создания хотя бы приближенного метода, который позволит про­ ектировщикам определить несущую способность конструкции, расположенной на упругом основании, при переходе ее за пре­ дел упругости.

Основой для разработки такого приближенного метода послу­ жил пользующийся широкой известностью у инженеров-проекти- ровщиков способ Б. Н. Жемочкина, поэтому данная работа явля­ ется распространением этого способа на задачи, в которых или балка, или упругое основание переходят за предел упругости. Удобство способа состоит в том, что он позволяет довести реше­ ние любой из рассмотренных задач до численного результата.

- Степень точности решения зависит от объема вычислений и может быть значительно повышена при использовании счетных машин. Задачи, рассмотренные в настоящей работе, являются наиболее простыми и подобраны так, чтобы проектировщики мог­ ли их использовать на практике.

I*

Г л а в а 1

ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ РАСЧЕТА

1.1. Условия перехода балок на упругом основании за предел упругости

Задачи расчета балок и плит, расположенных на упругом ос­ новании, за пределом упругости и определение их несущих спо­ собностей отличаются от расчета обычных балок или плит тем, что оценка несущей способности системы, состоящей из балки и поддерживающего ее упругого основания, зависит от свойств самой балки и упругого основания. В дальнейшем такую систему мы будем называть балка-—основание.

Для простой балки, свободно лежащей на двух опорах, обыч­ но критерием исчерпания несущей способности является обра­ зование одного пластического шарнира в середине пролета, после чего такая балка превращается в геометрически изменяемую систему, и для определения предельной нагрузки достаточно составить и решить уравнения равновесия. Представим себе те­ перь, что эта балка поддерживается упругим основанием; тог­ да реакции упругого основания будут поддерживать балку да­ же после того, как в ней образовался пластический шарнир, и система в целом балка — основание будет геометрически неиз­ меняемой системой, если реакции упругого основания невелики и основание работает в упругой стадии.

Система, состоящая из балки и упругого основания, представ­ ляет собой статически неопределимую систему; число дополни­ тельных связей, имеющихся в такой системе, бесконечно велико, в чем можно убедиться, если рассматривать балку на упругом основании как предельный случай для балки на упругих опо­ рах, у которой число упругих опор стало бесконечно большим. Поэтому для превращения системы балка — основание в геомет­ рически изменяемую систему необходим переход бесконечно большого числа связей в пластическое состояние. Теорети­ чески это соответствует переходу всей балки и всего упругого основания в пластическое состояние. Возможность возникнове­ ния такого состояния, при котором как балка, так и упругое основание полностью переходят в пластическую область, связа­ на с появлением в системе настолько больших деформаций, что практическая осуществимость их оказывается сомнительной, не говоря уже о том, что такие деформации потребуют выполнения расчета по деформированной схеме. Возникает вопрос об опре­ делении степени приспособляемости системы балка — основа­ ние и установлении другого критерия для определения несущей способности такой системы.

6

1.2. Предельное равновесие для изгибаемых элементов

Метод предельного равновесия получил большое развитие в ряде работ [1, 4, 11, 13, 23, 29 и др.]. В настоящее время пред­ ставляется возможным сделать расчет сложных сооружений этим методом. Для тех задач, которые рассматриваются ниже, будет необходимо коротко изложить некоторые общие положения ме­ тода предельного равновесия. Сначала следует условиться о по­ становке самой задачи, которую сформулируем так: для данной системы А, которая находится под действием нагрузки Р, будем искать наибольший параметр п, на который надо умножить си­ лу Р, для того чтобы несущая способность системы была полно­ стью исчерпана. Под пластическим шарниром будем понимать такой идеализированный шарнир, который передает момент, меньший пластического момента; если же момент равен пласти­ ческому, то шарнир его передает и при этом поворачивается на любую величину. Пластический шарнир не может передавать момент больше пластического момента.

В предельном состоянии должно существовать удовлетворя­ ющее условиям статики распределение сил. Причем внутренние силы должны быть в равновесии с внешней нагрузкой пР и ни в одном сечении моменты не должны превышать пластического момента. Множитель п является статически допустимым, если существует единственное удовлетворяющее условиям равнове­ сия состояние системы под действием внешних сил пР.

В результате образования пластических шарниров система превращается в механизм, для которого должно существовать кинематическое поле, где работа, совершаемая силами пР на воз­ можных перемещениях w, будет положительна. В отличие от обычных стержневых систем в балках на упругом основании не­ обходимо учитывать специфические условия, вытекающие из наличия реакций упругого основания.

Коэффициент надежности представляет собой множитель, на который надо умножить нагрузку, чтобы получить наибольшую статически допустимую нагрузку или наименьшую работу на любых возможных перемещениях [4, 49, 50, 51].

При наличии различных комбинаций нагрузок, состоящих из постоянной и временных нагрузок, необходимо для решения использовать общую теорему о разрушающей нагрузке. Эта теорема сводится к тому, что если установлена нагрузка, при которой система может разрушиться, значит при этой нагруз­ ке система действительно разрушается.

Обозначим М = М(х) — момент в любом сечении в любой момент времени; Ме(х) — момент, соответствующий упругой стадии работы. Остаточный момент будет равен разнице между этими моментами: Мг(х) =М(х)—Ме(х). Для каждого сечения необходимо найти максимальное и минимальное значение мо­

7

мента в упругой стадии М+(х) и М-(х). Обозначим Л?(л:) — остаточный момент, при котором происходит разрушение систе­ мы; тогда можно записать такое неравенство:

где М0(х) — наибольший пластический момент.

Учитывая значение максимума и минимума упругого мо­ мента, можно это неравенство переписать так:

— М0 (х) < М (х) + M Jx) < М (х) + М+ (х) < М0 (х). (1.2)

Если имеются сосредоточенные силы, то это функциональное неравенство можно заменить конечным числом неравенств та­ кого типа:

в которых приложены сосредоточенные силы. Применительно к балкам на упругом основании эти обычные теоремы предельно­ го состояния жесткопластических систем можно применять с не­ которым ограничением, для чего необходимо рассматривать реакции упругого основания как внешние силы, величина кото­ рых изменяется пропорционально нагрузке.

1.3. Общий случай

Рассмотрим более общий случай [51], когда напряженное состояние системы характеризуется несколькими усилиями, ко­ торые в общем виде обозначим Qb Q2, ..., Q„. Для тех систем, напряженное состояние которых определяется изгибающим мо­ ментом, Qi = M, а остальные усилия Q2, Q3, ... равны нулю. Это будет случай, рассмотренный в предыдущем параграфе.

Для плит Qi = ■/№*; Q2 = My\ Q3— Mxy. Соответствующие этим усилиям деформации обозначим qu q2, Яъ, .... <?«; тогда работа

8

Деформации, как обычно, можно разложить на две части — упругую и пластическую, тогда:

Ф (Qi, Q2), которую можно нормировать так, что если Ф < 1, то Qi, Q2 соответствуют упругой стадии; если Ф = 1, то это отвечает пластическому состоянию сечения, и, на­ конец, недопустимым является Ф > 1. Ге­ ометрическую интерпретацию изложен­ ного целесообразно сделать для системы, характеризующейся двумя обобщенными

усилиями Qi и Q2, которые будем откла­ дывать на координатных осях. Каждому сечению системы будет соответствовать определенная точка, имеющая координа­ ты Qi и Q2 .

Функция течения ®(Qi, Q2) = 1 будет представлять собой замкнутую кривую

(рис. 1.1). Внутри контура этой кривой точки отвечают сечениям, в которых имеется упругое состояние. Для точек, расположенных на кривой, возникает пластическое тече­ ние; можно доказать, что кривая Ф(Сі, Q2 ) = 1 является выпук­ лой кривой и не имеет изломов. Более общую формулировку ус­ ловий предельного состояния можно получить, опираясь на приведенные выше рассуждения. Обозначим через Т обобщен­ ную силу, приложенную к системе, и рассмотрим действие на систему силы рГ, где р будет монотонно возрастать. Можно до­ казать, что напряженное состояние системы будет статически до­ пустимым, если соблюдаются следующие три условия:

1)система внутренних усилий Qi и Q2 должна быть уравно­ вешенной;

2)усилия Qi и Q2 находятся в равновесии с внешней силой

рТ;

3) в пределах всей системы соблюдается условие Ф ^ І . Та­ ким образом, если существует удовлетворяющее условиям рав­ новесия напряженное состояние системы для силы S CT, то зна­ чит, что Sc является статически допустимым коэффициентом запаса.

9